1、第三章 刚体力学 Chap.3 Rigid Body Mechanics,本章要点 刚体运动的描述 定轴转动定律 转动动能 力矩的功 角动量守恒定律,第一节 刚体运动的描述,刚体(rigid body)： 在运动过程中形状和大小都不变的物体。,研究刚体的运动，可以将刚体看成在运动过程中，任意两质点之间的相对位置保持不变的质点系。,一、 刚体的定轴转动,平动(translation)： 刚体在运动过程中，其上任意两点的连线始终保持平行。,可以用质点动力学的方法来处理刚体的平动问题。,转动(rotation)：刚体上所有质点都绕同一直线作圆周运动。这种运动称为刚体的转动。这条直线称为转轴。转动又分
2、定轴转动和非定轴转动 .,刚体的平面运动 .,圆 周 运 动,圆周运动是一般曲线运动的一个特例，曲率半径恒为r。,一般圆周运动：,匀速圆周运动：,设：质点作半径为 r 的圆周运动,质点所在的位矢与 x 轴的夹角,角位移：,角位置 ：,质点从A到B位矢转过的角度,规定：,逆时针转向为正顺时针转向为负,角速度：,角加速度：,s,定轴(fixed-axis)转动：转轴固定不动的转动,O,x,P,角坐标,角位移,用角量来描写转动： 定轴处O点与刚体上任一点P之间的位置矢量 处于 处，经过t时间后，该矢径转过 角度：,z,角速度(Angular Velocity),角速度的大小：,P点线速度与角速度的关
3、系：,角加速度(Angular Acceleration),对于定轴转动,刚体各质元的角量相同，线量一般不同。 对刚体的运动描述，要注意角量、线量的特点。,1） 每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面； 2） 任一质点运动 均相同，但 不同； 3） 运动描述仅需一个坐标 .,定轴转动的特点,角量与线量的关系,匀变速转动公式,刚体绕定轴作匀变速转动,质点匀变速直线运动,当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体做 匀变速转动 .,刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比,例6、一飞轮作匀变速转动，3s内转过234rad，角速度在3s末达到108rad/s。求角加速度和初角速度。,解,由匀变速转动运
4、动方程：,消去0，并代入数值，可得角加速度：,进而可求得初角速度：,例、某发动机飞轮半径为1m，在10s内由1500r/min增加到3000r/min。假设转动是匀加速转动，求（1）角加速度大小。（2）在此时间内，飞轮转了多少转。（3） t = 5s时，飞轮边缘上一点的速度与加速度。,解,（2）10s内，飞轮的角位移：,（1）由匀变速转动运动方程：,飞轮边缘上一点P的速度大小：,（3）t = 5s时，,该点的切向加速度和法向加速度,二、力矩、 转动定律、 转动惯量,要改变刚体的转动状态，不仅要有力，而且与力的大小、方向和作用点都有关。,1、力矩(moment of force):,力矩是矢量,
5、单位：Nm,注意力矩的方向！,例如：下图中力F 的方向不在转动平面内，可以沿两个方向分解：,力矩方向沿定轴，可用正、负表示方向。,一对相互作用力对同一转轴的力距之和为零。 几个力同时作用在刚体上，它们的合力矩就是各力的力矩的矢量和或代数和。,2、转动定律,把刚体看作一个质点系，对其上P处的第 i 个质点mi，分析其受力：,合外力矩：,合内力矩：,加 速 度：,应用牛顿运动定律，进行化简：,对上式两边操作 后，再对所有质点求和，并注意到 ，可以得到：,其中J为转动惯量(moment of inertia) ：,转动定律：,3、转 动惯量,刚体为连续体，则：,J 的单位：kgm2。 它与刚体对给定
6、转轴的质量分布有关。,特别要注意： 转动惯量与转轴的位置有关。 转动惯量具有可相加性。,刚体为离散体，则：,例7 计算质量为 m ，长为 l 的细棒绕通过其端点的垂直轴的转动惯量。,解,例8 一质量为 m ，半径为 R 的均匀圆盘，求通过盘中心并与盘面垂直的轴的转动惯量。,o,R,解,平行轴定理,若刚体对过质心的轴的转动惯量为 Jc ，则刚体对与该轴相距为 d 的平行轴 z 的转动惯量 Jz 是,垂直轴定理,竿子长些还是短些较安全？,飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？,例9 质量 m = 16 kg 、半径为 R = 0.15 m 的实心滑轮,一根细绳绕在其上，绳端挂一质量为 m 的物体。求（
7、1）由静止开始 1 秒钟后，物体下降的距离。 （2）绳子的张力。,转动定律的应用,解,三、转动动能、力矩的功,刚体中任一质元 mi 动能：,因此，刚体的转动动能：,1、转动动能,2、 力矩的功和功率,功率为：,3、刚体做定轴转动时的动能定理,合外力矩对刚体所作的功等于刚体转动动能的增量。,关于保守力、势能、机械能等的分析，同样适用于刚体。,1.确定研究对象。,2.受力分析，确定作功的力矩。,3.确定始末两态的动能，Ek0、Ek。,4.列方程求解。,例1：一细杆质量为m，长度为l，一端固定在轴上，静止从水平位置摆下，求细杆摆到铅直位置时的角速度。,4、应用转动动能定理解题方法,解：以杆为研究对象
8、，,只有重力产生力矩，且重力矩随摆角变化而变化。,重力矩作功：,始末两态动能：,由动能定理：,本题可用机械能守恒定律计算,例2：质量为m、半径为R 的圆盘，以初角速度0在摩擦系数为 的水平面上绕质心轴转动，,解：以圆盘为研究对象，只有摩擦力矩作功。,始末两态动能：,摩擦力矩的功：将圆盘分割成无限多个圆环,问：圆盘转动几圈后静止。,每个圆环产生的摩擦力矩，,圆盘的面密度为：,圆环的质量为：,整个圆盘产生的摩擦力矩，,摩擦力矩的功：,由动能定理：,则转过的角度：,则转过的圈数：,其中,例10 一质量为 M 、半径 R 的实心滑轮, ，一根细绳绕在其上，绳端挂有质量为 m 的物体。问物体由静止下落高
9、度 h 时，其速度为多大？,解,解得：,亦可：,（1）水平,例11 一质量为 m 、长为 l 的均质细杆，转轴在 O 点，距A端 l/3 。杆从静止开始由水平位置绕O点转动。求：（1）水平位置的角速度和角加速度。 （2）垂直位置时的角速度和角加速度。,解,（2）垂直,机械能守恒,势能零点O,（3）任意位置,势能零点O,可以求出任意位置的角速度和角加速度。,其中,例：如图所示的物体系中，劲度系数为 k的弹簧开始时处在原长，定滑轮的半径为 R、转动惯量为 J，质量为 m 的物体从静止开始下落,求下落 h 时物体的速度 v。,物体系的机械能守恒定律,解：在物体 m 下落过程中只有重力和弹力保守力作功
10、，物体系机械能守恒。,选择弹簧原长为弹性 0 势点，物体下落 h 时为重力 0 势点。,求解得,第五节 角动量守恒定律,角动量(angular momentum)是用来描述物体绕某定点（轴）旋转的机械运动量,一、 角动量 冲量矩 角动量定理,1、角动量,质点对o 点的角动量：,角动量是矢量：,角动量的方向、单位,角动量单位：kgm2/s,刚体对定轴的角动量,对刚体中质元mi 的角动量：,因此整个刚体的角动量：,转动定律的另一形式,转动定律：,作定轴转动的刚体所受的合外力矩等于刚体的角动量随时间的变化率。 适用范围更广！,2、 冲量矩、角动量定理,角动量定理： 合外力矩的冲量矩等于系统角动量的增
11、量。,是力矩在t1 到t2时间内的冲量矩。,例质量为 m1 和 m2 的两物体，分别挂在两条绳上，绳绕在鼓轮上（如图所示）。已知鼓轮的转动惯量为J，求两物体的加速度。,解：,系统角动量为：,例 一半径为 R 、质量为 m 的均匀圆盘平放在粗糙的水平面上。若它的初速度为 o ，绕中心O旋转，问经过多长时间圆盘才停止。（设摩擦系数为 ）,解：,用角动量定理,二、 角动量守恒定律,若系统合外力矩为零， 则系统的角动量守恒。 自然界重要的普遍规律,例 一个人站在有光滑固定转轴的转动平台上,双臂伸直水平地举起二哑铃,在该人把此二哑铃水平收缩到胸前的过程中,人、哑铃与转动平台组成的系统的,（A）机械能守恒
12、 , 角动量守恒; （B）机械能守恒 , 角动量不守恒, （C）机械能不守恒 , 角动量守恒; （D）机械能不守恒 , 角动量不守恒.,例12、 一长为 l ，质量为 M 的杆可绕支点O自由转动。一质量为 m ，速度为 v 的子弹射入距支点为 a 的棒内，若棒偏转角为 30,问子弹的初速度为多少?,角动量守恒（过程1）,机械能守恒（过程2）,解,由此即可求得子弹的初速度v.,教材P.29例题1-8也是应用角动量守恒的例子。,例：在光滑水平桌面上放置一个静止的质量为 M、长为 2l 、可绕中心转动的细杆，有一质量为 m 的小球以速度 v0 与杆的一端发生完全弹性碰撞，求小球的反弹速度 v 及杆的
13、转动角速度 。,解：在水平面上，碰撞过程中系统角动量守恒，,（1）,弹性碰撞机械能守恒，,（2）,联立(1)、(2)式求解,注意没有关系：,第六节 进 动,1、 进动(precession)现象：,陀螺进动分析,陀螺受合外力矩：,下一时刻的角动量：,由此决定了陀螺的进动方向！,进动角速度,进动角速度分析,设右图中的刚体回转仪处于平衡状态，现将重物左移。则飞轮进动的方向如何？,杠杆回转仪的例子,从正上方向下看，此时，合外力矩为顺时针，故沿圆周顺时针方向进动！,本章小结 刚体转动的角量描述 刚体的转动惯量、力矩、转动定律 刚体的转动动能、角动量、角动量守恒定律 刚体的进动,地球是一个略呈扁平的球体，其自转轴也略有倾斜。在太阳的引力作用下，要作很缓慢的进动。分析其进动的情况。,
