1、学习目标1.会运用勾股定理确定数轴上表示实数的点及解决 网格问题.（重点）2.灵活运用勾股定理进行计算，并会运用勾股定理 解决相应的折叠问题.（难点）欣赏下面海螺的图片：导入新课导入新课情景引入在数学中也有这样一幅美丽的“海螺型”图案，如第七届国际数学教育大会的会徽.这个图是怎样绘制出来的呢？问题1 我们知道数轴上的点与实数一一对应，有的表示有理数，有的表示无理数.你能在数轴上分别画出表示3,-2.5的点吗？3-2.5问题2 求下列三角形的各边长.12123？21513复习引入 -1 0 1 2 3 问题1 你能在数轴上表示出 的点吗？呢？22用同样的方法作 呢？3,4,5,6,7讲授新课讲授
2、新课勾股定理与数轴一提示：可以构造直角三角形作出边长为无理数的边，就能在数轴上画出表示该无理数的点.思考 根据上面问题你能在数轴上画出表示 的点吗？13113213313?问题2 长为 的线段能是直角边的长都为正整数的直角三角形的斜边吗？1301234步骤：lABC1.在数轴上找到点A,使OA=3;2.作直线lOA,在l上取一点B，使AB=2;3.以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴交 于C点，则点C即为表示 的点.133132O也可以使OA=2，AB=3，同样可以求出C点.利用勾股定理表示无理数的方法:（1）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边.（2）以原
3、点为圆心，以无理数斜边长为半径画弧与数轴存在交点，在原点左边的点表示是负无理数，在原点右边的点表示是正无理数.归纳总结“数学海螺”类似地，利用勾股定理可以作出长为 线段.2,3,5211345类比迁移 例1 如图，数轴上点A所表示的数为a，求a的值.解：图中的直角三角形的两直角边为1和2，斜边长为 ，即1到A的距离是 ，点A所表示的数为 .2221=5551易错点拨：求点表示的数时注意画弧的起点不从原点起，因而所表示的数不是斜边长.典例精析1.如图，点A表示的实数是 （）2.如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表
4、示的数为（）A.2 B.51 C.101 D.5CA.3 B.5 C.3 D.5D练一练01234lABC3.你能在数轴上画出表示 的点吗？17117?勾股定理与网格二画一画 在55的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在给定网格中以A出发分别画出长度为 的线段AB25,8，2AB5AB8ABBBB 例2 在如图所示的68的网格中，每个小正方形的边长都为1，写出格点ABC各顶点的坐标，并求出此三角形的周长解：由题图得A(2,2),B(-2,-1),C(3,-2).由勾股定理得ABC的周长为22435AB ，221417AC，221526BC，51726.勾股定理与网格的综合求线段长时，通
5、常是把线段放在与网格构成的直角三角形中，利用勾股定理求其长度.归纳 例3 如图是由4个边长为1的正方形构成的田字格，只用没有刻度的直尺在这个田字格中最多可以作出多少条长度为 的线段？5解：如图所示，有8条.一个点一个点的找，不要漏解.例4 如图，在22的方格中，小正方形的边长是1，点A、B、C都在格点上，求AB边上的高.1113221 21 11 22222ABCS ，1,2ABCSAB CD又又22125AB，13,22AB CD解：如图，过点C作CDAB于点D.33 555CD.D 此类网格中求格点三角形的高的题，常用的方法是利用网格求面积，再用面积法求高.归纳 如图，在55正方形网格中，
6、每个小正方形的边长 均为1，画出一个三角形的长分别为 .2 210、ABC练一练解：如图所示.例5 如图，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的F点处，若AB=8cm，BC=10cm，求EC的长.DABCEF解：在RtABF中,由勾股定理得 BF2=AF2AB2=10282=36，BF=6cm.CF=BCBF=4.设EC=xcm，则EF=DE=(8x)cm，在RtECF中,根据勾股定理得 x2+42=(8x)2，解得 x=3.即EC的长为3cm.勾股定理与图形的计算三要用到方程思想【变式题】如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B处，点A的对
7、应点为A，且BC3，求AM的长.解：连接BM，MB.设AMx，在RtABM中，AB2AM2BM2.在RtMDB中，MD2DB2=MB2.MBMB，AB2AM2MD2DB2，即92x2(9x)2(93)2，解得x2.即AM2.折叠问题中结合勾股定理求线段长的方法:(1)设一条未知线段的长为x(一般设所求线段的长为x)；(2)用已知线数或含x的代数式表示出其他线段长；(3)在一个直角三角形中应用勾股定理列出一个关于x 的方程；(4)解这个方程，从而求出所求线段长.归纳总结例6 如图，四边形ABCD中A=60，B=D=90，AB=2，CD=1，求四边形ABCD的面积解：如图，延长AD、BC交于EB=
8、90，A=60，E=9060=30，在RtABE和RtCDE中，AB=2，CD=1，AE=2AB=22=4，CE=2CD=21=2，由勾股定理得E2222422 3213BEDE，113 3=2 323 1=.222ABCDS四四边边形形DCBA补形法求面积当堂练习当堂练习1.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B都是格点，则线段AB的长度为（）A.5 B.6 C.7 D.25A 2.小明学了利用勾股定理在数轴上作一个无理数后，于是在数轴上的2个单位长度的位置找一个点D，然后点D做一条垂直于数轴的线段CD，CD为3个单位长度，以原点为圆心，以到点C的距离为半径作弧，交数轴于
9、一点，则该点位置大致在数轴上（）A.2和3之间 B.3和4之间 C.4和5之间 D.5和6之间 B3.如图，网格中的小正方形边长均为1，ABC的三个顶点均在格点上，则AB边上的高为_.8 1313解：AB=AD=8cm，A=60，ABD是等边三角形.ADC=150,CDB=15060=90，BCD是直角三角形.又四边形的周长为32cm，CD+BC=32-AD-AB=32-8-8=16(cm).设CD=x，则BC=16-x，由勾股定理得82+x2=(16-x)2解得x=6cm.SBCD=68=24(cm)2.4.如图，在四边形ABCD中，AB=AD=8cm，A=60，ADC=150，已知四边形A
10、BCD的周长为32cm，求BCD的面积125.如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D处，求重叠部分AFC的面积.解：易证AFDCFB，DF=BF，设DF=x，则AF=8-x，在RtAFD中，(8-x)2=x2+42，解得x=3.AF=AB-FB=8-3=5，SAFC=AFBC=10126.问题背景：在ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为 ,求这个三角形的面积小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点ABC（即ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图所示这样不需求ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积（1
11、）求ABC的面积；图11173 31 2231 32222ABCS 解解：.能力提升：5103a、（2）若ABC三边的长分别为 (a0)，请利用图的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的ABC，并求出它的面积解：如图,5,2 2,17aaa思维拓展：2225,ABaaa22222 2,BCaaa22417,ACaaaABC即为所求，2111=2422243.222ABCSaaaaaaaaa图ABC课堂小结课堂小结利用勾股定理作图或计算在数轴上表示出无理数的点利用勾股定理解决网格中的问题利用勾股定理解决折叠问题及其他图形的计算通常与网格求线段长或面积结合起来通常用到方程思想学习目标1.掌
12、握二次根式的混合运算的运算法则.（重点）2.会运用二次根式的混合运算法则进行有关的运算.（难点）导入新课导入新课问题1 单项式与多项式、多项式与多项式的乘法法则法则分别是什么?问题2 多项式与单项式的除法法则是什么?m(a+b+c)=ma+mb+mc；(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb复习引入(ma+mb+mc)m=a+b+c分配律 单多 转化 前面两个问题的思路是：思考 若把字母a,b,c,m都用二次根式代替(每个同学任选一组)，然后对比归纳，你们发现了什么？单单 讲授新课讲授新课 二次根式的混合运算及应用一 二次根式的加、减、乘、除混合运算与整式运算一样，体现在：运算律、运算顺序
13、、乘法法则仍然适用.例1 计算：18+3624 23 62 2（）（）；（）（）；解：18+3686+36（）（）4 3+3 2.24 23 62 24 22 23 62 2（）（）323.2 二次根式的混合运算，先要弄清运算种类，再确定运算顺序：先乘除，再加减，有括号的要算括号内的，最后按照二次根式的相应的运算法则进行.归纳3(23)(25).（）23(23)(25)25 2+3 215（）（）解：132 2.此处类比“多项式多项式”即(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab.(1)32327+63（）；06(2)20163+312.2（）-633 336 解：(1)原式3 3.(2)
14、原式1+2 333 32.【变式题】计算：有绝对值符号的，同括号一样，先去绝对值，注意去掉绝对值后，得到的数应该为正数.归纳例2 甲、乙两个城市间计划修建一条城际铁路，其中有一段路基的横断面设计为上底宽 ，下底宽 ，高 的梯形，这段路基长 500 m，那么这段路基的土石方(即路基的体积,其中路基的体积=路基横断面面积路基的长度)为多少立方米呢？62m42m6m4 2m6m6 2m典例精析解：路基的土石方等于路基横断面面积乘以路基的长度，所以这段路基的土石方为：14 26 265002 23 2650025 2650035000 3 m.答：这段路基的土石方为35000 3m.计算：3 1 6
15、2 2 2+2 1 28-()()；().().3=6228 -3=6 228 -.3=2 323=32 -3 1 6 28()()-2 2+2 1 2 ()()-=2 2 2+222 -=2 2 2+2 2 -.=2 -：解解练一练问题1 整式乘法运算中的乘法公式有哪些?平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2;完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2;(a-b)2=a2-2ab+b2.利用乘法公式进行二次根式的运算二问题2 整式的乘法公式对于二次根式的运算也适用吗?整式的乘法公式就是多项式多项式前面我们已经知道二次根式运算类比整式运算，所以适用哟例3 计算：21(53)(53);
16、(2)(32).（）2253（）（）解：1(53)(53)（）532.2(2)(32)223232+2（）34 3+474 3.典例精析(3)3 248184 3;32(4).aa babaabab 解：30.3 24 33 24 3(3)3 248184 3223 24 3.baabaababababaab32(4)aa babaabab 进行二次根式的混合运算时，一般先将二次根式转化为最简二次根式，再根据题目的特点确定合适的运算方法，同时要灵活运用乘法公式，因式分解等来简化运算.归纳【变式题】计算：2018201812 232 23;（）（）（）20172019322-3232.2（）（）
17、（）解：(1)原式20182 232 2+3=（）（）20181=（）1.=(2)原式201723 2-323 2322（）（）（）201717+4 33（）7+4 337+3 3.计算：2(1)2 2-1(2)2-35723.；(2)2-35723 2(1)2 2-1 ：解解 练一练2-32357 57 222 21 22 21 94 2.57.先用乘法交换律，再用乘法公式化简.求代数式的值三 例3 已知 试求x2+2xy+y2的值.3 1,3 1,xy解：x2+2xy+y2=（x+y)2把 代入上式得3 1,3 1,xy原式=23+1+31（）（）22 312.（）32,32xy解:，x3
18、y+xy3=xy(x2+y2)=xy(x+y)2-2xy32,32xy32322 3,xy 3232321,xy 212 32 110.【变式题】已知 ，求x3y+xy3.用整体代入法求代数式值的方法：求关于x,y的对称式(即交换任意两个字母的位置后，代数式不变)的值，一般先求x+y,xy,x-y,等的值，然后将所求代数式适当变形成知含x+y,xy,x-y,等式子，再代入求值.归纳xyxy在前面我们学习了二次根式的除法法则时，学会了怎样去掉分母的二次根式的方法，比如:575777357拓展探究思考 如果分母不是单个的二次根式，而是含二次根式的式子，如：等，该怎样去掉分母中的二次根式呢？21,3
19、2根据整式的乘法公式在二次根式中也适用，你能想到什么好方法吗？例4 计算:141;2.3251（）（）解:1321132.323232（）4514514251.4515151（）分母形如 的式子，分子、分母同乘以 的式子，构成平方差公式，可以使分母不含根号.归纳m an bm an b【变式题】已知 ,求 .11,5252ab222ab解:15252,525252a15252,525252b222222ababab2525225252220222 5.解决二次根式的化简求值问题时，先化简已知条件，再用乘法公式变形、代入求值即可.归纳已知 的整数部分是a,小数部分是b,求a2-b2的值.10解：
20、31043,103.ab22ab练一练6 1010.223(103)3103310310610当堂练习当堂练习1.下列计算中正确的是（）1A.3(3)33B.(12-27)31 1C.32222D.3(23)62 3B2.计算：22+324.（）5 3.设 则a b(填“”“”“”或 “=”）.,1103103ab，=4.计算：;11(1)3222(2)23 2-3 ；(1)3222 解：4 222 5 22 5.11(2)23 2-3 2-32323 2-323 2-3 423 2-3 2244.2-3 (3)333-3 ；(4)3102-5 ;22=33 =93=6解：原式.201(5)3
21、13+1+-2+83（）（）（）.29+1+2 2解：原式6+2 2.5.在一个边长为 cm的正方形内部，挖去一个边长为 cm的正方形，求剩余部分的面积.(6 155 5)(6 155 5)解：由题意得22(6 155 5)(6 155 5)即剩余部分的面积是2600 3cm.(6 155 5)(6 155 5)(6 155 5)(6 155 5)212 15 10 5600 3(cm).6.(1)已知 ，求 的值；31x 223xx解：x2-2x-3=(x-3)(x+1)31331 1 32321.(2)已知 ，求 的值.5151,22xy22xxyy解：51515,22xy51511,22
22、xy2222514.xxyyxyxy 6.阅读下列材料，然后回答问题：在进行类似于二次根式 的运算时，通常有如下两种方法将其进一步化简：231方法一：2231231231;31313131方法二：313123 131.313131能力提升：535325353.535353(1)请用两种不同的方法化简：(2)化简：2;5322253253253;53535353解：(1)1111.4264862018201614264862018201621111(2)42648620182016120182.2课堂小结课堂小结二次根式混合运算乘法公式化简求值分 母 有 理 化化简已知条件和所求代数式 (a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
