1、 1 / 11 素养提升素养提升微微突破突破 03 约束条件下的平抛运动约束条件下的平抛运动 用理想模型解决实际生活问题 平抛运动 体育运动中许多运动都可简化为平抛运动模型， 在分析此类问题时一定要注意从实际出发， 寻找一些临界点，画出物体运动的草图，找出临界条件，并由此分析出临界条件所对应的运动 特征，进而列出符合临界条件的物理方程，并恰当运用数学知识求解临界与极值问题。平抛运 动的研究体现了物理学科的科学思维素养。 【2017 新课标全国卷】发球机从同一高度向正前方依次水平射出两个速度不同的乒乓球（忽略空气的影 响） 。速度较大的球越过球网，速度较小的球没有越过球网；其原因是 A速度较小的
2、球下降相同距离所用的时间较多 B速度较小的球在下降相同距离时在竖直方向上的速度较大 C速度较大的球通过同一水平距离所用的时间较少 D速度较大的球在相同时间间隔内下降的距离较大 【答案】C 【解析】由题意知，速度大的球先过球网，即同样的时间速度大的球水平位移大，或者同样的水平距离速 度大的球用时少，故 C 正确，ABD 错误。 【素养解读】重点要理解题意，本题考查平抛运动水平方向的运动规律。理论知识简单，难在由题意分析 出水平方向运动的特点。本题体现了物理视角解决实际问题的学科素养。 2 / 11 一、圆周约束 在半圆内的平抛运动（如图） ，由半径和几何关系制约时间 t： 2 2 1 gth t
3、vhRR 0 22 联立两方程可求 t。 【典例 1】 【2019 湖南省衡阳市三模】如图所示，地面上固定有一半径为 R 的半圆形凹槽，O 为圆心、AB 为水平直径，现将小球（可视为质点）从 A 处以初速度 v1水平抛出后恰好落到 D 点：若将该小球从 A 处以初速度 v2水平抛出后恰好落到 C 点，C、D 两点等高，OC 与水平方向的夹角 60 ，不计空 气阻力，则下列说法正确的是 Av1:v21:4 B小球从开始运动到落到凹槽上的过程中，其两次的动量变化量相同 C小球落在凹槽上时，其两次的重力的瞬时功率不同 D小球落到 C 点时，速度方向可能与该处凹槽切面垂直 【答案】B 【解析】过 C
4、与 D 分别做 AB 的垂线，交 AB 分别与 M 点与 N 点，如图： 则 OMONR cos60 0.5R； 所以 AM0.5R， AN1.5R；由于 C 与 D 点的高度是相等的，由：h 1 2 gt2可知二者运动的时间是相等的。由水平方向的位移为：xv0t，可得 1 2 1 3 v v ，故 A 错误；它们速度的 3 / 11 变化量：vgt，二者运动的时间是相等的，则它们速度的变化量也相等，根据 P=mv 可知动量变化量 相等。故 B 正确；两次的位移分别为：AD 和 AC，显然 AC2AD，所以前后两次的平均速度之比不等 于 1:2，故 C 错误；球落到 C 点时，若速度方向与该处
5、凹槽切面垂直则速度方向为 OC，O 点应为 AM 的中点，显然不是，故 D 错误。 【素养解读】本题主要考查平抛运动的基本知识，借助于几何知识确定位移关系，进而求的最终结果。体 现了运动观念，结合数学知识的分析综合科学思维。 二、竖直平面约束 对着竖直墙壁、圆筒等平抛，水平初速度 v0不同，水平位移相同，但落点不同；还有可能水平位移也 不同，下落高度根据实际情景变化，求出速度范围。 【典例 2】 【2019 洛阳联考】如图所示，窗子上、下沿间的高度 H1.6 m，墙的厚度 d0.4 m，某人在离墙 壁距离 L1.4 m、距窗子上沿 h0.2 m 处的 P 点，将可视为质点的小物体以速度大小为
6、v 水平抛出， 小物体直接穿过窗口并落在水平地面上，取 g10 m/s2。则 v 的取值范围是 Av7 m/s Bv2.3 m/s C3 m/sv7 m/s D2.3 m/sv3 m/s 【答案】C 【解析】小物体做平抛运动，恰好擦着窗子上沿右侧穿过时 v 最大。此时有 Lvmaxt，h 1 2 gt2，代入数据 解得 vmax7 m/s，恰好擦着窗口下沿左侧穿出时速度 v 最小，则有 Ldvmint，Hh1 2 gt2，代入数 据解得 vmin3 m/s，故 v 的取值范围是 3 m/sv7 m/s，选项 C 正确。 【素养解读】本题平抛运动受多重约束，需要把实际生活情境，抽象出单一的运动情
7、境，分析出实际运动 的水平位移和竖直位移，体现了运动观念解决实际问题的学科素养。 三、挡板约束 在常见的击球运动中（如排球、乒乓球、网球等） ，球触网、擦网、压线、出界等等的约束，需要根据 4 / 11 实际情况分析列物理方程求解。 【典例 3】 【2019 济南模拟】如图所示，排球场总长为 18 m，设球网高度为 2 m，运动员站在网前 3 m 处正 对球网跳起将球水平击出，球大小不计，取重力加速度 g10 m/s2。 (1)若击球高度为 2.5 m，为使球既不触网又不出界，求水平击球的速度范围； (2)当击球点的高度为何值时，无论水平击球的速度多大，球不是触网就是出界？ 【答案】(1)3
8、10 m/sv12 2 m/s (2)32 15 m 【解析】(1)球被水平击出后，做平抛运动，如图所示， 若正好压在底线上，则球在空中的飞行时间 t1 2h0 g 1 2 s 由此得球出界的临界速度 v1x1 t112 2 m/s 若球恰好触网，则球在网上方运动的时间 t2 0 2()hH g 1 10 s 得球触网的临界速度 v2x2 t23 10 m/s 要使球既不触网又不出界，水平击球速度 v 的取值范围为 3 10 m/sv12 2 m/s。 (2)设击球点的高度为 h，当 h 较小时，击球速度过大会出界，击球速度过小又会触网，临界情况是球刚 好擦网而过，落地时又恰好压在底线上，则有
9、 x1 2h g 2 2() x hH g 5 / 11 得 h H 1 x2 x1 2 32 15 m 即击球高度为32 15 m 时，球不是触网就是出界。 【素养解读】排球运动在实战中复杂多变，这里提取出理想化的基本情况，通过分析求解，能够对运动员 和教练员提供技术数据支撑，是理论联系实际的重要体现。 四、斜面上的约束 顺着斜面平抛（如图） 方法：分解位移 x=v0t， 2 2 1 gty ， x y tan 可求得 g v t tan2 0 。 对着斜面平抛（如图） 方法：分解速度 vx=v0，vy=gt， 0 tan v gt v v x y 可求得 g v t tan 0 。 【典例
10、 4】如图所示，一小球从平台上水平抛出，恰好落在邻近平台的一倾角为 53 的光滑斜面顶端，并 刚好沿光滑斜面下滑，已知斜面顶端与平台的高度差 h0.8 m，重力加速度取 g10 m/s2，sin 53 0.8，cos 53 0.6，不计空气阻力，求： 6 / 11 (1)小球水平抛出时的初速度大小 v0； (2)斜面顶端与平台边缘的水平距离 x； (3)若斜面顶端高 H20.8 m，则小球离开平台后经多长时间到达斜面底端？ 【答案】(1)3 m/s (2)1.2 m (3)2.4 s 【解析】(1)由题意可知，小球落到斜面顶端并刚好沿斜面下滑，说明此时小球速度方向与斜面平行，如图 所示， vy
11、v0tan 53 ，vy 22gh 代入数据得 vy4 m/s，v03 m/s. (2)由 vygt1得 t10.4 s xv0t13 0.4 m1.2 m (3)小球沿斜面做匀加速直线运动的加速度 amgsin 53 m 8 m/s2 在斜面顶端时的速度 v v0 2vy 25 m/s H sin 53vt2 1 2 at2 2 代入数据，解得 t22 s 或 t2 14 3 s(舍去) 所以 tt1t22.4 s. 【素养解读】斜面约束实际上确定了末速度与初速度的方向关系，根据运动的合成与分解列方程求解，是 物理观念中运动观念这一素养的灵活体现。 7 / 11 1 【2018 嘉兴市期末】
12、如图所示，水平实验台 A 端固定，B 端左右可调，将弹簧左端与实验平台固定，右 端有一可视为质点、质量为 2 kg 的滑块紧靠弹簧(未与弹簧连接)，弹簧压缩量不同时，将滑块弹出去的 速度不同。圆弧轨道固定在地面并与一段动摩擦因数为 0.4 的粗糙水平地面相切于 D 点。AB 段最长时， B、C 两点水平距离 xBC0.9 m，实验平台距地面高度 h0.53 m，圆弧半径 R0.4 m，37 ，已知 sin 37 0.6，cos 37 0.8。完成下列问题：(g 取 10 m/s2，不计空气阻力) (1)轨道末端 AB 段不缩短，压缩弹簧后将滑块弹出，滑块经过 B 点速度 vB3 m/s，求落到
13、 C 点时的速度 与水平方向的夹角； (2)滑块沿着圆弧轨道运动后能在 DE 上继续滑行 2 m，求滑块在圆弧轨道上对 D 点的压力大小； (3)通过调整弹簧压缩量，并将 AB 段缩短，滑块弹出后恰好无碰撞地从 C 点进入圆弧轨道，求滑块从平 台飞出的初速度大小以及 AB 段缩短的距离 2(多选)如图所示，水平面内放置一个直径 d1 m，高 h1 m 的无盖薄油桶，沿油桶直径距左桶壁 s2 m 处的正上方有一点 P，P 点的高度 H3 m，从 P 点沿直径方向水平抛出一小球，不考虑小球的反弹，下 列说法正确的是(取 g10 m/s2) A.小球的速度范围为15 m/sv 3 10 2 m/s
14、时，小球击中油桶的内壁 B.小球的速度范围为15 m/sv 3 10 2 m/s 时，小球击中油桶的下底 C.小球的速度范围为 2 15 3 m/sv10 m/s 时，小球击中油桶外壁 D.若 P 点的高度变为 1.8 m，则小球无论初速度多大，均不能落在桶底(桶边沿除外) 8 / 11 3一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示。水平台面的长和宽分别为 L1和 L2，中间球网高度为 h。发射 机安装于台面左侧边缘的中点， 能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球， 发射点距台面高度为 3h。 不计空气的作用，重力加速度大小为 g。若乒乓球的发射速率 v 在某范围内，通过选择合适的方向，就 能使乒
15、乓球落到球网右侧台面上，则 v 的最大取值范围是 A.L1 2 g 6hvL1 g 6h B.L1 4 g hv （4L21L22）g 6h C.L1 2 g 6hv 1 2 （4L21L22）g 6h D.L1 4 g hv 1 2 （4L21L22）g 6h 4 【2019 云南曲靖月考】如图所示，一固定斜面倾角为 ，将小球A从斜面顶端以速率 0 v水平向右拋出， 击中了斜面上的P点；将小球B从空中某点以相同速率 0 v水平向左拋出，恰好垂直斜面击中Q点。不计 空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是 A若小球A在击中P点时速度方向与水平方向所夹锐角为，则tan 2tan B若小球A在击
16、中P点时速度方向与水平方向所夹锐角为，则tan 2tan C小球A、B在空中运动的时间比为 2 2tan:1 D小球A、B在空中运动的时间比为 2 tan:1 9 / 11 1(1)45 (2)100 N (3)4 m/s 0.3 m 【解析】(1)根据题意，C 点到地面高度 hCRRcos 37 0.08 m，从 B 点到 C 点，滑块做平抛运动，根 据平抛运动规律： hhC1 2gt 2，则 t0.3 s 飞到 C 点时竖直方向的速度 vygt3 m/s， 因此 tan vy vB1 即落到圆弧 C 点时，滑块速度与水平方向夹角为 45 (2)滑块在 DE 段做匀减速直线运动，加速度大小
17、aFf mg 根据 0vD 22ax， 联立得 vD4 m/s 在圆弧轨道最低处 FNmgmvD 2 R ， 则 FN100 N，由牛顿第三定律知滑块对轨道的压力大小为 100 N (3)滑块飞出恰好无碰撞地从 C 点进入圆弧轨道， 说明滑块落到 C 点时的速度方向正好沿着轨道该处的切 线方向，即 tan vy v0 10 / 11 由于高度没变，所以 vyvy3 m/s，37 ， 因此 v04 m/s 对应的水平位移为 xv0t1.2 m， 所以 AB 段缩短的距离应该是 xABxxBC0.3 m 2ACD 【解析】 小球落在 A 点时， 1 2 15 32 s v H g m/s，当小球落
18、在 D 点时， 2 10 2(- ) s v Hh g m/s，当小球落 在 B 点时， 3 + 15 2 s d v H g m/s，当小球落在 C 点时， 1 3 10 22() sd v Hh g m/s，选项 A、C 正确， B 错误；若 P 点的高度变为 H0，轨迹同时过 D 点和 B 点，则此时的初速度 00 2()2 ssd v HhH gg ， 解得 H01.8 m，v5 m/s，在此高度上初速度大于 5 m/s，小球落在油桶右侧内壁上，当速度小于 5 m/s 时，小球至多落在油桶左侧外壁，选项 D 正确。 3D 【解析】 发射机无论向哪个方向水平发射， 乒乓球都做平抛运动。
19、当速度 v 最小时， 球沿中线恰好过网， 有： 3hhgt 2 1 2 L1 2 v1t1 联立得 v1L1 4 g h 当速度最大时，球斜向右侧台面两个角发射，有 1 2 4L21L22v2t2 3h1 2gt 2 2 11 / 11 联立得 v21 2 （4L21L22）g 6h 所以使乒乓球落到球网右侧台面上，v 的最大取值范围为 L1 4 g hv 1 2 （4L21L22）g 6h ，选项 D 正确。 4BC 【解析】AB、由题图可知，斜面的倾角等于小球A落在斜面上时的位移与水平方向的夹角，则有 2 0 1 2 tan gt v t ；小球A在击中P点时速度方向与水平方向所夹锐角为，则有 0 tan gt v ，联立可得 tan2tan ，故选项 A 错误，B 正确；CD、设小球A在空中运动的时间为 1 t，小球B在空中运动的时 间为 2 t，则由平抛运动的规律可得 2 1 1 0 10 1 2 tan 2 gt gt v tv ， 0 2 tan v gt ，则有 2 1 2 2tan 1 t t ，故选项 C 正确， D 错误。
