1、 1 / 7 素养提升素养提升微微突破突破 04 宇宙速度宇宙速度及及卫星卫星变轨问题变轨问题 树立科技强国的远大志向 人造卫星 天体运动规律的研究、人造卫星的发射和应用，都培养学生的理解能力和推理能力；体现 核心素养中的运动观念、相互作用观念、能量观念及模型构建要素等等，有利于培养学生的爱 国主义价值观。 【2019 天津卷】2018 年 12 月 8 日，肩负着亿万中华儿女探月飞天梦想的嫦娥四号探测器成功发射，“实现 人类航天器首次在月球背面巡视探测， 率先在月背刻上了中国足迹”。 已知月球的质量为M、 半径为R， 探测器的质量为m，引力常量为G，嫦娥四号探测器围绕月球做半径为r的匀速圆周
2、运动时，探测器 的 A周期为 23 4 r GM B动能为 2 GMm R C角速度为 3 Gm r D向心加速度为 2 GM R 【答案】A 【解析】由万有引力提供向心力可得 22 2 22 4GMmv mrmrmma rTr ，可得 3 2 r T GM ，故 A 2 / 7 正确；解得 GM v r ，由于 2 1 22 k GMm Emv r ，故 B 错误；解得 3 GM r ，故 C 错误；解得 2 GM a r ，故 D 错误。综上分析，答案为 A。 【素养解读】本题为人造卫星运动问题，考查考生应用万有引力定律和圆周运动知识进行分析推理能力。 物理核心素养中的模型构建、运动与相互
3、作用观念等要素在本题中均有体现。题目以嫦娥四号探测器 的发射与运行为背景，厚植着深深的爱国情怀。 一、宇宙速度的理解与计算 宇宙速度的理解和计算问题是高考常考的热点。这类题目一般难度不大，但考生不易得分，原因是对 宇宙速度的理解不透彻或因为计算失误而丢分。 【典例 1】 【2019 怀化模拟】使物体脱离星球的引力束缚，不再绕星球运行，从星球表面发射所需的最小速 度称为第二宇宙速度， 星球的第二宇宙速度 v2与第一宇宙速度 v1的关系是 v2 2v1。 已知某星球的半 径为地球半径 R 的 4 倍， 质量为地球质量 M 的 2 倍， 地球表面重力加速度为 g。 不计其他星球的影响， 则该星球的第
4、二宇宙速度为 A 1 2gR B1 2 gR C gR D 1 8gR 【答案】C 【解析】设在地球表面飞行的卫星质量为 m，由万有引力提供向心力得 GMm R2 mv1 2 R ，又有 GMm R2 mg，解 得地球的第一宇宙速度为 v1 GM R gR；设该星球的第一宇宙速度为 v1，根据题意，有v1 v1 2M M R 4R 1 2；由地球的第一宇宙速度 v1 gR，再由题意知 v2 2v1，联立得该星球的第二宇宙 速度为 v2 gR，故 A、B、D 错误，C 正确。 【素养解读】本题主要考查万有引力定律、宇宙速度等，求解此类问题主要明确中心天体，借助于地球上 的宇宙速度推导计算，体现了
5、科学推理和科学论证的科学思维。 【易错提醒】 3 / 7 v17.9 km/s 是地球的第一宇宙速度，其他星球的第一宇宙速度要根据以下两种方法计算： GMm R2 mv1 2 R ，mgmv1 2 R ，其中 M、R 为星球的质量和半径，g 为星球表面的重力加速度。 二、卫星的变轨问题 变轨问题涉及卫星的受力、运动、能量等诸多问题，能综合考查考生对万有引力、宇宙航行及机械能 等知识的理解和应用能力，难度较大。 【典例 2】 【2019 九江十校联考】已知月球半径为 R，月球表面的重力加速度为 g0，假设“嫦娥四号”正在距 月球表面高度为 3R 的圆形轨道上运动，如图所示。到达轨道的 A 点点火
6、变轨进入椭圆轨道，到达 轨道的近月点B点再次点火进入近月轨道绕月球做圆周运动， 并择机实施人类首次月球背面软着陆。 对此过程下列说法正确的是 A“嫦娥四号”在 B 点点火后，动能增加 B由已知条件不能求出“嫦娥四号”在轨道上的运行周期 C只有万有引力作用情况下，“嫦娥四号”在轨道上通过 B 点的加速度大于在轨道上通过 B 点的加 速度 D“嫦娥四号”在轨道上绕月球运行一周所需的时间为 2 R g0 【答案】D 【解析】“嫦娥四号”在轨道的 B 点点火进入近月轨道，要实现变轨应给“嫦娥四号”点火减速，减小所需 的向心力，故点火后动能减小，故 A 错误；设“嫦娥四号”在近月轨道绕月球运行一周所需的
7、时间为 T3，则 mg0mR4 2 T32，解得 T32 R g0，根据几何关系可知，轨道的半长轴 a2.5R，根据开普勒第 三定律a 3 T2k 以及在轨道上的周期，可求出“嫦娥四号”在轨道上的运行周期，故 B 错误，D 正确； 只有万有引力作用情况下，“嫦娥四号”在轨道上通过 B 点的加速度与在轨道上通过 B 点的加速度 相等，故 C 错误。 【素养解读】本题通过“嫦娥四号”发射过程的变轨在轨运动，体现了理论联系实际的科学思维，能够培养学 生科技强国的大国情怀。 【规律方法】卫星变轨的实质 4 / 7 离心运动 近心运动 变轨起因 卫星速度突然增大 卫星速度突然减小 受力分析 GMm r2
8、 mv 2 r GMm r2 mv 2 r 变轨结果 变为椭圆轨道运动或在较大半径圆轨 道上运动 变为椭圆轨道运动或在较小半径圆轨 道上运动 1 【2019 天津模拟】北斗卫星导航系统(BDS)是我国自行研制的全球卫星导航系统，是继美国全球定位系 统(GPS)、俄罗斯格洛纳斯卫星导航系统(GLONASS)之后第三个成熟的卫星导航系统。预计 2020 年，北 斗卫星导航系统将形成全球覆盖能力。如图所示是北斗导航系统中部分卫星的轨道示意图，已知 a、b、 c 三颗卫星均做圆周运动，a 是地球同步卫星，则 Aa 的角速度小于 c 的角速度 Ba 的加速度大于 b 的加速度 Ca 的运行速度大于第一宇
9、宙速度 Db 的周期大于 24 h 2 【2019 南昌模拟】如图所示，宇宙飞船 A 在低轨道上飞行，为了给更高轨道的宇宙空间站 B 输送物资， 需要与 B 对接，它可以采用喷气的方法改变速度，从而达到改变轨道的目的，则以下做法可行的是 AA 应沿运行速度方向喷气，与 B 对接后周期比低轨道时的小 BA 应沿运行速度的反方向喷气，与 B 对接后周期比低轨道时的大 5 / 7 CA 应沿运行速度方向喷气，与 B 对接后周期比低轨道时的大 DA 应沿运行速度的反方向喷气，与 B 对接后周期比低轨道时的小 3如图所示，某极地轨道卫星的运行轨道平面通过地球的南北两极，已知该卫星从北纬 60 的正上方按
10、图 示方向第一次运行到南纬 60 的正上方时所用时间为 1 h，则下列说法正确的是 A极地轨道卫星与同步卫星的运行半径之比为 14 B极地轨道卫星与同步卫星的运行速度之比为 12 C极地轨道卫星的运行速度一定大于 7.9 km/s D极地轨道卫星的机械能一定大于同步卫星的机械能 4 【2019 四川省成都市高三三模】2019 年初， 流浪地球的热映激起了人们对天体运动的广泛关注。木 星的质量是地球的 317.89 倍，已知木星的一颗卫星甲的轨道半径和地球的卫星乙的轨道半径相同，且它 们均做匀速圆周运动，则下列说法正确的是 A卫星甲的周期可能大于卫星乙的周期 B卫星甲的线速度可能小于卫星乙的线速
11、度 C卫星甲的向心加速度一定大于卫星乙的向心加速度 D卫星甲所受的万有引力一定大于卫星乙所受的万有引力 5 【2019 山西省太原市第五中学高三模拟】已知某卫星在赤道上空轨道半径为 r1的圆形轨道上绕地运行的 周期为 T，卫星运动方向与地球自转方向相同，赤道上某城市的人每两天恰好三次看到卫星掠过其正上 方。假设某时刻，该卫星如图在 A 点变轨进入椭圆轨道，近地点 B 到地心距离为 r2。设卫星由 A 到 B 运 动的时间为 t，地球自转周期为 T0，不计空气阻力。则 A 0 2 5 TT 6 / 7 B 11 1212 42trr T rrrr C卫星在图中椭圆轨道由 A 到 B 时，机械能不
12、变 D卫星由图中 A 点变轨进入椭圆轨道，机械能增大 1A 由万有引力提供做圆周运动的向心力得GMm r2 m2rm4 2 T2 rmv 2 r ma，解得 v GM r ， GM r3 ，T 42r3 GM ，aGM r2 ，由题图可知，a 的轨道半径大于 c 的轨道半径，因此 a 的角速度小于 c 的角速度，选项 A 正确；a 的轨道半径与 b 的轨道半径相等，因此 a 的加速度等于 b 的加速度，选项 B 错误；a 的轨道半径大于地球半径，因此 a 的运行速度小于第一宇宙速度，选项 C 错误；a 的轨道半径 与 b 的轨道半径相等，故 b 的周期等于 a 的周期，为 24 h，选项 D
13、错误。 2B 由题意可知，A 要实施变轨到更高的轨道与 B 对接，则应做逐渐远离圆心的运动，则万有引力必须 小于 A 所需的向心力，所以应给 A 加速，增加其所需的向心力，故应沿运行速度的反方向喷气，使得在 短时间内 A 的速度增加，与 B 对接后轨道半径变大，根据开普勒第三定律R 3 T2k 得，周期变大，故选项 B 正确。 3A 由题意知极地轨道卫星运行的轨迹所对圆心角为 120 ，即运行了三分之一周期，用时 1 h，因此卫星 7 / 7 的周期 T3 h，由 GMm r2 m4 2 T2 r 可得 T r3，又同步卫星的周期 T同24 h，则极地轨道卫星与同步卫 星的运行半径之比为 14
14、，A 正确；由 GMm r2 mv 2 r ，可得 v 1 r，故极地轨道卫星与同步卫星的运行 速度之比为 21，B 错误；第一宇宙速度 v7.9 km/s，是近地卫星的运行速度，所以极地轨道卫星的运 行速度要小于 7.9 km/s，C 错误；因卫星的质量未知，则机械能无法比较，D 错误。 4 C 根据万有引力提供卫星圆周运动向心力有： 22 22 4mMv Gmrmma rTr ； A、 周期 1 2 2 EFFBAC ， 两颗卫星的轨道半径相同，但木星的质量大，故其周期小，即甲卫星的周期小于乙卫星的周期，故 A 错 误；B、线速度 GM v r ，两颗卫星的轨道半径相同，但木星的质量大，故
15、线速度大，即甲卫星的线速 度大于乙卫星的线速度，故 B 错误；C、向心加速度 2 GM a r ，两颗卫星的轨道半径相同，但木星的质量 大，故其向心加速度大，即甲卫星的向心加速度大于乙卫星的向心加速度，故 C 正确；D、木星的质量 大，但不知道两颗卫星的质量大小关系，故无法求得它们间万有引力的大小，无法比较，故 D 错误。 5ABC 赤道上某城市的人每两天恰好三次看到卫星掠过其正上方，可知地球转 2 圈，卫星转了 5 圈，所 以卫星的周期为 0 2 5 TT ， 故 A 正确； 根据开普勒第三定律有 3 12 3 1 22 2 (2 ) rr r tT ， 解得： 11 1212 42trr T rrrr ， 故 B 正确；卫星在图中椭圆轨道由 A 到 B 时，只有万有引力做功，所以机械能不变，故 C 正确；卫星由 图中 A 点变轨进入椭圆轨道，从高轨道变到低轨道，卫星在 A 点要减小，所以机械能减小，故 D 错误； 故选 ABC。
