1、3-6 线性系统的稳态误差计算线性系统的稳态误差计算稳态误差是衡量系统控制精度的静态稳态误差是衡量系统控制精度的静态指标。反映系统的指标。反映系统的准确性准确性。实际的控制系统由于本身结构和输入实际的控制系统由于本身结构和输入信号的不同信号的不同,其稳态输出量不可能完全与其稳态输出量不可能完全与输入量一致输入量一致,也不可能在任何扰动作用下也不可能在任何扰动作用下都能准确地恢复到原有的平衡点。都能准确地恢复到原有的平衡点。系统存在摩擦、间隙、不灵敏区等非系统存在摩擦、间隙、不灵敏区等非线性因素，会造成附加的稳态误差。线性因素，会造成附加的稳态误差。控制系统设计时应尽可能减小稳态误控制系统设计时
2、应尽可能减小稳态误差。差。当稳态误差足当稳态误差足够小，可够小，可以忽略不计的以忽略不计的时候时候,可以认为系统的稳态误差为零可以认为系统的稳态误差为零,这这种系统称为种系统称为无差系统无差系统,而稳态误差不为零而稳态误差不为零的系的系统统则称为则称为有差系统有差系统。注意：只有当系统稳定时注意：只有当系统稳定时,才可以分才可以分析系统的稳态误差。析系统的稳态误差。3.6.1 误差与稳态误差误差与稳态误差控制系统如图所示控制系统如图所示，比比较器的输出较器的输出：)=R(s)H(s)C(s)E(s)称为称为误差信号，简称误差（偏差）。系误差信号，简称误差（偏差）。系统在统在E(s)作用下产生作
3、用下产生动作，使输出量趋于希望值。动作，使输出量趋于希望值。误差定义方式：误差定义方式：从输入端定义的误差从输入端定义的误差从输出端定从输出端定义义的误差的误差从输入端从输入端定义的误定义的误差是系统设差是系统设定输入量与定输入量与主反馈量主反馈量之差之差,即：即：1.从输入从输入端定义端定义的误差的误差e(t)=r(t)b(t)这种定义有现实的物理意这种定义有现实的物理意义义，在实际系统中可，在实际系统中可以测量。以测量。从输出端从输出端定义的误定义的误差是系统差是系统输出量的期输出量的期望值与实际值之差望值与实际值之差,即即2.从输出从输出端定义端定义的误差的误差e(t)=cr(t)c(t
4、)cr(t)是与系统设定输入量是与系统设定输入量r(t)相应的相应的期望期望输出量。输出量。这种定义在实际系统中往往不可测。这种定义在实际系统中往往不可测。3.两种误差两种误差定义定义的关系的关系（1）从系统输出端来定义的误差，从系统输出端来定义的误差，它在性能指标提它在性能指标提法中经常使用，但在实际系法中经常使用，但在实际系统中无法测量，因统中无法测量，因而，一而，一般只有数学意义。般只有数学意义。（2）而从系统的输入端来定义而从系统的输入端来定义的误差，它在实际系的误差，它在实际系统中是统中是可以测量的，因而具可以测量的，因而具有实用性。有实用性。（3）对于对于单位反馈单位反馈系统系统，
5、要求输出量，要求输出量c(t)的变化规律的变化规律与给定输入与给定输入r(t)的变化规律完全一致，的变化规律完全一致，所以所以给定输入给定输入此时，上此时，上述两种定义统一述两种定义统一为：为：e(t)=r(t)-c(t)对于对于单单位反馈位反馈系统，误差的两种定义形式系统，误差的两种定义形式是一致是一致的。的。r(t)也就是输出量的希望值也就是输出量的希望值 cr(t)，即，即 cr(t)=r(t)。控制系统结构图控制系统结构图等效单位反等效单位反馈馈系统结构图系统结构图对于非单对于非单位反馈系统，若位反馈系统，若设两种形式的误差为设两种形式的误差为E(s)与与E(s)，则则E(s)与与E(
6、s)之间存在如下关系：之间存在如下关系：两种定义对非单位反馈系两种定义对非单位反馈系统是存在差异的统是存在差异的，但两种定义下的但两种定义下的误差之间具有确定的关系。误差之间具有确定的关系。它们它们都能反映控制系统的控制精度。在下面都能反映控制系统的控制精度。在下面的讨论的讨论中，我们将采用第一种误差定义。中，我们将采用第一种误差定义。E (s)H (s)E (s)=e =lim e(t)t 误差传递函数。误差传递函数。er(s)=1+G(s)H(s)-R(s)ess =lim e(t)=lim sE(s)4.稳态误差稳态误差由拉斯变由拉斯变换的换的终值定理终值定理可得：可得：t s 0=li
7、m ss 0R(s)1+Gk(s)=lim ss 0R(s)1+G(s)H(s)当当t时，系统的误差时，系统的误差称为称为稳态误差稳态误差，用，用ess来表来表示，即：示，即：ssE(s)1注意：注意：拉斯变换的拉斯变换的终值定理终值定理的使用是有的使用是有条件条件的，即的，即sE(s)的极点均位于的极点均位于s左半平面左半平面(包括坐标原点包括坐标原点)。K(i s+1)(T s+1)s3.6.2 系统类型系统类型稳态误差的计算与系统的类型有关，而系稳态误差的计算与系统的类型有关，而系统的统的类类型是由开环传递型是由开环传递函函数决定的。一般系统的数决定的。一般系统的开环开环传递函传递函K：
8、系统：系统的的开环放大倍数；开环放大倍数；i和和Tj：时间常数；：时间常数；v：开环传递函数中积分单元的个数，开环传递函数中积分单元的个数，即开环传递函数在即开环传递函数在原点处极点的个数。原点处极点的个数。v=0,1和和2的系统分别称为的系统分别称为0型系统、型系统、型系统和型系统和型系统。型系统。vjmi=1nvj=1 数数可以可以表表示为：示为：Gk(s)=G(s)H(s)=尾尾1型型=lim s K (i s+1)(T s+1)svjt s 0s 0R(s)mi=1n vj=1=lim ss 0=lim ss 0R(s)1+G(s)H(s)R(s)1+Gk(s)1+ess=lim e(
9、t)=limsE(s)1 ess =K (j s+1)1+K p j=1s 0 (i s+1)在单位阶在单位阶跃输入下，跃输入下，给给定稳态误差决定于系统的定稳态误差决定于系统的位置稳位置稳态误差。态误差。对于对于0型型 e =系统系统 v=0 1+K p 1+K=K3.6.3稳态误差和静态误差系数的计算稳态误差和静态误差系数的计算1.单位阶跃输入作用下的稳态误差和静态误差系数单位阶跃输入作用下的稳态误差和静态误差系数对于单位阶跃输入对于单位阶跃输入r(t)=1(t），），R(s)=1/s,得系得系统的稳态误差为统的稳态误差为ms 0i=11 1 K p =lim nss=limKs v (i
10、 s+1)11+K pv 1对于对于型系统（或高型系统（或高于于型的系统）型的系统）mK (j s+1)j=1p n vs 0i=1 ess =00型系型系统中没有积分环节，它对阶跃统中没有积分环节，它对阶跃输入的稳态输入的稳态误差误差为一定值为一定值，误差的大小与系统的开环放大系数，误差的大小与系统的开环放大系数K成反比，成反比，K越大，越大，ess 越小，只要越小，只要K不是无穷大，系统不是无穷大，系统总有误差存在。总有误差存在。对实际系统来说，通对实际系统来说，通 常是允许存在稳态误差常是允许存在稳态误差的，但不允的，但不允许超过规定的指标。为了许超过规定的指标。为了降低降低稳态误稳态误
11、差，可在稳定条件允许的前提下，差，可在稳定条件允许的前提下，增大系统的开环增大系统的开环放放大系数大系数；若要求系统对阶跃输入的稳态误差为若要求系统对阶跃输入的稳态误差为零，则必须选用零，则必须选用1型或高于型或高于1型的系统。型的系统。lim 2 =lim令令:K v =lim sG(s)H(s)在单位斜坡输入下，给定稳态误差决定于速度在单位斜坡输入下，给定稳态误差决定于速度误差系数。误差系数。1sG(s)H(s)s 0s 0s 11+G(s)H(s)se ss =2.单位斜坡输入作用下的稳态误差和静态误差系数单位斜坡输入作用下的稳态误差和静态误差系数对于单位斜坡输入，对于单位斜坡输入，r(
12、t)=t;R(s)=此时系统的稳态误差为此时系统的稳态误差为:s 0静态速度静态速度误差系误差系数数1K v稳态误差可表示为：稳态误差可表示为：ess =21sess =lims 0 (i s+1)limess =lims 1 (i s+1)s 0s 0mj=1ni=1K (j s+1)K v =lim sG(s)H(s)=s=01K vvKs 0s 0mj=1n 1i=1K (j s+1)=s=K(1)对于对于0型系统型系统 v=0(2)对于对于型系统型系统 v=1sG(s)H (s)=1 1K v K=0s v (i s+1)mj=1n vi=1K (j s+1)=K v =lim s e
13、 sss 01K v(3)对于对于型系型系统统（或高于（或高于型的系统）型的系统）v 2在单位斜在单位斜坡坡输入作用下，输入作用下，0型型系统的稳态误差系统的稳态误差为为，而，而型系统的稳态误差为一定值，且型系统的稳态误差为一定值，且误差误差与开环放大倍数成与开环放大倍数成反反比。为了使稳态误差不超过比。为了使稳态误差不超过规定值，可以增大系统的规定值，可以增大系统的K值。值。型或高于型或高于型系型系统的稳统的稳态误差态误差总为零。因此，对于总为零。因此，对于单位斜坡单位斜坡输输入，要使系统的稳入，要使系统的稳态误差态误差为一定值或为零，必为一定值或为零，必需需 v 1，也即系统必须有足够积分
14、环节。，也即系统必须有足够积分环节。ess =lim=s 0 (i s+1)3.单位抛物单位抛物线输入作用下的稳态误差和静态误差系线输入作用下的稳态误差和静态误差系数数对于单对于单位抛位抛物线输入物线输入此时系统的稳态误差为此时系统的稳态误差为s 1 1s 0 1+G(s)H(s)s3 s 2 G(s)H(s)s 0令令:K a =lim s 2 G(s)H(s)静态加速度误差系数静态加速度误差系数s 0s 2mj=1ni=1K (j s+1)=0K a =ess =s 01K a1K a(1)对对0型系统型系统=02311(),()2r ttR ss=ess=lim.=limlim=s 1
15、(i s+1)lims 2 (i s+1)s 2mj=1ni=1K (j s+1)=0K a =ess =s 01K a(2)对于对于型系统型系统 =1aKs 2s 0mj=1n 2i=1K (j s+1)=K1K1K a=ess =(3)对于对于型系统型系统 =2，型系型系统的稳态误差为一统的稳态误差为一定值，且误差与开环放定值，且误差与开环放表明，在单位表明，在单位抛物抛物线输入作用下，线输入作用下，0型和型和型系统的稳态型系统的稳态误差为误差为大系数成反大系数成反比。对比。对型或高于型或高于型的系统，其稳态误差为零型的系统，其稳态误差为零。但是，此时要使系统稳定则但是，此时要使系统稳定则
16、比较比较困难。困难。(4)对于对于型系型系统统（或高于（或高于型的系统）型的系统）v 34.4.各种典型输入信号作用下，不同类型系统的给定各种典型输入信号作用下，不同类型系统的给定稳态误差稳态误差稳态误差值可能为稳态误差值可能为0、有限值或无限大三、有限值或无限大三种情况，取决种情况，取决于输入信号的形式和系统的型别。于输入信号的形式和系统的型别。增加增加系统系统前向通道前向通道G(s)或反馈通道或反馈通道H(s)中积分环节的中积分环节的个数（个数（v值）可以提高值）可以提高系统的无稳态误差的等级（或称为系统的无稳态误差的等级（或称为误差度阶数）。误差度阶数）。在稳态误差为在稳态误差为有限值的
17、情况下，有限值的情况下，增大系统的开环放大增大系统的开环放大系数系数K可以减少系可以减少系统的稳态误差。统的稳态误差。必须注必须注意，增加开环传递函数中的零值极点（增意，增加开环传递函数中的零值极点（增加积加积分环节），或增大系统的开环放大系数分环节），或增大系统的开环放大系数K，使系统的静态，使系统的静态性能得到改性能得到改善的同时，往往使系统的动态品质善的同时，往往使系统的动态品质变差，甚变差，甚至导致系统不稳定。至导致系统不稳定。r(t)=R0 1(t)+R1 2 tt+若输入信号为若输入信号为多种信号的多种信号的组合，如：组合，如：212R由线性系统的叠加性，将每一由线性系统的叠加性，
18、将每一输入单独输入单独作用于作用于系统，系统，再将稳态误差再将稳态误差分量叠加得：分量叠加得：R1 R2K v K aess =R01+K pKv =lim sG(s)=2.5例例 1：已：已知某单位负反馈知某单位负反馈系统的开环传递函数为系统的开环传递函数为G(s)=5s(s+1)(s+2)试求系试求系统输入统输入分别为分别为1(t),10t,3t2时时,系统的稳态误差。系统的稳态误差。解：解：由劳斯稳定判据分析可知由劳斯稳定判据分析可知,该系统是闭环稳定的该系统是闭环稳定的(略略)。由于此系统为由于此系统为型系统型系统,系统的静态速度误差系系统的静态速度误差系数为数为s 0当当r(t)=1
19、(t)时时,稳态误差稳态误差 ess=0;1Kv当当r(t)=3t2时时,稳态误差稳态误差 ess=。当当r(t)=10(t)时时,稳态误差稳态误差 ess=10 =4例例2：已知已知两两个系统分别如图个系统分别如图(a)、(b)所示。输入所示。输入r(t)=4+6t+3t2,试分别计算两个系统的稳态误差。试分别计算两个系统的稳态误差。解：解：图图(a)为为型系统型系统,它不能跟踪输入信号的加速度它不能跟踪输入信号的加速度分量分量3t2,所以该系统的稳态误差所以该系统的稳态误差ess=。图图(b)为为型系统型系统,开环放大倍数为开环放大倍数为K=10/4。查表可。查表可知知,系统的稳态误差为系
20、统的稳态误差为1K as例例 3：如图所示系统的如图所示系统的输入信号输入信号r(t)=10+5t，试，试分析系统的稳定性并求分析系统的稳定性并求出其稳态误出其稳态误差。差。解：由图得系统的特征方程为：解：由图得系统的特征方程为：2s3+3s2+(1+0.5K)s+K=0由特征方由特征方程列劳程列劳斯表：斯表：s3s 21s01+0.5KK233(1+0.5K)2K3K要使系统稳定，必须要使系统稳定，必须K 0,3(1+0.5K)2K 0所以：当所以：当0 K6时，系统将不稳定。时，系统将不稳定。lim sG(s)=limK v =扰动输入可以作用在系统的不扰动输入可以作用在系统的不同位置同位
21、置，因，因此，即使系统对于某种形式的此，即使系统对于某种形式的给定给定输入的稳态误输入的稳态误差差为零，但对同一形式的扰动输入其稳态误差为零，但对同一形式的扰动输入其稳态误差则则不一定为不一定为零零。根据线性系统的。根据线性系统的叠加原理叠加原理，讨论由，讨论由扰动输入所产生的稳态误差。扰动输入所产生的稳态误差。3.6.4 扰动作用下的稳态误差扰动作用下的稳态误差控制系统除了受到给定输入的作用外，通常控制系统除了受到给定输入的作用外，通常还受还受到扰动输入的作用。系统在扰动输入作用下到扰动输入的作用。系统在扰动输入作用下的稳态误差的大的稳态误差的大小，反映了系统的抗干扰能力。小，反映了系统的抗
22、干扰能力。例例3-13：设比例控制系统如图所示，图中设比例控制系统如图所示，图中R(s)R0/s为阶跃输入信号，为阶跃输入信号，M为比例控制器输出转矩，用以改为比例控制器输出转矩，用以改变被控对象的位置；变被控对象的位置；N(s)n0/s为阶跃扰动转矩。试为阶跃扰动转矩。试求系统的稳态误差。求系统的稳态误差。解：由解：由题意得系统题意得系统为为型系统型系统令扰动令扰动N(s)=0，则系统对阶跃输入信号的稳态误，则系统对阶跃输入信号的稳态误差为差为0。令输入令输入R(s)=0，则系统在扰动下的输出量为：，则系统在扰动下的输出量为：K 2s(T2 s+1)+K 1 K 2所以，系统误差信号为：所以
23、，系统误差信号为：Cn(s)=3.6.5 减小或消除稳态误减小或消除稳态误差的差的措施措施1.增大系统开环增益增大系统开环增益K或扰动作用点之前的系统或扰动作用点之前的系统前向通道增益前向通道增益K1。从表中从表中可可以看出以看出:0型系统跟踪单位阶跃信型系统跟踪单位阶跃信号、号、型系统跟踪单型系统跟踪单位斜坡位斜坡信号、信号、型系统跟型系统跟踪恒加速信号时踪恒加速信号时,其系统的稳态误差均为常值其系统的稳态误差均为常值,且都与开环放大倍数且都与开环放大倍数K有关。若增大开环放大倍有关。若增大开环放大倍数数K,则系统的稳态误差可以显著下降。则系统的稳态误差可以显著下降。提高开环放大倍数提高开环
24、放大倍数K固然可以使稳态误差下固然可以使稳态误差下降降,但但K值取得过值取得过大会大会使系统的稳定性变坏使系统的稳定性变坏,甚至甚至造成系统的不稳定。造成系统的不稳定。2.在系统前向通在系统前向通道或主反馈通道设置道或主反馈通道设置串联积分串联积分环节（增加系统型别）环节（增加系统型别）从表可以看出从表可以看出:若开环传递函数若开环传递函数(H(s)=1时时,开环传递函数就是系统前向通道传递函数开环传递函数就是系统前向通道传递函数)中中没有积分环节没有积分环节,即即0型系统时型系统时,跟踪阶跃输入信跟踪阶跃输入信号引起的稳态误差为常值号引起的稳态误差为常值;若开环传递函数中若开环传递函数中含有
25、一个积分环节含有一个积分环节,即即型系统时型系统时,跟踪阶跃输跟踪阶跃输入信号引起的稳态误差为零入信号引起的稳态误差为零;若开环传递函数若开环传递函数中含有两个积分环节中含有两个积分环节,即即型系统时型系统时,则系统跟则系统跟踪阶跃输入信号、踪阶跃输入信号、斜坡输入信号引起的稳态斜坡输入信号引起的稳态误误差差为零。为零。3.采用复合控制采用复合控制采用复合控制采用复合控制,即在反馈控制基础上引入即在反馈控制基础上引入顺馈顺馈(也称前馈也称前馈)补偿。补偿。这种方法可以在基本这种方法可以在基本不改变系统动态性能的前提下不改变系统动态性能的前提下,有效改善系有效改善系统的稳态性能。统的稳态性能。小
26、小 结结本章根据系本章根据系统的时间响统的时间响应分析了系统的动应分析了系统的动态性能、态性能、稳态性能以及稳定性。稳态性能以及稳定性。(1)通过讨论系统通过讨论系统在在典型信号下的时间响应典型信号下的时间响应,定义了描述定义了描述系统动态和稳态性能的一系列系统动态和稳态性能的一系列指标。指标。动态性能指标动态性能指标通常用单位阶跃响通常用单位阶跃响应的上升时间、应的上升时间、超调量和调节时间表示超调量和调节时间表示;稳态性能用稳态误差表稳态性能用稳态误差表示。示。(2)分析了一阶、二分析了一阶、二阶和高阶系统在一阶和高阶系统在一些典些典型输入信型输入信号作用下的时间响应。重点号作用下的时间响
27、应。重点研究了二研究了二阶欠阻尼系统的单位阶跃响应阶欠阻尼系统的单位阶跃响应,以及其动态性能以及其动态性能指标的计算方法指标的计算方法;还指出还指出,对于高阶系统在一些对于高阶系统在一些条件下可以用低阶系统代替。条件下可以用低阶系统代替。(3)系统的稳定性是系统系统的稳定性是系统正常工作的正常工作的前提。前提。本章简要介绍了稳定性的概念本章简要介绍了稳定性的概念,指出线性定常系指出线性定常系统的稳定性由其闭环极点的位置决定统的稳定性由其闭环极点的位置决定,同时还介同时还介绍了线性定常系统稳定性的一种代数判别方法绍了线性定常系统稳定性的一种代数判别方法劳斯判劳斯判据据。(4)稳定的控制系统存在控制精度问题稳定的控制系统存在控制精度问题,这个这个控制精度通常用稳态误差来描述。控制精度通常用稳态误差来描述。本本章给出了控章给出了控制系统稳态误差的定义、制系统稳态误差的定义、计算方法以及减小稳态计算方法以及减小稳态误差的途径。误差的途径。
