1、11/27/2022第六节第六节 线性系统的稳态误差计算线性系统的稳态误差计算第三章第三章 时域分析法时域分析法11/27/2022 稳定性、动态性稳定性、动态性能和稳态性能能和稳态性能是我们是我们分析系统、评价系统分析系统、评价系统和改善系统时所用的和改善系统时所用的三类重要衡量标准。三类重要衡量标准。11/27/2022 稳态误差是描述系统稳态性能的性能指标。对于稳定的系统，暂态响应随时间的推移而衰减，若时间趋于无穷时，系统的输出量不等于输入量或输入量确定的函数，则系统存在稳态误差。稳态误差是系统控制精度或抗扰动能力的一种度量。11/27/20221 稳态误差的分类稳态误差的分类v原理性稳
2、态误差和结构性稳态误差原理性稳态误差：控制系统由于系统结构、输入的作用类型和形式所产生的稳态误差。结构性稳态误差：控制系统由于非线性因素所引起的系统稳态误差，称为结构性稳态误差(附加稳态误差)。给定信号或给定信号或扰动信号扰动信号三种典型三种典型外作用外作用元件的不灵敏、元件的不灵敏、零点漂移、老化零点漂移、老化及机械间隙、摩及机械间隙、摩擦擦一一 误差和稳态误差误差和稳态误差11/27/2022v给定稳态误差(由给定输入引起的稳态误差由给定输入引起的稳态误差)和扰动稳态误差(由扰动输入引起的稳态误差由扰动输入引起的稳态误差)系统的性质不同两种误差在稳态性能分析的地位不同 随动系统要求系统输出
3、量以一定的精度随动系统要求系统输出量以一定的精度跟随输入输入量的变化，因而用量的变化，因而用给定稳态误差来衡量系统的稳态性来衡量系统的稳态性能。能。恒值系统需要分析输出量在扰动作用下所受到的恒值系统需要分析输出量在扰动作用下所受到的影响，因而用影响，因而用扰动稳态误差来衡量系统的稳态性能。来衡量系统的稳态性能。11/27/20222 误差的两种定义误差的两种定义()()()()()()E sR sB sR sH s C su输入端定义：输入信号与反馈信号之差为输入端定义：输入信号与反馈信号之差为作用误差。作用误差。11/27/20221()H s()R s()C s()()G s H s()C
4、 s()E su输出量的理想值输出量的理想值：()()0()()()0()()R sE sR sH s C sC sH s时，()()()()()()R sE sC sC sC sH s输出端定义：理想输出值与实际输出值的差值为输出端定义：理想输出值与实际输出值的差值为系系统误差。统误差。11/27/2022两种误差之间的关系()()()()()()()()()R sB sE sE sC sC sH sH sH su两种误差的比较两种误差的比较 从输入端定义的误差在实际的物理系统中可从输入端定义的误差在实际的物理系统中可以测量，便于实施控制，具有一定的物理意义；从以测量，便于实施控制，具有一定
5、的物理意义；从输出端定义的误差在实际的物理系统中有时无法测输出端定义的误差在实际的物理系统中有时无法测量量(主要指理想输出主要指理想输出)，因此只具有数学意义。，因此只具有数学意义。11/27/2022v作用误差简称误差，记作作用误差简称误差，记作E(s)或或e(t)()()()E sR sB s()1()()1()()eE ssR sG s H s系统误差传函()()()R sC s H s()()()()R sG s E s H s1()()1()()E sR sG s H s()()es R s 11/27/2022v稳态误差稳态误差ess()()()tssse tetetlim()0t
6、ste tlim()ssssteetlim()lim()()lim()sstssssstttee te te te ttwinkle state errorsteady state error00lim()l()lim1()(im)()ssstse tsE ssR seG s H s由终值定理：由终值定理：11/27/2022二二 系统的类型系统的类型(开环传函中串联积分环节的数目开环传函中串联积分环节的数目)11(1)()()()()(1)miinjjKsB sG s H sR ssT s0,0型系统1,1型系统2,2型系统3,使系统稳定相当困难，一般很少采用。注意：注意：尾尾1形式形式11
7、/27/2022三三 典型输入信号作用下系统的稳态误差典型输入信号作用下系统的稳态误差ess和稳和稳态误差系数态误差系数(Kp、Kv、Ka)0011limlim1()()1()()ssssseG s H s sG s H s0lim()()psKG s H s位置误差系数位置误差系数1、单位阶跃输入作用下的稳态误差、单位阶跃输入作用下的稳态误差将将R(s)=1/s代入代入ess11sspeK11/27/202211sspeK0型系统：1001(1)lim()()lim(1)miipnssjjKsKG s H sKsT s11sseK1 时：101(1)lim(1)miipnsjjKsKsT s
8、 0sse 11/27/20221 1、0型系统对阶跃输入的稳态误差为一定值 ，误差的大小与系统的开环放大系数K成反比，K越大，ess越小，只要K不是无穷大，系统总有误差存在。11K结论结论2 2、具有单位负反馈的1型系统可以准确跟踪阶跃输入信号，稳态误差为0。要准确跟踪阶跃输入信号，必须采用要准确跟踪阶跃输入信号，必须采用1 1型及以上型及以上系统。系统。11/27/202205101520253000.20.40.60.811.21.41.61.8Step ResponseTime(sec)Amplitude11()1G ss21()(1)G ss sstep(feedback(tf(1,
9、conv(1 0,1 1),1)step(feedback(tf(1,1 1),1)3221()(1)sG sssstep(feedback(tf(2 1,conv(1 0 0,1 1),1)11/27/202220011limlim1()()()()ssssseG s H sssG s H s0lim()()vsKsG s H s速度误差系数速度误差系数2、单位速度输入作用下的稳态误差、单位速度输入作用下的稳态误差将将R(s)=1/s2代入代入ess1ssveK1100011(1)lim()()limlim(1)miivnsssjjKsKKsG s H sssT s11/27/20221ss
10、veK10limvsKKs0型系统：00vssKe 1型系统：11vssKKeK1型以上系统：20vssKe 11/27/20221sseK结论结论3 3、具有单位负反馈的2型或2型以上的系统可以准确跟踪斜坡输入信号稳态误差为0。2 2、具有单位负反馈的1型系统可以跟随斜坡输入，但有一定的误差(稳态速度误差)。1 1、0型系统在稳态时，不能跟踪斜坡输入信号，最后误差为。要准确跟踪速度输入信号，必须采用要准确跟踪速度输入信号，必须采用2 2型及以上型及以上系统。系统。11/27/202211()1G ss21()(1)G ss s3221()(1)sG sss051015051015 Input
11、:In(1)Time(sec):10 Amplitude:10 System:g2 Time(sec):10 Amplitude:9 Linear Simulation ResultsTime(sec)Amplitude11/27/2022320011limlim1()()()()ssssseG s H s ss G s H s20lim()()asKs G s H s加速度误差系数加速度误差系数3、单位加速度输入作用下的稳态误差、单位加速度输入作用下的稳态误差将将R(s)=1/s3代入代入ess1ssaeK21200021(1)lim()()limlim(1)miiansssjjKsKKs
12、G s H sssT s11/27/20221ssaeK20limasKKs0型系统：00assKe 1型系统：10assKe 12assKKeK2型以上系统：2型系统：30assKe 11/27/2022结论结论3 3、具有单位负反馈的3型或3型以上的系统可以准确跟踪加速度输入信号，稳态误差为0。2 2、具有单位负反馈的2型系统可以跟随加速度输入信号，但有一定的误差(稳态加速度误差)。要准确跟踪加速度输入信号，必须采用要准确跟踪加速度输入信号，必须采用3 3型及以型及以上系统。上系统。1 1、0型和1型系统在稳态时，不能跟踪加速度输入信号，最后误差为。1K11/27/202211()1G s
13、s20.05()(1)G ss s320.004(81)(41)()(61)ssG sss01020304050607080901000100020003000400050006000Linear Simulation ResultsTime(sec)Amplitude43(1)(2)()ssG ss11/27/202200.511.522.533.544.5502468101214Linear Simulation ResultsTime(sec)Amplitude响应时间为5s时的响应曲线（从图中可以看出3型系统跟踪输入信号的能力很强）11/27/2022系统型别、静态误差系数与输入信号之
14、间的关系系统型别、静态误差系数与输入信号之间的关系型型 别别 静态误差系数静态误差系数 阶跃输入阶跃输入)(1)(tRtr 斜坡输入斜坡输入 Rttr)(加速度输入加速度输入 2)(2Rttr n n pK vK aK 1PssKRe VssKRe assKRe 0 K 0 0)1(KR K 0 0 KR K 0 0 KR 00 0减小或消除误差的措施减小或消除误差的措施：增加开环增益：增加开环增益 K、提高系统的型别、提高系统的型别 n n。11/27/2022v如果系统承受的输入信号是多种典型信号的组合20121()1()2r tRtRtR t由叠加原理知稳态误差由叠加原理知稳态误差012
15、1sspvaRRReKKK至少选用2型系统，否则稳态误差为。选择高型别系统可以较准确地跟踪输入信号，但在系选择高型别系统可以较准确地跟踪输入信号，但在系统的动态性能要求上不易满足。统的动态性能要求上不易满足。11/27/2022 例1 已知单位反馈系统的开环传递函数，求输入为r(t)=2+2t+t2时，系统的稳态误差。2210(21)()(6100)sG ssss解：(1)列劳斯表判断系统的稳定性系统特征式为：432()61002010D sssss432101100103102932813sssss由劳斯表知系统稳定。11/27/20222210(21)()(6100)sG ssss开环增益
16、K=0.1注意要化注意要化成尾成尾1形式形式系统型别=21()2r t 当 时，10sse2()2r tt当 时，20sse223()22tr tt当 时，32200.1ssReK2()2r tttt 当 时，12320sssssssseeee(2)求稳态误差11/27/2022*2()(4200)KG ss ss 例2 已知单位反馈系统的开环传递函数，求位置误差系数Kp、速度误差系数Kv、加速度误差系数Ka。解：开环增益*200KK 系统型别=1所以：所以：Kp=，*,200vKKKKa=011/27/2022四四 扰动稳态误差扰动稳态误差干扰信号作用下的稳态误差称为扰动稳态误差。R(s)-
17、B(s)(1sG)(2sG+N(s)(sHC(s)E(s)212()()()1()()()NCsG sN sG s G s H s212()()()1()()()NG sCsN sG s G s H s扰动输入作用下的传函：扰动输入作用下的输出：11/27/2022()()()NEsR sB s扰动误差：扰动稳态误差：20012()()lim()lim1()()()ssNNssG s H sesEsG s G s H s212()()()1()()()NG sCsN sG s G s H s()()()NR sH s Cs()()NH s Cs 212()()()1()()()G s H sN
18、 sG s G s H s 如果扰动是单位阶跃函数，则2121(0)(0)11(0)(0)(0)(0)ssNGHeGGHG11/27/20222121(0)(0)11(0)(0)(0)(0)ssNGHeGGHG在扰动作用点以前的系统前向通路环节G1(s)的放大系数(传递函数)越大，则由一定扰动引起的稳态误差越小。如果在G1(s)中包含有积分环节 ，则扰动稳态误差为0。结论：1s11/27/2022 例3 控制系统如图所示，R(s)=R0/s,N(s)=n0/s，求系统的稳态误差。12()(1)K KG ss TsR(s)-B(s)1K2(1)Ks Ts+N(s)(sHC(s)E(s)解：开环传
19、递函数为：2212()()(1)NKEsN ss T sK K在干扰作用下的输出：系统为1型系统，对阶跃输入信号的稳态误差为0。在干扰作用下的稳态误差：001lim()ssNNsnesEsK 11/27/2022五五 减小或消除稳态误差的措施减小或消除稳态误差的措施v增大系统开环增益或扰动作用点之前系统前向通路增益 1、减小由给定信号引起的稳态误差(增大K)；2、减小由扰动信号引起的稳态误差(增大K1)。v在系统的前向通道或主反馈通道设置串联积分环节 1、提高系统的型别，提高对给定信号的跟踪性能；2、消除了干扰信号引起的稳态误差。R(s)-B(s)(1sG)(2sG+N(s)(sHC(s)E(s)
