1、 4.1 线性平稳随机模型一般概念线性平稳随机模型一般概念 4.3 自回归模型自回归模型 4.2 自回归滑动平均模型的物理基础自回归滑动平均模型的物理基础 4.4 ARMA(p,q)模型建立的一般程序模型建立的一般程序 4.5 实例分析实例分析第四章第四章 线性平稳随机模型线性平稳随机模型一一 AR(p)模型结构模型结构4.3.1 1阶自回归阶自回归模型模型AR(1)二二 AR(p)模型参数估计模型参数估计4.3.2 2阶自回归阶自回归模型模型AR(2)4.3.3 p阶自回归阶自回归模型模型AR(p)四四 AR(p)序列的随机模拟序列的随机模拟三三 AR(p)模型的统计特性模型的统计特性一一
2、AR(p)模型结构模型结构tptptttuxuxuxux)()()(2211若令若令yt=xt-u（中心化），上式变为（中心化），上式变为 tptptttyyyy2211tptptttzzzz.2211若令若令zt=(xt-u)/（标准化）（标准化），上式变为，上式变为 式中，式中，随机变量随机变量 和和 t 的关系为的关系为 。t/tt t 为独立随机变为独立随机变量，且与量，且与xt-1,xt-2,xt-p无关。无关。二二 AR(p)模型参数估计模型参数估计式中，式中，xt 为平稳水文序列的实测样本，为平稳水文序列的实测样本，n为样本长度为样本长度。221、upAR(p)模型有模型有(p+
3、2)个参数，即个参数，即 。1 u和和的估计的估计 11nttxnxu)1/()(12nxxSntttptptttzzzz.2211)()()()()(2211tktptktptkttkttktzEzzEzzEzzEzzE2 自回归系数自回归系数 估计估计对上式两边同乘以对上式两边同乘以 zt-k 并取数学期望，得并取数学期望，得k1k0pkpkkk22112kpkp、21式式(25)被称为尤尔被称为尤尔-沃尔克沃尔克(Yule-Walker)方程。方程。令令k=1,2,p，并考虑，并考虑 0=1和和 k=-k，可得到，可得到p阶线性阶线性方程组方程组 pppppppp221122112112
4、11 pppppp 1 1 1 2112 1-2-11-121(25)11rAR(1)模型模型21212212122212121211111)1(1)1(rrrrrrAR(2)模型模型对下式两边乘以对下式两边乘以 yt 并取数学期望并取数学期望222112)1(pptptptttyyyy22113 t 的方差的方差 估计估计有有)(E)(E)(E)(E)(E2211tttptpttttttyyyyyyyyy以以2 除上式两端，考虑到除上式两端，考虑到),2,1()(E ,1)(E22piyyyyitittt)(E122211ttppy则得则得2)(E)(2211tptptttttyyyyE)E
5、2211ttpttpttttyyy2)(Ett222112)1(ppAR(1)模型模型AR(2)模型模型2212112)1()1(srr22211222112)1()1(srr三三 AR(p)模型的统计特性模型的统计特性1 AR(p)模型的自相关函数模型的自相关函数kk0pppppppp22112211211211 k 当当AR(p)模型的参数模型的参数 已知，由尤尔已知，由尤尔-沃尔沃尔克方程可得到克方程可得到AR(p)模型的自相关函数。模型的自相关函数。p、21AR(1)序列的自相关和偏相关函数图序列的自相关和偏相关函数图(a)1=0.6(b)1=-0.6(a)1=0.5，2=0.2(b)
6、1=-0.5，2=0.5AR(2)序列序列xt的自相的自相关和偏相关函数图关和偏相关函数图 (c)1=-0.5，2=-0.3 (d)1=0.5，2=-0.3 为了使为了使AR(p)序列达到平稳，序列达到平稳，AR(p)模型中的参数模型中的参数 必须满足平稳性条件，即要求特征方程必须满足平稳性条件，即要求特征方程 2 AR(p)模型的平稳性模型的平稳性p、2102211ppppVVV的根必须在单位园内。也就是说，方程的根的根必须在单位园内。也就是说，方程的根Vi满足满足(i=1,2,p；|表示模表示模)1iVAR(1)序列的平稳性条件序列的平稳性条件 AR(2)序列的平稳性条件序列的平稳性条件
7、1111212211113 AR(p)模型的偏相关函数模型的偏相关函数 在刻画在刻画AR(p)序列特性方面，偏自相关函数（以下简称序列特性方面，偏自相关函数（以下简称为为偏相关函数偏相关函数）有着重要的作用。给定平稳随机序列，对）有着重要的作用。给定平稳随机序列，对各阶自回归模型以下述方式表示。对于各阶自回归模型以下述方式表示。对于AR(1)模型，标准化模型，标准化变量形式改写为变量形式改写为 tttzz11,1对于对于AR(2)模型有模型有 ttttzzz22,211,2AR(p)模型有模型有 tptpptptptzzzz,22,11,这样这样1至至p阶自回归模型的最后一个自回归系数阶自回归
8、模型的最后一个自回归系数 1,1,2,2,p,p便组成便组成AR(p)序列的偏相关函数。序列的偏相关函数。偏相关函数偏相关函数 p,p是反映消除是反映消除(p-1)阶自相关影响后所剩余阶自相关影响后所剩余的自相关程度，也就是在给定的自相关程度，也就是在给定zt-l，zt-2，zt-p+1的条件下的条件下，zt和和zt-p的条件自相关系数。的条件自相关系数。k,k(kp)在理论上应当为零，因为这样的序列自相关在理论上应当为零，因为这样的序列自相关性仅到性仅到p阶，超过阶，超过p阶相互之间便没有直接关系了。比如阶相互之间便没有直接关系了。比如 对对AR(1)序列，序列，2,2在理论上应为零；在理论
9、上应为零；对对AR(2)序列，序列，3,3在理论上应为零在理论上应为零。偏相关函数的这种特性非常重要，特称为截尾性。就是偏相关函数的这种特性非常重要，特称为截尾性。就是说，对于说，对于AR(p)序列而言，偏相关函数序列而言，偏相关函数 k,k是是p步截尾的。即步截尾的。即pkkk ,0,tptppptpptptptzzzzz,11,22,11,4 AR(p)序列的频谱特性序列的频谱特性 (书书65)5.00 ,12)(22422122feeefSpfipfifitptpptptptzzzz,22,11,),2,1(,)1)(1,1,1,111,1,111,111,1kjjkkkkjkjkkjj
10、kjkjjkjkkkk偏相关函数递推公式偏相关函数递推公式对对AR(1)序列序列5.00 ,2cos21)1(212)(1212122122ffefSfi对对AR(2)序列序列5.00 ,)4cos22cos)1(21)(1()21)(1(212)(221222122222122422122fffeefSfifi四四 AR(p)序列的随机模拟序列的随机模拟 要生成大量的要生成大量的AR(p)序列序列xt*(t=1,2,N)，关键在于随，关键在于随机模拟纯随机序列机模拟纯随机序列 t。313)(31SxxnCsnttx 要进行随机模拟，首先要回答研究对象的边际分布情要进行随机模拟，首先要回答研究
11、对象的边际分布情况。计算样本序列的偏态系数：况。计算样本序列的偏态系数：当当Csx与与0无显著差异时，可认为无显著差异时，可认为xt服从正态分布；否服从正态分布；否则，认为则，认为xt服从偏态分布。服从偏态分布。tptptttuxuxuxux)()()(2211tptptttuxuxuxux)()()(22111AR(p)正态序列的模拟正态序列的模拟 步骤如下步骤如下 当当xt服从正态分布时，上式中的服从正态分布时，上式中的 t 服从正态分布。服从正态分布。a 令令t=p并假定初始值并假定初始值x0=x1=xp-1=；b 模拟服从正态分布的随机变量模拟服从正态分布的随机变量 t；c 将上述值代
12、入上式计算出将上述值代入上式计算出xt；d t=t+1，转向步骤，转向步骤b，重复上述步骤直到满足要求的，重复上述步骤直到满足要求的模拟长度结束。模拟长度结束。e 考虑到模拟序列的前面部分受初值影响，一般要进考虑到模拟序列的前面部分受初值影响，一般要进行行“预热处理预热处理”。xtptptttuxuxuxux)()()(2211(1)对数转换法对数转换法(2)独立随机变换法独立随机变换法 2AR(p)偏态序列的模拟偏态序列的模拟 当当xt服从偏态分布时，由服从偏态分布时，由AR(p)模型模拟出的序列也模型模拟出的序列也应服从偏态分布。因此要模拟具有偏态的应服从偏态分布。因此要模拟具有偏态的xt
13、，就必须对，就必须对xt或或 t 进行一定的处理。目前有三种方法：进行一定的处理。目前有三种方法：(3)W-H逆变换法逆变换法 若若xt服从对数正态分布，可将服从对数正态分布，可将xt进行对数变换进行对数变换)ln(axytt则则yt服从正态分布。对服从正态分布。对yt建立建立AR(p)模型模型:由上式模拟序列由上式模拟序列yt后，按下式后，按下式 aextyt可模拟出大量的序列可模拟出大量的序列xt。序列。序列xt服从偏态分布。服从偏态分布。(1)对数转换法对数转换法tptptttuyuyuyuy)()()(2211下限值下限值 若若xt服从服从P型分布，可用此法。对型分布，可用此法。对xt
14、建立建立AR(p)模型模型(2)独立随机变换法独立随机变换法 式中，式中，t 为服从均值、方差、偏态系数为服从均值、方差、偏态系数Cs 的的P型分型分布。则由上式模拟的布。则由上式模拟的xt就服从就服从P型分布。型分布。t由由W-H变换模变换模拟，即拟，即 式中，式中，t服从标准正态分布。要模拟服从标准正态分布。要模拟xt，Cs 必须计算出，即必须计算出，即 tppptpttrruxuxux.1)(.)(1111CsCsCsCstt2)3661(232xpppCsCs2/3221133231)1(1 W-H变换法的适用范围变换法的适用范围 该法是先将该法是先将xt标准化为标准化为yt，由，由y
15、t进行进行W-H逆变换逆变换(3)W-H逆变换法逆变换法 式中，式中，zt成近似服从标准正态分布。成近似服从标准正态分布。61)12(63/1xtxxtCsyCsCszxxtxxtCsCszCsCsy2)3661(232txxtyux a 对对zt建立建立AR(p)模型并得到大量的模拟序列模型并得到大量的模拟序列zt；b 由由W-H变换法将模拟序列变换法将模拟序列zt转化成服从标准转化成服从标准P型分型分布的序列布的序列yt，即，即c 计算计算xt对对zt建立自回归模型。模拟的步骤如下：建立自回归模型。模拟的步骤如下：在多数情况下，平稳序列的随机变化特性可以在多数情况下，平稳序列的随机变化特性
16、可以用用ARMA(p,q)模型表示。这里在更广泛的意义下，模型表示。这里在更广泛的意义下，讨论讨论ARMA(p,q)模型建立的一般程序。模型建立的一般程序。所谓建立模型，一般是指由有关资料和各种信所谓建立模型，一般是指由有关资料和各种信息来推断模型并估计其中的参数。息来推断模型并估计其中的参数。4.4 ARMA(p,q)模型模型建立的一般程序建立的一般程序 一般而言，建立模型相当复杂，但总可归纳为一般而言，建立模型相当复杂，但总可归纳为5个主要阶段，参见下图。个主要阶段，参见下图。模型类型的选择，就是在各种模型中选择一种合模型类型的选择，就是在各种模型中选择一种合适的模型，以表示研究的随机序列
17、的总体变化特性。适的模型，以表示研究的随机序列的总体变化特性。模型类型的选择涉及到许多因素，如上图中所示，但模型类型的选择涉及到许多因素，如上图中所示，但主要因素有主要因素有一一 模型类型的选择模型类型的选择 ARMA(p,q)模型选择主要的依据是样本序列提供模型选择主要的依据是样本序列提供的自相关函数和偏相关函数特性。下面分别叙述。的自相关函数和偏相关函数特性。下面分别叙述。(3)模型建立者的知识和经验。模型建立者的知识和经验。(1)研究对象系统的特征研究对象系统的特征;(2)随机序列的物理和统计特性随机序列的物理和统计特性;(1)MA(q)序列的自相关函数序列的自相关函数 k呈截尾状，在呈
18、截尾状，在k=q时出时出现一个截尾点，即当现一个截尾点，即当kq时，时，k 0，当，当kq时，时，k=0。1.MA(q)模型识别模型识别 (2)MA(q)序列的偏相关函数随阶数的增加而逐渐变序列的偏相关函数随阶数的增加而逐渐变小，呈拖尾状，单调或波动衰减地趋向于小，呈拖尾状，单调或波动衰减地趋向于0。(1)AR(p)的自相关函数随滞时的增大逐步变小，自的自相关函数随滞时的增大逐步变小，自相关图呈拖尾状，单调或波动衰减地趋向于零。相关图呈拖尾状，单调或波动衰减地趋向于零。2.AR(p)模型识别模型识别 (2)AR(p)的偏相关函数的偏相关函数 呈截尾状，在呈截尾状，在k=p处出现处出现一个截止点
19、，即当足一个截止点，即当足kp时，时，；当；当kp时，时，=0。kk,0,kkkk,AR(p)序列的自相关函数序列的自相关函数kk,AR(p)序列的偏相关函数序列的偏相关函数%0.9596.1,npkk 1.ARMA(p,q)的自相关函数没有截尾点，以拖尾状的自相关函数没有截尾点，以拖尾状而逐渐变小，趋向于零。而逐渐变小，趋向于零。3.ARMA(p,q)模型识别模型识别 2.ARMA(p,q)的偏相关函数没有截尾点，以拖尾状的偏相关函数没有截尾点，以拖尾状而逐渐变小，趋向于零。而逐渐变小，趋向于零。二二 模型形式的识别模型形式的识别 类型一经选定，接着便要确定模型的具体形式，即确类型一经选定，
20、接着便要确定模型的具体形式，即确定模型的阶数。一般将模型的定阶叫做模型形式的识别。定模型的阶数。一般将模型的定阶叫做模型形式的识别。例如对于例如对于AR(p)模型，定出模型，定出p的数值。的数值。依据自相关图、偏相关图可以较客观地选定阶数。当依据自相关图、偏相关图可以较客观地选定阶数。当然建模者的经验也会在不程度上影响阶数的确定。然建模者的经验也会在不程度上影响阶数的确定。kk,上面介绍的模型识别方法显然是可行的，而且使用上面介绍的模型识别方法显然是可行的，而且使用也方便，但有些经验性。另外，日本人赤池也方便，但有些经验性。另外，日本人赤池(Akaike)对对于于ARMA(p,q)类模型中阶数
21、类模型中阶数p和和q的确定，提出了定量的的确定，提出了定量的AIC(Akaike lnformation Criterion的缩写的缩写)准则。下面准则。下面简要说明这一准则的基本概念及应用。简要说明这一准则的基本概念及应用。希望选定的模型能尽可能好地拟合序列，同时又要使希望选定的模型能尽可能好地拟合序列，同时又要使模型的参数尽可能地少。一般而言，模型参数越多，拟合模型的参数尽可能地少。一般而言，模型参数越多，拟合效果越好。然而，随着参数的增多，需要的信息量亦随之效果越好。然而，随着参数的增多，需要的信息量亦随之增加。在信息量一定时情况下，参数越多，参数的估计误增加。在信息量一定时情况下，参数
22、越多，参数的估计误差越大，获得的模型越不可靠。因此，在选定模型时，参差越大，获得的模型越不可靠。因此，在选定模型时，参数要尽可能少。但另一方面，参数越少，拟合残差便越大。数要尽可能少。但另一方面，参数越少，拟合残差便越大。这样在识别模型时就必须兼顾这两方面的要求。赤池基于这样在识别模型时就必须兼顾这两方面的要求。赤池基于这一思路提出了这一思路提出了AIC准则。准则的计算式中包括两项：一准则。准则的计算式中包括两项：一项是项是拟合残差量拟合残差量，另一项是，另一项是参数数量参数数量。模型识别时要求这。模型识别时要求这两项之和为最小。两项之和为最小。)(2)ln(),(AIC2qpnqp对对ARM
23、A(p,q)模型，模型，AIC准则为准则为 式中，式中，n为实测序列的长度；为实测序列的长度；为残差的方差。为残差的方差。2 对于对于AR(p)模型，上式中的模型，上式中的q=0；而对于；而对于MA(q)模型模型上上式中的式中的p=0。按。按AIC准则，使准则，使AIC达到最小值的模型被达到最小值的模型被认为是可以接受的好模型。对认为是可以接受的好模型。对AR(p)模型，按模型，按AIC准则识准则识别的步骤如下：别的步骤如下：a.由式由式(3-5)计算样本序列的自相关函数；计算样本序列的自相关函数；b.按式按式(4-42)递推计算自回归系数；递推计算自回归系数；c.由式由式(4-53)计算残差
24、的方差；计算残差的方差；d.按式按式(4-100)计算计算AIC；e.根据不同的阶数根据不同的阶数p，计算出相应的，计算出相应的AIC(p)，如，如AIC(0),AIC(1),AIC(2),，使，使AIC达到最小值的相达到最小值的相应阶数便为所求。应阶数便为所求。一般说来，模型的残差方差随模型参数的增加而减一般说来，模型的残差方差随模型参数的增加而减小，从而存在着一个参数数目使小，从而存在着一个参数数目使AIC达到最小。对达到最小。对MA(q)和和ARMA(p,q)模型，计算的步骤大致相同。模型，计算的步骤大致相同。三三 模型参数估计模型参数估计 模型参数必须通过获得的各种信息估计。显然，最重
25、模型参数必须通过获得的各种信息估计。显然，最重要的信息是实测序列，其它可资利用的信息也不可忽视。要的信息是实测序列，其它可资利用的信息也不可忽视。在一定信息的情况下，应尽量选用优良估计方法。目在一定信息的情况下，应尽量选用优良估计方法。目前估计参数的方法较多，例如有矩法、最小二乘法、极大前估计参数的方法较多，例如有矩法、最小二乘法、极大似然法等。似然法等。对于对于AR(p)模型，前面已给出，即模型，前面已给出，即 11nttxnxu)1/()(12nxxSnttpppppp 1 1 1 2112 1-2-11-121222112)1(pptptpptptptzzzz,22,11,),2,1(,
26、)1)(1,1,1,111,1,111,111,1kjjkkkkjkjkkjjkjkjjkjkkkk 在建立随机模型时，一般假定随机变量在建立随机模型时，一般假定随机变量 t是独立的。是独立的。模型的形式和参数确定后，还必须对模型是否符合该假模型的形式和参数确定后，还必须对模型是否符合该假定加以检验。另外，还必须对的分布假定做检验。工程定加以检验。另外，还必须对的分布假定做检验。工程中侧重于独立性的检验。中侧重于独立性的检验。1 综合自相关系数检验法综合自相关系数检验法四四 模型检验模型检验 独立性的检验主要原理是统计学中的假设检验理论。独立性的检验主要原理是统计学中的假设检验理论。有下面两种
27、方法可供使用。有下面两种方法可供使用。2 自相关系数检验法自相关系数检验法3)构造统计量构造统计量mkkrnQ12,1)通过模型通过模型(如如AR(p)反求随机项的样本序列反求随机项的样本序列 t(t=1,2,n；n为实测序列长度为实测序列长度)；2)由由 t 用式用式(3.5)计算自相关系数计算自相关系数rk,(k=1,2,m；m取值可考虑取值可考虑n/4左右左右)5)判断：当判断：当Q ，则，则 t是独立的；反之不独立。是独立的；反之不独立。2 4)若若 t为独立序列，则为独立序列，则Q 渐近服从自由度为渐近服从自由度为(m-p-q)的的 分布；给定显著水平分布；给定显著水平 (常取常取0
28、.05或或0.01)，查，查 分分布表，得布表，得 ；2 22 tptptttxxxx2211综综合合自自相相关关系系数数检检验验法法 2)由由 t 用式用式(3.5)计算自相关系数计算自相关系数rk,(k=1,2,m；m取值可考虑取值可考虑n/4左右左右)；1)通过模型通过模型(如如AR(p)反求随机项的样本序列反求随机项的样本序列 t(t=1,2,n；n为实测序列长度为实测序列长度)；3)由用式由用式(3.8)计算容许度为计算容许度为95%的上下容许限构的上下容许限构;4)将上下容许限和自相关系数将上下容许限和自相关系数rk,绘制在一张图上，绘制在一张图上，再进行判断。当落入容许限之内，则
29、是独立的；反之不再进行判断。当落入容许限之内，则是独立的；反之不独立。独立。自自相相关关系系数数检检验验法法 【例【例1】某站有某站有44年的年径流序列，已识别出为年的年径流序列，已识别出为AR(1)模型。由样本序列，通过该模型算得残差序列模型。由样本序列，通过该模型算得残差序列 t，进而算，进而算出它的自相关系数，见下表。用上述两种进行独立性检验。出它的自相关系数，见下表。用上述两种进行独立性检验。将自相关系数数据代入式，算出将自相关系数数据代入式，算出Q=6.23，选显著水平，选显著水平 =0.05，查，查 分布表分布表(这里自由度为这里自由度为9)得得 =16.9，从而判，从而判断断 t
30、是独立的。应用自相关分析法也可进行检验：自相关是独立的。应用自相关分析法也可进行检验：自相关系数都落入上下容许线之间，见下表，可见系数都落入上下容许线之间，见下表，可见 t是独立的是独立的。22五五 模型模型适用性分析适用性分析 希望选定的模型能反映随机序列真实的基本统计特希望选定的模型能反映随机序列真实的基本统计特性，以便在随机模拟和预报中运用这些特性。选定的模性，以便在随机模拟和预报中运用这些特性。选定的模型除了模型检验外，还必须在适用性上做分析。型除了模型检验外，还必须在适用性上做分析。所谓模型适用性分析，指由随机模型得到的大量模所谓模型适用性分析，指由随机模型得到的大量模拟序列应拟序列
31、应保持保持实测实测(样本样本)序列的主要统计特性。主要统序列的主要统计特性。主要统计特性是指对所研究的问题起主要影响的那些特性。通计特性是指对所研究的问题起主要影响的那些特性。通常来说，它们包括均值、方差常来说，它们包括均值、方差(或变差系数或变差系数)、偏态系数、偏态系数、一阶自相关系数、二阶自相关系数。为了分析模型能否一阶自相关系数、二阶自相关系数。为了分析模型能否保持实测序列的主要统计特性，先用模型模拟出大量的保持实测序列的主要统计特性，先用模型模拟出大量的模拟序列，由此计算其统计参数，然后将它们与实测序模拟序列，由此计算其统计参数，然后将它们与实测序列的相应参数相对比以做出判断。由模拟
32、序列计算统计列的相应参数相对比以做出判断。由模拟序列计算统计参数，有两种方法可供选用。参数，有两种方法可供选用。1.长序列法长序列法 由模型模拟出一个很长的模拟序列，由模型模拟出一个很长的模拟序列，例如模拟出长度例如模拟出长度N为为10000的序列，然后的序列，然后根据这个长序列来计算参数，记为根据这个长序列来计算参数，记为 ，实测序列的相应参数记为实测序列的相应参数记为。若在模拟序。若在模拟序列的长度列的长度N不断增加时，不断增加时，逐渐接近逐渐接近，则称模型在长期序列的意义下则称模型在长期序列的意义下保持保持了实了实测序列参数测序列参数 的特性，进而推断样本出自的特性，进而推断样本出自推论
33、总体，即接受模型作为推论总体。推论总体，即接受模型作为推论总体。2.短序列法短序列法 由模型模拟出许多与等实测序列等长的短序列。例由模型模拟出许多与等实测序列等长的短序列。例如实测序列的长度为如实测序列的长度为40，则模拟序列长度也是，则模拟序列长度也是40。设有。设有长度为长度为n的的Ns个模拟序列个模拟序列,即即 第第1个模拟序列个模拟序列 第第2个模拟序列个模拟序列 第第i个模拟序列个模拟序列 11211,nxxx22221,nxxxiniixxx,21NsnNsNsxxx,21第第Ns个模拟序列个模拟序列 )1(2)1(1)1()1()1(rrCsCv、均值)2(2)2(1)2()2(
34、)2(rrCsCv、均值)(2)(1)()()(iiiiirrCsCv、均值)(2)(1)()()(NsNsNsNsNsrrCsCv、均值 对每一个模拟序列均可计算其统计参数。由第对每一个模拟序列均可计算其统计参数。由第i个模拟序列计算出的参数记为个模拟序列计算出的参数记为 。有。有Ns个模拟序列，个模拟序列，故同一种参数有故同一种参数有Ns个，即个，即 (i=1,2,Ns)。由于抽样。由于抽样的缘故，它们彼此是不相同的。对的缘故，它们彼此是不相同的。对 (i=1,2,Ns)计计算出均值和标准差，记为算出均值和标准差，记为 和和 。若在模拟序列的。若在模拟序列的个数个数Ns不断增加时，不断增加
35、时，逐渐趋近逐渐趋近，(实用中，若实测实用中，若实测样本的某种参数落在该参数的置信区间内，即样本的某种参数落在该参数的置信区间内，即 落入落入在在 的的12倍均方差内倍均方差内)，则称模型在短序列意义下，则称模型在短序列意义下保持保持了实测序列参数了实测序列参数 的特性，即接受模型作为推论的特性，即接受模型作为推论总体。总体。iSi*铜街子站位于大渡河下游，是大渡河的控制站。径铜街子站位于大渡河下游，是大渡河的控制站。径流主要来自降水，但上游有融雪。流域植被较好，调蓄流主要来自降水，但上游有融雪。流域植被较好，调蓄能力强，枯期径流相对较丰。该站有能力强，枯期径流相对较丰。该站有19371979
36、年共年共43年径流资料年径流资料xt(t=1,2,43)，经分析，具有一致性、可靠，经分析，具有一致性、可靠性和代表性。性和代表性。4.5 实例分析实例分析 该站附近拟建一座水电站，需要预估未来年径流多该站附近拟建一座水电站，需要预估未来年径流多年变化情况。因此，需对铜街子站年径流建立随机模型，年变化情况。因此，需对铜街子站年径流建立随机模型，以便模拟出大量序列作为未来年径流量各种变化的预估。以便模拟出大量序列作为未来年径流量各种变化的预估。据该站据该站43年的年径流量序列由式年的年径流量序列由式(3.5)计算出自相关计算出自相关系数并绘出如下图所示的自相关图。在图上加绘了独立系数并绘出如下图
37、所示的自相关图。在图上加绘了独立序列自相关系数置信水平为序列自相关系数置信水平为95的容许限。容许限的计的容许限。容许限的计算公式参见式算公式参见式(3.7)。铜街子站年径流量序列自相关图铜街子站年径流量序列自相关图一一 模型类型选择模型类型选择 右图表明：铜街右图表明：铜街子站年径流量序列的子站年径流量序列的一阶和二阶自相关系一阶和二阶自相关系数均显著异于独立序数均显著异于独立序列，因此为一组相依列，因此为一组相依序列。可选用序列。可选用AR(p)模型。模型。铜街子站年径流量序列偏相关图铜街子站年径流量序列偏相关图 kk,二二 模型形式的识别模型形式的识别 三三 模型参数估计模型参数估计 模
38、型形式识别和参数估计结合在一起进行。模型形式识别和参数估计结合在一起进行。根据铜街子站根据铜街子站43年径流序列，分别计算出年径流序列，分别计算出 均值均值=1491，方差方差s2=36480。前面已算出前面已算出 r1=0.422，r2=0.302。另外可计算偏态系数另外可计算偏态系数Csx=0.331。即铜街子站年径流序列为一偏态相依序列。即铜街子站年径流序列为一偏态相依序列。AR(1)模型模型422.011 r441.0)1(12/32131xCsCsxt=1491+0.422(xt-1-1491)+173.2 t 211222.173)1(rAIC(1)=445.3359.011212
39、11rrr150.01212122rrr437.0)1(12/322113231xCsrrCs1509.0150.0359.02110209359.0150.0121150.012xt=1491+0.359(xt-1-1491)+0.150(xt-2-1491)+171.2 t AR(2)模型模型AIC(2)=446.322211222.171)1(rr同样可以计算同样可以计算AR(3)模型，其模型，其AIC(3)=448.2。由由AIC准则可推断准则可推断AR(1)模型最好。下图绘制了铜模型最好。下图绘制了铜街子站年径流量序列及估计的街子站年径流量序列及估计的AR(1)、AR(2)模型的相模
40、型的相关系数随滞时的变化过程。该图可以看出，关系数随滞时的变化过程。该图可以看出，AR(2)模型模型优于优于AR(1)。对对AR(1)，令，令 t=173.2 t，有，有四四 模型检验模型检验 按此式并根据实测样本序列可算得按此式并根据实测样本序列可算得 1,2,43(其中其中假定假定x0=1491估算出估算出 1)。由此计算出。由此计算出r1(),r2(),r10()，最后计算统计量最后计算统计量Q=4.96。据自由度。据自由度(10-1=9)和显著水平和显著水平=0.05，查，查 2表得始表得始 2 16.92。由于。由于Q 2 ，故，故 t为相为相互独立的假定可以接受。互独立的假定可以接
41、受。t=xt-1491-0.422(xt-1-1491)对于对于AR(2)模型用类似的方法也可判断模型用类似的方法也可判断 t为独立随为独立随机序列。机序列。主要检验主要检验 t是否独立。是否独立。分别对分别对AR(1)模型和模型和AR(2)模型模拟径流序列，然后模型模拟径流序列，然后按长序列法和短序列法计算各种参数，并和实测序列的按长序列法和短序列法计算各种参数，并和实测序列的相应参数做对比，结果列于下表。相应参数做对比，结果列于下表。五五 模型模型适用性分析适用性分析 4个基本参数均值、个基本参数均值、Cv、Cs、r1、r2、r3。综上，大渡河铜街子站年径流的综上，大渡河铜街子站年径流的随机模型可考虑为随机模型可考虑为AR(2)模型。模型。作作 业业本章小结本章小结
