1、第第 五五 章章（11）应应 变变 分分 析析 oxy5 5-2 平面应力状态下的应变研究平面应力状态下的应变研究一、任意方向的应变一、任意方向的应变在所研究的在所研究的 O 点处点处,Oxy 坐标系坐标系内的线应变内的线应变 x ,y,xy 为已知。为已知。求该点沿任意方向的线应变求该点沿任意方向的线应变 。xyo并规定并规定 角以逆时针转动时角以逆时针转动时为正值，反之为负值。为正值，反之为负值。将将Oxy 坐标绕坐标绕O点旋转一个点旋转一个 角，得到一个新角，得到一个新 Oxy 坐坐标系。标系。xy 为为 O 点沿点沿 X 方向的方向的线应变。线应变。为为直角直角 xoy 的的改变量。（
2、剪应变）改变量。（剪应变）xyo xy假设：假设：（1）O点处沿任意方向的点处沿任意方向的微微段内段内,应变是均匀应变是均匀的。的。（2）变形在线弹性范围内）变形在线弹性范围内都是微小的都是微小的,叠加原理叠加原理成立成立。xyo xy分别计算分别计算 x，y，xy，单独存在时的线应变单独存在时的线应变 和剪应变和剪应变 ，然后叠加得这些应变分量同时存在时的然后叠加得这些应变分量同时存在时的 和和 。xyo xyoxy xy1，推导线应变，推导线应变 PABdxdy从从O点沿点沿 x方向取出方向取出一微段一微段 OP=dx,并以并以它作为矩形它作为矩形 OAPB 的的对角线。对角线。该矩形的两
3、边长该矩形的两边长分别为分别为 dx 和和 dy。oxy xyPABdxdycosdxdxOPsindyoxy xyPABdxdy（1）只有正值）只有正值 x 存在存在假设假设 OB 边不动。边不动。矩形矩形 OAPB 变形后变形后成为成为 OAPB。APdxxoxy xyPABdxdyAPdxPPAAxOP的伸长量的伸长量DP为为cosPPDPcosdxxdxxD coscos1dxdxOPDPx2cosxoxy xyPABdxdyAPdxxDO点沿点沿 x 方向的方向的线应变线应变 1 为为 oxy xyPABdxdy（2）只有正值）只有正值 y 存在存在假设假设 OA 边不动。边不动。矩
4、形矩形 OAPB 变形后变形后为为 OAP”B。PBdyydyPPBByoxy xyPABdxdyPBdyyOP的伸长量为的伸长量为sinPPDPsindyyD O点沿点沿 x 方向的线方向的线应变为应变为sinsin2dydyOPDPy2sinyoxy xyPABdxdyPBdyyD（3）只有正值剪应变）只有正值剪应变 xy 存在存在假设假设 OA 边不动边不动矩形矩形 OAPB 变形后为变形后为菱形菱形 OAP“B”。BxydyPPBBxy oxy xyPABdxdyP使直角减小的使直角减小的 为正为正dyxyBxyOP的伸长为的伸长为cos PPDPcosdyxyoxy xyABdxdy
5、PD PdyxyBxyoxy xyABdxdyPD POPDP 3sincosdydyxycossinxyO 点沿点沿 x 方向的方向的 线应变为线应变为dyxy12cosx 22siny 3cossinxy 根据叠加原理，根据叠加原理，x ,y 和和 xy 同时存在时，同时存在时，O点沿点沿 x 方向方向的线应变为的线应变为321cossinsincos22xyyx2sin212cos)(21)(21xyyxyx2，推导剪应变，推导剪应变 （略）（略）22cossin)(xyyx 经三角变换后得：经三角变换后得：2cos22sin)(212xyyx或写作：或写作：2cos22sin)(212
6、xyyx2sin212cos)(21)(21xyyxyx 2cos2sin2 2sin2cos22xyxxyxyx以上两式相似。以上两式相似。二、二、应变圆应变圆2cos22sin)(212xyyx2sin212cos)(21)(21xyyxyx以线应变以线应变 作为横坐标作为横坐标,而将而将(-/2)作为纵坐标作为纵坐标,便可绘出表示便可绘出表示平面应力状态下一点处不同方向的应变变化规律的平面应力状态下一点处不同方向的应变变化规律的应变圆应变圆。2o2xyD1具体作法具体作法:以以 D1(x,xy/2)D2(y,-xy/2)两点连线为直径两点连线为直径画应变圆画应变圆x2xy D2y /2三
7、、三、主应变的数值与方向主应变的数值与方向2oy2xy D2x2xyD1在平面应力状态下，在此在平面应力状态下，在此平面内一点处也存在着两个平面内一点处也存在着两个互相垂直的互相垂直的 主应变主应变,其相应其相应的的剪应变等于零剪应变等于零。/22oy2xy D2x2xyD1A11A22A1 和和A2 两点的纵坐标等于零两点的纵坐标等于零,它们的横坐标分别代表两个它们的横坐标分别代表两个主应变主应变 1,2。/22两个主应变方向间的夹角等两个主应变方向间的夹角等于于90,即两方向互相垂直即两方向互相垂直。20两个主应变的表达式为两个主应变的表达式为 0 为为 1与与 x 轴的夹角。轴的夹角。o
8、y2xy D2x2xyD1A11A22 /2222221)(21)(21)(21)(21xyyxyxxyyxyx主应变主应变 1 与与 x 轴间所夹角度轴间所夹角度 0 为为yxxyyxxy110tg2/)(2/tg2xy450450450 xybac例题例题:用图示的用图示的4545应变花测得某构件表面上一点处应变花测得某构件表面上一点处的三个线应变值为的三个线应变值为 x x=345=3451010-6-6,4545 =208=208 1010-6-6,y y=-149=-149 1010-6-6。试用应变圆求该点处的主应变数值和方向。试用应变圆求该点处的主应变数值和方向。2xy45045
9、0450 xybac解解:(1)选适当的比例尺选适当的比例尺,绘出纵坐标轴。绘出纵坐标轴。x x=345=3451010-6-6 4545 =208 208 1010-6-6 y y=-149=-149 1010-6-62Lcyc Laxa xy450450450 xybac(2)根据已知的根据已知的 x，450，y 值分别作出平行于该轴的直线值分别作出平行于该轴的直线La，Lb，Lc。Lbb450 x x=345=3451010-6-6 4545 =208 208 1010-6-6 y y=-149=-149 1010-6-6xy450450450 xybac2Lcyc Laxa Lbb45
10、0(3)过过 Lb 线上的任一点线上的任一点 B,作与作与Lb成成 45角角(顺时针转向顺时针转向)的的 BA线，交线，交 La 线于线于 A点点;450BA2xy450450450 xybacLcyc Laxa Lbb450 A450(4)由由 B点作与点作与 Lb 成成45角角(逆逆时针转向时针转向)的的 BC 线线,交交 Lc 线于线于 C 点。点。450CB2xy450450450 xybacLcyc Laxa Lbb450 A450450CO1(5)作与作与 BA与与 BC 两线的垂两线的垂直等分线直等分线,相交于相交于 O1 点点B2xy450450450 xybac(6)过与过与
11、 O1 点作横坐标轴点作横坐标轴 轴轴,并以并以 O1A（O1B 或或O1C）为半径为半径作圆作圆,即为即为应变圆应变圆。Lcyc Laxa Lbb450 A450450CO1B o2Lcyc Laxa A450O1xy450450450 xybacLbb450 450C D1D2应变圆与应变圆与 轴的交点轴的交点D1,D2的的横坐标横坐标,即为主应变的数值。即为主应变的数值。1320oxy450450450 xybac12 ;242101751037000623611 ODOD2Lcyc Laxa A450O1Lbb450 450C D1D21320oxy450450450 xybac0112 ;242101751037000623611 ODOD
