1、第三章第三章拉姆齐拉姆齐卡斯卡斯库普曼斯模型库普曼斯模型这一堂课的内容安排这一堂课的内容安排 1 1 模型的假设；模型的假设；2 2 家庭与厂商的行为；家庭与厂商的行为；3 3 经济动态学；经济动态学；4 4 平衡增长路径；平衡增长路径；5 5 贴现率下降的影响；贴现率下降的影响；6 6 调整速度与鞍点路径的斜率。调整速度与鞍点路径的斜率。1 1 模型的假设模型的假设 1、哲学基础假设：代际利他主义。、哲学基础假设：代际利他主义。2、厂商：、厂商：有大量的厂商，每一厂商的生产函数为有大量的厂商，每一厂商的生产函数为Y=F(K,AL)；生产函数的性质与索洛模型相同生产函数的性质与索洛模型相同(如
2、如:规模报酬规模报酬不变不变,稻田条件稻田条件,等等等等)；要素市场和产品市场均为竞争性市场；要素市场和产品市场均为竞争性市场；A给定，并以外生速率给定，并以外生速率g增长；增长；厂商为家庭拥有，因此，厂商所得的全部利润厂商为家庭拥有，因此，厂商所得的全部利润均归家庭。均归家庭。1 1 模型的假设模型的假设 3、家庭：、家庭：有大量的家庭，每一家庭的规模以速率有大量的家庭，每一家庭的规模以速率n增长；增长；家庭每一成员在每一时点供给一单位劳动；家庭每一成员在每一时点供给一单位劳动；家庭将所拥有的资本均租给厂商；家庭将所拥有的资本均租给厂商；家庭的最初资本持有量为家庭的最初资本持有量为K(0)/
3、H；不存在折旧；不存在折旧；家庭将每一时点上的收入用于消费和储蓄，以家庭将每一时点上的收入用于消费和储蓄，以最大化一生效用。最大化一生效用。1 1 模型的假设模型的假设 01,0,101ttL tUeu C tdtHC ttuu C tL ttHC tu C tng家庭效用函数的形式为为 时每一家庭的消费为即期效用函数为 时家庭即期总效用,为贴现率.即期效用函数的形式为:1 1 模型的假设模型的假设,.,0,0,0.,.:010.CuCCuCuuuung定义为u的相对风险回避系数 与 无关反映了家庭在不同时期转换消费的愿望.越小 随着消费上升 边际效用下降越慢家庭越愿意消费随时间变动可以证明
4、任意两时点之间消费的替代弹性为为1即期效用函数的另三个特点不管 的值为何,消费的边际效用恒为正;当1时,该效用函数可简化为lnC;可保证一生效用不发散2 2 家庭与厂商的行为家庭与厂商的行为2.1 2.1 厂商的行为厂商的行为 ,:,:.:().,:.:()().F K ALfkKtr tfk tF K ALf kkfkALtw tf k tk t fk ttA t w t资本的边际产品为即时的真实利率为有效劳动的边际产品为:即时的每单位有效劳动的真实工资为一个工人在时的劳动收入为:2.2 2.2 家庭的最大化问题家庭的最大化问题 00000,:01,1.:0:0tR tR ttR tR tt
5、ttR tn g tR tn g tttR tr t deeL tKL teC tdteA t w tdtHHHec t edtkew t edt1 先看家庭的预算约束定义含义 在 期投资的 单位产品在t期产生单位的产品反之 t期 单位产品在0期的价值为:家庭的预算约束为对上式用有效劳动进行正规化,并化简 12.2 2.2 家庭的最大化问题家庭的最大化问题 00:0lim0:0,:lim0:lim0sR ttssR sR sR ttR ssR sn g ssKL tew tc tA tdtHHsK sKL teew tc tA tdtHHHK seHeek s以极限形式重写预算约束 初始资本+
6、储蓄现值期家庭的资本持有量为于是 预算约束可简写为含义 家庭资产持有量的现值极限不能为负.即2.2 2.2 家庭的最大化问题家庭的最大化问题 1111110111011102011101001001gtntttgtntttgttnttA t c tC tAec tL tLeC tL tUedtHAec tLeedtHLec tAee dtH再看目标函数将上式和=代入家庭目标函数:2.2 2.2 家庭的最大化问题家庭的最大化问题 11101010011:00,10ng ttttLc tUAedtHc tBedtLBAngH 其中 2 2.3 2.3 家庭行为家庭行为 1000,.10:,lnln
7、tttR tng tR tng tttR tng ttc tc tLBedtkew t edtec t edtc tBec teeBtc t家庭的问题是 在预算约束下选择的路径以最大化一生效用我们用目标函数 1 和预算约束 2 来构建拉格朗日函数:家庭选择每一时点上的c,对单个的一阶条件是对两边取对数 +:lnR tng t2.3 2.3 家庭行为家庭行为 :.r tngr tngr tgCr tA t c tC c t求上式两边对t的导数:-c tc t即c t此即卡斯-库普曼斯模型的关键方程 欧拉方程t由于C tt欧拉方程的涵义:如果真实利率大于贴现率 则每工人平均消费上升越小 在对真实利
8、率和贴现率作出反应时,消费的变化越大.3 ,;,3 3 经济的动态学经济的动态学 ,:40,00r tfk tfk tgcfk tgkkkkkckkc由于故有c tc t当时为常数 令当时当时 *,*.*,0c0c3.1 c3.1 c的动态学的动态学0cck*k3.2 k3.2 k的动态学的动态学 0lim,lim0.50,.,.0.kkcf kng kfkfkkk tf k tc tng k tkf kng kckkk 等于实际投资减持平投资当时根据稻田条件与必有两个交点故我们可将 和 的关系描述如右图消费等于实际产量线与持平投资线间的距离时,当 处于黄金律资本水平(f k=n+g)时,稳态
9、的c值达到最大.k0k 0k c0k 0,0,ckkckk当 在线 的上 方 时下 降当 在线下 方 时上 升.3.3 3.3 相图相图0k kc0c k*000,0,;0,0,;:0,0,;:0,0,.kckckckckckckckckc1.如 图 所 示:右 图 被和分 成 4个 区 域.左 上 区 域:下 降上 升左 下 区 域:下 降下 降右 下 区 域上 升下 降右 上 区 域上 升上 升 E3.3 3.3 相图相图 2.,.0,.10,.kkkfkgkfkngfkgngkkgngngkk黄金黄金黄金黄金值得注意的是:值 c=0时的k值小于黄金律的 值.由定义 而值由定义由于因此 当
10、且仅当时成立注:等价于这正是保证一生效用不发散的条件.故必然小于 *3.0,0,0,.45.0,.0.cckckkkkcFkcFkcFkkf k的初始值给定 和 的初始值,和 应如何随时间变动才能满足家庭的最优化条件给定值 设如果开始于高于点的地方 则 必然最终为负以使和得到满足如果开始于低于 点的地方 则 必然最终超过黄金律水平这两条路径都是不可能的.如果开始于,则 收敛于收敛于这是唯一可能的路径 *,r*3.3 3.3 相图相图0c Dc 0kk=0k*BFkE3.4 3.4 鞍点路径鞍点路径0c k=0k*kcE ,0kckckck事实上 对于 的任意正的初始值 都存在唯一的 的初始值它
11、满足家庭的跨期最优化,资本存量的动态学,家庭预期约束,和k的非负约束.将 的初始值表示为 的初始值的函数,即得鞍点路径.对于 的任意初始值,的初始值必等于鞍点路径上的值,即:c 0=4 4 平衡增长路径平衡增长路径(稳态稳态)1 1、仅仅在鞍点路径上，收敛才是可能的。但经、仅仅在鞍点路径上，收敛才是可能的。但经济行为一旦收敛于稳态点，它就等同于处于平济行为一旦收敛于稳态点，它就等同于处于平衡增长路径上的索洛经济的行为。衡增长路径上的索洛经济的行为。每单位有效劳动的平均资本、产出与消费均不每单位有效劳动的平均资本、产出与消费均不变；总资本存量、总产量和总消费以变；总资本存量、总产量和总消费以n+
12、gn+g的速率的速率增长；每工人平均产出、资本与消费以增长；每工人平均产出、资本与消费以g g的速率的速率增长。增长。由此得出结论：拉姆齐模型表明，索洛模型中由此得出结论：拉姆齐模型表明，索洛模型中关于经济增长的驱动力的中心含义并关于经济增长的驱动力的中心含义并不依赖于不依赖于储蓄率为常数的假定储蓄率为常数的假定。即使储蓄率内生，。即使储蓄率内生，劳动劳动的有效性仍然是增长的唯一可能源泉的有效性仍然是增长的唯一可能源泉。4 4 平衡增长路径平衡增长路径 2 2、索洛模型与拉姆齐凯斯库普曼斯模型的、索洛模型与拉姆齐凯斯库普曼斯模型的平衡增长路径之间的惟一显著的差异是，在平衡增长路径之间的惟一显著
13、的差异是，在后后者不可能出现动态无效率者不可能出现动态无效率(k(k kk黄金黄金)。在索洛模型中，当经济在足够高的储蓄率下达在索洛模型中，当经济在足够高的储蓄率下达到平衡增长路径时，其实还存在其它一些可能到平衡增长路径时，其实还存在其它一些可能的取得更高消费的平衡增长路径。的取得更高消费的平衡增长路径。而而在拉姆齐模型中，资本存量高于黄金律资本在拉姆齐模型中，资本存量高于黄金律资本存量的平衡增长路径是不可能的存量的平衡增长路径是不可能的，因为该模型，因为该模型中的储蓄是从家庭行为中推导出来的，家庭效中的储蓄是从家庭行为中推导出来的，家庭效用取决于家庭消费，消费者对现时消费与未来用取决于家庭消
14、费，消费者对现时消费与未来消费进行权衡。消费进行权衡。4 4 平衡增长路径平衡增长路径 典型的无限寿命家庭一旦过度积累，那么，它将典型的无限寿命家庭一旦过度积累，那么，它将意识到这不是最优的，因而会转移到更少储蓄的意识到这不是最优的，因而会转移到更少储蓄的路径上去路径上去。其结果，如果经济处于每期均可得到更高消费的其结果，如果经济处于每期均可得到更高消费的路径上，则此时不会有均衡。路径上，则此时不会有均衡。k k*低于低于k k黄金黄金意味着，经济并不收敛于产生最大的意味着，经济并不收敛于产生最大的可持续可持续c c水平的平衡增长路径。水平的平衡增长路径。4 4 贴现率下降的影响贴现率下降的影
15、响(定性分析定性分析)下降与索洛模型中的储蓄下降与索洛模型中的储蓄率上升相似。率上升相似。当下降时，下降时，c c迅速下降，迅速下降，从而使经济处在新的鞍点路从而使经济处在新的鞍点路径上径上，然后与，然后与k k一起逐渐上一起逐渐上升到新的平衡增长路径之上，升到新的平衡增长路径之上，这些值高于原平衡增长路径这些值高于原平衡增长路径上的值。上的值。与索洛模型不同的是，在该与索洛模型不同的是，在该模型中，储蓄在调整过程中模型中，储蓄在调整过程中将发生变化。将发生变化。ck新*k=0k旧*k c=0E E6 6 调整速度和鞍点路径的斜率调整速度和鞍点路径的斜率 ,5,kkcccckkckkcckkk
16、cckckccckkkkcckckcccccckkcckckkkkkkcckc 1.在和处对取一阶泰勒近似:其中均在和处取值.由于 为常数 故有:*4*:67fkccckkcccckkcckkkkcckkcckkkcckkcckkkc计 算 可 得上 式 意 味 着的 增 长 率 和的 增 长 率仅 取 决 于与之 比如 果 c和 的 值 使 得与以 相 同 的 速 率 下 降 那 么 从与以 相 同 的 速 率 下 降 的 这 一 点 开 始,经 济 沿 一 直 线 向*.*,*,.kc运 动,其 间,经 济 与间 的 距 离 以 一 不 变 速 率 下 降*,*,61887,:1,1ccc
17、cfkccckkfkckkkkkkcckkccfkc用表 示方 程意 味 着将代 入可 得在的 前 提 下 有*6 6 调整速度和鞍点路径的斜率调整速度和鞍点路径的斜率 c=02,:42,fkckc解上述二次方程 得要使经济收敛于必须为负检查上式可知只有一个解可能为负.由此与设定可知,鞍点路径的斜率必须为正.*,*k=0c和k以速率u向平衡增长路径收敛，u即为调整速度。总结总结 1 1 模型的假设；模型的假设；2 2 家庭与厂商的行为；家庭与厂商的行为；3 3 经济动态学；经济动态学；4 4 平衡增长路径；平衡增长路径；5 5 贴现率下降的影响；贴现率下降的影响；6 6 调整速度与鞍点路径的斜率。调整速度与鞍点路径的斜率。讨论讨论 1 1、按照索洛模型和拉姆齐模型的观点，、按照索洛模型和拉姆齐模型的观点，人均资人均资本变动对人均收入的变动影响不大，本变动对人均收入的变动影响不大，劳动的有效劳动的有效性是增长的唯一可能源泉。性是增长的唯一可能源泉。但是，为什么有一些学者会认为，中国最近三十但是，为什么有一些学者会认为，中国最近三十年的经济增长在相当程度上来自投资的增加？年的经济增长在相当程度上来自投资的增加？
