1、第一章 质点运动学 Chap.1 Kinematics,第二节 质点运动的描述,一、参考系 坐标系,参考系（Reference Frame） ：,确定一个物体的位置总是相对于某一物体或某一物体系来确定，那么这物体或物体系就作为描述物体位置的基准，称为参考系。,坐标系（Coordinates） ：,确定了参考系后，为了能够定量地描述一个物体的运动，必需在选定的参考系上建立一个合适的坐标系 。常见的坐标系有直角坐标系、自然坐标系、球坐标系、柱坐标系、极坐标系等。,r,二、质点 质点系,质点（Particle）:将宏观物理抽象为只有质量而不计大小、形状的点（粒子），是力学中的一个重要的理想模型。,质
2、点系（Particle System）：很多质点按一定规律组成的一个质点系统。通过描述质点系中所有质点的运动情况，从而了解整个质点系的运动（求和，积分）。,地球的运动：,公转：质点模型,自转：质点系模型,三、位置矢量（Position Vector）,位矢用坐标值表示为：,从坐标原点o出发，指向质点所在位置 P 的一有向线段。,P(x,y,z),z,y,x,o,运动方程（Motion Equation）：,矢量形式：,参数形式：,轨道方程（ Track Equation ）：,消去时间参数（t）,例：,第三节 质点的位移、速度、加速度,一、位移（Displacement）,设质点作曲线运动 t
3、 时刻位于A点，位矢 t+t时刻位于B点，位矢,在t时间内，位矢的变化量（即A到B的有向线段）称为位移；而A到B路径的长度Ds称为路程。,r(t),r(tDt),Dr,A,B,Ds,显然：,在直角坐标系中,二、速度（Velocity）,平均速度：刻画速度Dt 时间内平均变化率,在t 时间内发生位移,则平均速度：,瞬时速度：刻画t 时刻速度的即时变化率,显然，v 和 r(t) 曲线的斜率有一一对应关系！,o,A,B,r(t),r(tDt),Dr,B,B,速度在直角坐标系中的解析表示：,速度的三个分量：,速度的大小：,例：,s,B,A,在t 时间内，质点所经过路程s对时间的变化率,平均速率：,瞬时
4、速率：,一般情况：,当t0时：,o,三、加速度（Acceleration）,t1时刻，质点位于A处，速度为v(t) t2时刻，质点位于A处，速度为v(t+Dt),t时间内，速度增量为：,平均加速度：,当t0时，平均加速度的极限即为瞬时加速度：,o,v(t),v(t+Dt),r(t),r(tDt),A,B,Dvv(tDt)v(t),Dv,v(t),v(t+Dt),加速度在直角坐标系中的解析表示：,例：,第四节 质点的曲线运动,一、平面自然坐标系（Natural System of Coordinates）,s,o,Q,平面自然坐标系“自然地”选取坐标曲线上的切向和法向为基矢。切向基矢 ，它的方向
5、是质点所在处的轨道曲线的切向并沿质点前进的方向。另一个法向基矢 ，沿轨道曲线在该点处的法向并指向曲线凹的一侧 。,“自然坐标系”就是直接选取沿着轨道曲线的坐标系。选定该曲线上一个定点为坐标原点o，以曲线上某点到原点o之间的曲线长度也即弧长s为坐标参量，并规定自原点向质点运动方向的一侧s为正，另一侧s为负。,P,s,二、速度和加速度在自然坐标系中的解析表示,s,A,B,C,r,无限小位移dr沿曲线切向基矢 的方向 ，故：,在轨道上取非常接近的两点A、B，这两点间弧长s足够小，以致可以看作是一段圆弧（实际为A处的曲率圆的一部分）。那么A、B两点的法线的交点C就是这段圆弧的圆心。我们称C为A点处曲线
6、的曲率中心。C、A间的距离为r，称为曲线在A点处的曲率半径。,的方向指向曲率中心。,因此在自然坐标系中，加速度可以表示为：,r 的倒数通常称为曲线的曲率。如果平面曲线用方程 yy(x) 来表示，由高等数学的知识可知，曲线上某点的曲率可以表示为：,速度：,速率：,加速度：,切向加速度,切向加速度反映速度大小的变化 其方向沿轨道切线方向,法向加速度,法向加速度反映速度方向的变化 其方向沿法线方向，指向曲率中心,总加速度的大小：,总加速度的方向：,圆 周 运 动,圆周运动是一般曲线运动的一个特例，曲率半径恒为r。,一般圆周运动：,匀速圆周运动：,设：质点作半径为 r 的圆周运动,质点所在的位矢与 x
7、 轴的夹角,角位移：,角位置 ：,质点从A到B位矢转过的角度,规定：,逆时针转向为正顺时针转向为负,角速度：,角加速度：,s,角量表示匀加速圆周运动的基本公式,角量和线量的关系：,运动学的两类问题,1、已知运动方程，求质点任意时刻的位置、速度以及加速度,2、已知运动质点的速度函数（或加速度函数）以及初始条件求质点的运动方程,第五节 运动学的两类问题,一、运动学的第一类问题,第一类问题是已知质点运动方程rr(t)，求任意时刻质点的位矢、速度和加速度，这主要是进行微分运算。,例1 一质点在xy平面上运动，运动方程为：x=t+5，y=t2+3t-4。式中，t的单位为秒（s），坐标x、y的单位为米（m
8、），求： （1）质点运动的轨迹力程； （2）t=2s时质点的位置矢量； （3）质点从t=1s到t=2s间的位移； （4）质点的速度和加速度。,（1）将参数形式的运动方程,第一式 tx5 带入第二式，消去时间即得轨迹方程：,（2）,（3）,（4）,例2 如图所示，湖中一小船，岸边有人用绳子跨过离水面高h处的滑轮拉船，人以恒定速率v0收绳，试求船离岸的距离为 时，船的速度和加速度。,在运动学第一类问题中，有时没有显含时间的运动方程，这时需要通过一些几何关系构造等式，再通过对等式两边同时求导得到质点运动的速度或加速度。,解：建立如图所示坐标系，设小船位置为x，船到滑轮的距离为l，由于小船可看作质点在水面上运动，所以其速度和加速度均在x方向。由勾股定理得 ：,二、运动学的第二类问题,第二类问题是已知加速度a = a(t)及运动的初始条件(即t = 0时的位矢r0及初速度v0)，求任意时刻质点的速度和位矢。这是第一类问题的逆运算，需要用积分求解。,例3 一质点在xy平面上运动，其加速度为a = 5t2i+3j。已知 t =0 时，质点静止于坐标原点。求在任一时刻该质点的速度、位置矢量（运动方程）和轨迹方程。,解：,将位置矢量方程（运动方程）的参数方程式消去参数 t ，得轨迹方程为：,消去参数 t 得：,显然，运动的轨迹为抛物线。,
