1、2 随机过程的概念与基本类型内容提要q随机过程的基本概念随机过程的基本概念q随机过程的分布律随机过程的分布律q随机过程的数字特征随机过程的数字特征q复随机过程复随机过程q几种重要的随机过程几种重要的随机过程2.1 随机过程的基本概念q随机过程随机过程随机变量族随机变量族q随机过程几个例子：随机过程几个例子：n生物群体的生长问题：以生物群体的生长问题：以 Xt 表示在表示在 t 时刻群体的个数，时刻群体的个数，对每一个对每一个 t，Xt 是一个随机变量。若从是一个随机变量。若从 t=0 开始，每隔开始，每隔24小时对群体个数观测一次，则小时对群体个数观测一次，则Xt,t=0,1,是随机是随机过程
2、。过程。n某电话交换台在时间段某电话交换台在时间段0,t内接到的呼叫次数是与内接到的呼叫次数是与 t 有有关的随机变量关的随机变量 X(t)，对于固定的，对于固定的 t，X(t)是一个取非负是一个取非负整数的随机变量。则整数的随机变量。则 X(t),t 0,)是随机过程。是随机过程。随机过程的定义定义 设设（,F,P）是概率空间，）是概率空间，T是给定的参数集，是给定的参数集，若对每个若对每个t T，有一个随机变量，有一个随机变量 X(t,e)与之对应，与之对应，则称随机变量族则称随机变量族 X(t,e),t T 是是(,F,P)上的上的随机过程，简记为随机过程，简记为随机过程 X(t),t
3、T。T 称为参数集，称为参数集，通常表示时间。通常表示时间。状态与样本函数X(t,e)是定义在是定义在 T 上的二元函数上的二元函数n状态对于固定时刻对于固定时刻 t T，X(t,e)是是(,F,P)上上的随机变量的随机变量，此时把，此时把 X(t)所取的值称为随机过程所取的值称为随机过程X(t)在时刻在时刻 t 所处的状态。所处的状态。X(t)的所有可能状态所构成的集合称为的所有可能状态所构成的集合称为状态空间或或相空间，记为，记为I。n样本函数对于固定样本点对于固定样本点e，X(t,e)是定义在是定义在T上的普通函数，称之为上的普通函数，称之为随机过程随机过程 X(t),t T 的一个的一
4、个样本函数或轨道。样本函数的全体称为样本函数空间。或轨道。样本函数的全体称为样本函数空间。随机过程的分类n连续随机过程连续随机过程v参数连续，状态连续参数连续，状态连续n离散随机过程离散随机过程v参数连续，状态离散参数连续，状态离散n连续随机序列连续随机序列v参数离散，状态连续参数离散，状态连续n离散随机序列离散随机序列v参数离散，状态离散参数离散，状态离散2.2 随机过程的分布律)(),(xtXPtxF定义 随机过程随机过程XT=X(t),t T 在时刻在时刻 t 的的一维分布函一维分布函数数为为其其一维概率密度函数一维概率密度函数为为xtxFtxf),(),(相应的相应的一维特征函数一维特
5、征函数为为xetxfeEtxjXjXd),(),(n 维分布律定义 设设 XT=X(t),t T 是随机过程，对任意是随机过程，对任意 n 1 和和t1,t2,tn T，随机过程，随机过程 XT 的的 n 维分布函数为为)(,)(),;,(112121nnnnxtXxtXPtttxxxF其其n维概率密度函数维概率密度函数为为nnnnnxxttxxFttxxf11111),;,(),;,(n维特征函数维特征函数：nxxjnnnkkknnXxxettxxftXjEttnndd),;,()(exp),;,(1)(1111111n维分布函数的性质(2)相容性：当相容性：当 m0，为常数，为常数，为在（
6、为在（0,2）内均匀分）内均匀分布的随机变量。布的随机变量。求随机过程求随机过程 X(t),t (0,)的的均值函数均值函数 mX(t)和相关函数和相关函数 RX(s,t)。)(,cos2)(cos2),(0)(22stastatsRtmXX互相关函数、互协方差函数设有两个二阶矩过程设有两个二阶矩过程X(t),t T 和和 Y(t),t T ，互协方差函数互相关函数当当CXY(s,t)=0时，称时，称X(t),t T 与与 Y(t),t T 互不相关互不相关当当RXY(s,t)=0时，称时，称X(t),t T 与与 Y(t),t T 相互正交相互正交关系式关系式：)()(),(),(tmsmt
7、sRtsCYXXYXY yxtysxfxytYsXEtsRXYdd),;,()()(),(yxtysxftmysmxtmtYsmsXEtsCyXYXXYdd),;,()()()()()()(),(例2n设设 X(t)为信号过程，为信号过程，Y(t)为噪声过程，令为噪声过程，令W(t)=X(t)+Y(t)，则则 W(t)的的均值函数为均值函数为其相关函数为其相关函数为)()()(tmtmtmYXW),(),(),(),()()()()()()()()()()()()()(tsRtsRtsRtsRtYsYEtXsYEtYsXEtXsXEtYtXsYsXEtRYYXXYXW2.3 复随机过程定义定义
8、 两个实随机过程：两个实随机过程：Xt,t T 和和 Yt,t T，若对，若对于任意于任意 t T，有，有 Zt=Xt+iYt 则称则称Zt,t T 为为复随机过程。复随机过程的数字特征均值函数：)(tttZYiEXEZEtm协方差函数：方差函数：)()()()(2tmZtmZEtmZEtDZtZtZtZ相关函数：),(tsZZZEtsR)()(),()()(),(tmsmtsRtmZsmZEtsCZZZZtZsZ复随机过程协方差函数的性质复随机过程复随机过程Zt,t T 的协方差函数的协方差函数C(s,t)具有性质：具有性质：(1)对称性：对称性：),(),(stCtsC(2)非负定性：非负
9、定性：对任意对任意 ti T及复数及复数ai，i=1,2,n,n 1，有，有0),(1,njijijiaattC例3n设复随机过程设复随机过程 ，其中，其中X1,X2,Xn 是相互独立且服从是相互独立且服从 N(0,)的随机的随机变量，变量，1,2,n 为常数，求为常数，求 Zt,t 0 的的均值函数均值函数 mZ(t)和相关函数和相关函数 RZ(s,t)。0,1teXZnktiktk2knktsikZZketsRtm1)(2),(0)(2.4 几种重要的随机过程简介n独立过程独立过程n二阶矩过程二阶矩过程n平稳过程平稳过程n独立增量过程独立增量过程n正交增量过程正交增量过程n马尔可夫过程马尔
10、可夫过程n高斯过程和维纳过程高斯过程和维纳过程独立过程定义定义 若随机过程若随机过程 X(t),t T 对任意的正整数对任意的正整数 n 2 和和t1 t2 tn T，随机变量，随机变量 X(t1),X(t2),X(tn)是相是相互独立的，则称互独立的，则称 X(t),t T 是是T上的上的独立随机过程。二阶矩过程定义定义 对于随机过程对于随机过程X(t),t T，若对任意，若对任意t T，X(t)的均值和方差都存在，则称的均值和方差都存在，则称X(t)为为二阶矩过程。设设 EX(t)=mX(t),)()()(tmtXtXX令则则)()(,0)(tXDtXDtXE即，即，是零均值的二阶矩过程，
11、其协方差函数是零均值的二阶矩过程，其协方差函数与相关函数相同。与相关函数相同。)(tX平稳过程定义定义 设设X(t),t T 是随机是随机过程过程，若对任意常数，若对任意常数 和正整和正整数数n，t1,t2,tn T，t1+,t2+,tn+T，(X(t1),X(t2),X(tn)与与(X(t1+),X(t2+),X(tn+)有相有相同的联合分布，则称同的联合分布，则称X(t),t T 为为严平稳过程，也称，也称狭义平稳过程。广义平稳过程定义定义 设设X(t),t T 是随机是随机过程过程，如果，如果(1)X(t),t T 是二阶矩是二阶矩过程；过程；(2)对任意对任意 t T，mX(t)=EX
12、(t)=常数；常数；(3)对任意对任意s,t T，RX(s,t)=EX(s)X(t)=RX(s t)；则称则称X(t),t T 为为广义平稳过程，简称，简称(宽)平稳过程。若若T为离散集，则称平稳过程为离散集，则称平稳过程X(t),t T 为为平稳序列。独立增量过程定义定义 设设X(t),t T 是随机是随机过程过程，若对任意的正整数，若对任意的正整数n和和t1 t2 tn T，随机变量，随机变量X(t2)X(t1),X(t3)X(t2),X(tn)X(tn-1)是相互独立的，则称是相互独立的，则称X(t),t T 为为独立增量过程，又称，又称可加过程。平稳独立增量过程定义定义 设设X(t),
13、t T 是独立增量随机是独立增量随机过程过程，若对任意，若对任意 s t，随机变量，随机变量X(t)X(s)的分布仅依赖于的分布仅依赖于 t s，则称，则称X(t),t T 为为平稳独立增量过程。正交增量过程正交增量过程的协方差函数可以由它的方差确定：正交增量过程的协方差函数可以由它的方差确定：定义定义 设设X(t),t T 是零均值的二阶矩是零均值的二阶矩过程过程，若对任，若对任意的意的t1 t2 t3 t4 T，有，有则称则称X(t)为为正交增量过程。0)()()()(3412tXtXtXtXE),(min(),(),(2tstsRtsCXXX马尔可夫过程定义定义 设设X(t),t T 是
14、随机是随机过程过程，若对任意的正整数，若对任意的正整数n和和t1 t2 0，且，且条件分布条件分布则称则称X(t),t T 为为马尔可夫过程。)()()(,)()(111111nnnnnnnnxtXxtXPxtXxtXxtXP马尔可夫性马尔可夫性,（无后效性）（无后效性）高斯过程定义定义 设设X(t),t T 是随机是随机过程过程，若对任意正整数，若对任意正整数n和和t1,t2,tn T，(X(t1),X(t2),X(tn)是是n维正态随机维正态随机变量，则称变量，则称X(t),t T 为为高斯过程或或正态过程。维纳过程定义定义 设设 B(t),t 0；则称则称 B(t),t 为为维纳过程，也称，也称布朗运动。
