1、第七章第七章 总体参数估计总体参数估计Population Parameter Estimation 第一节第一节 总体均值与方差的点估计总体均值与方差的点估计（Point estimation of the population mean and variance）一、点估计和区间估计一、点估计和区间估计 (point estimation and interval estimation)1.点估计点估计 点估计：点估计：当总体参数不清楚时，用一个特定值（一般用样本统计量）对其进行估计，称为点估计。2区间估计区间估计 区间估计：区间估计：是指用数轴上的一段距离表示未知参数可能落入的范围。概括
2、地说：经常需要对总体进行估计的两个数字特征是：总体的均值和方差。如果将总体的均值和方差视为数轴上的两个点，这种估计称为点估计。如果要求估计总体的均值或方差将落在某一段数值区间，这种估计称为区间估计。二、用样本平均数、方差和标准差估二、用样本平均数、方差和标准差估计总体平均数、方差和标准差计总体平均数、方差和标准差 1.用样本平均数估计总体平均数用样本平均数估计总体平均数 样本平均数是总体均值的良好估计。公式：X2.用样本方差估计总体方差用样本方差估计总体方差 同理，用样本标准差估计总体标准差22211)(nXXiSn1)(21nXXiSn3.一个好的样本统计量估计总体参数的要求一个好的样本统计
3、量估计总体参数的要求n无偏性 是指如果用多个样本的统计量作为总体参数的估计值时，有的偏大，有的偏小，而偏差的平均数为0，这时，这个统计量就是无偏估计量。n一致性 是指当样本容量无限增大时，估计值应能越来越接近它所估计的总体参数。即:当N时,X,S2n-12。n有效性 是指当总体参数的无偏估计不止一个统计量时，无偏估计变异性小者有效性高，变异大者有效性低。n充分性 是指一个容量为n的样本统计量，是否充分地反映了全部n个数据所反映总体的信息，这就是充分性。4举例举例（1）一项关于赞同提高汽油税的调查）一项关于赞同提高汽油税的调查 用计算机随机从一个投赞同票的人数为60%的总体中抽出10个样本，每个
4、样本容量为500个观测值，算出每个样本中赞同提高汽油税的人的百分比，其结果如下：58.0 57.8 61.0 59.4 55.8 63.2 59.0 60.6 57.4 58.6 （2）二战中德国人制造了多少辆坦克？）二战中德国人制造了多少辆坦克？问题：在第二次世界大战进行过程中，盟军缴获了一些德军的坦克，并记录了他们的生产编号。怎样用这些号码来估计德军坦克的总数呢？解决问题的思路：n设定总体参数和样本统计量 在这个问题中，总体参数是未知的生产出的坦克总数N，而样本则是缴获的坦克编号。n对坦克总数的估计 首先我们能够肯定：制造出来的坦克总数肯定大于等于记录中的最大编号。解决方法：2种点估计方法
5、：（1）求出被缴获的坦克编号的平均值，并把它作为全部编号的中点。然后将样本均值乘以2就是总数的一个估计值。估计坦克总数N的公式：N=全部编号的均值2n前提条件：是先要假设缴获的坦克代表了所有坦克的一个随机样本 n缺点：不能保证均值的2倍一定大于记录中的最大编号，故常常低估真值。（2）估计估计N的另一个点估计公式n用观测到的最大编号乘以因子11/n，其中n是被缴获的坦克个数。公式：N=（11/n）最大编号 n 此种方法的前提是我们认为实际数略大于最大编号。例如，缴获了10辆坦克，其中最大编号是50，那么坦克总数的估计值是：N=（11/n）50=55 第二节第二节 总体平均值的区间估计总体平均值的
6、区间估计（Interval estimation of the population mean）一、基本概念一、基本概念总体均值的区间估计，置信度，置信区间：总体均值的区间估计，置信度，置信区间：n日常用语表达：就是估计总体均值可能在什么范围之内。n精确的数学语言表达：总体均值的区间估计就是确定总体均值将以特定概率落入其间的数值界限。这个特定概率称为置信度（或称显著性水平），用表示，这个数值界限称为置信界限，置信界限上下限之间的区间，称为置信区间。二、总体方差二、总体方差 2已知，对总体平均数的估计已知，对总体平均数的估计1计算公式计算公式 如果一个随机变量如果一个随机变量Z服从标准正态分布服
7、从标准正态分布(=0，2=1的正态分布的正态分布),那么那么 P-1.96Z1.96=0.95 P-2.58Z2.58=0.99对总体参数进行区间估计的方法：如果一个随机变量X服从均值为，标准差为的正态分布，那么通过变量替换:令：Z=（X-）/（/n）又因为：SEx=/n 所以：Z=（X-）/SEx将Z=（X-）/SEx表达式代入下式：P-1.96Z1.96=0.95得：P-1.96Z1.96 =P-1.96（X-）/SEx1.96整理得出求解总体平均值估计的公式：PX-1.96SExX+1.96SEx=0.952解释解释 在置信区间X-1.96SEx，X+1.96SEx内，正确估计总体均值所
8、在区间的概率为0.95。但是，做这种区间估计不可能保证完全无误，估计错误的概率大约为0.05。3求解步骤求解步骤（1）计算样本平均数和标准差（2）计算标准误 a总体方差已知（查正态分布表）b总体方差未知（查t分布表）（3）确定置信区间（或显著性水平）（4）根据样本平均数的分布，确定查何种统计表（5）确定并计算置信区间（6）解释总体均数的置信区间。4课堂练习课堂练习例，某弱智儿童学校的学生智力水平低于正常儿童，假设该校学生的智商分数遵从正态分布，抽查10名学生的智力水平，测得智商如下:85 70 90 81 72 75 80 82 76 79（1）试估计该校学生智商分数的平均值（2）如果知道该校
9、学生智商分数的方差为25，试找出该校学生平均智商的置信区间。二、总体方差二、总体方差 2未知时，对总体平均数的估计未知时，对总体平均数的估计1求标准误求标准误计算标准误的公式为：样本n30则仍用正态分布。1nSSEX2利用利用t分布估计总体平均值分布估计总体平均值 的的置信区间的解题步骤置信区间的解题步骤 条件为：总体为正态分布，XN(,2)，当总体方差2未知时，求总体平均值的置信区间步骤：（1）由样本容量为n的随机变量X的值X1，X2，X3，Xn求出X，S，自由度df=n-1；（2）求出SEx=S/n-1；（3）确定显著性水平，查t值分布表，找出临界值；（4）由于 P t=0.95，将公式t
10、=（X-)/SEx代入上式，得：P（X-)/SEx =0.95 整理得：PX-SEx X+SEx=0.95 分别求出：X-Sn-1/n和X+Sn-1/n（5）求出总体平均值的置信区间：X-SEx，X+SEx3课堂练习课堂练习例1：对某校学生的智商水平进行抽样测查，共测量了20名学生，所得智商分数如下：90，92，94，95，97，98，99，101，101，102，103，104，105，105，106，110，115，120，88，85。问该校学生平均智商分数在什么范围内?给出平均数和标准差：X=Xi/n=100.5 S2n-1=(Xi-X)2/(n-1)=76 第三节第三节 2分布与总体方
11、差的区间估计分布与总体方差的区间估计一、利用、利用 2分布估计总体方差分布估计总体方差2的置信区间的置信区间（1）样本方差已知 已知：2=（n-1）S2n-1/2，置信度为0.05 在横轴上设2个临界点1和2，使：P1 2 2=0.95，将上式代入，得：P1(n-1)S2n-1/2 2=0.95 2边同除(n-1)S2n-1得：1/(n-1)S2n-1 1/2 2/(n-1)S2n-1 得总体方差总体方差2的置信区间的置信区间：(n-1)S2/2 2 (n-1)S2/1 写成：(n-1)S2/2，(n-1)S2/1 其中：1为2/2，2为21-/2 (n-1)S2/2/2，(n-1)S2/21
12、-/2 （2）样本方差未知）样本方差未知因为：（n-1）S2=（Xi-X）2 若样本方差S2未知，则用下式估计总体方总体方差差2的置信区间的置信区间：（Xi-X）2/2 2 （Xi-X）2/1 则总体方差总体方差2的置信区间的置信区间：（Xi-X）2/2，（Xi-X）2/1 其中：1=21-/2，2=2/2二、课堂练习二、课堂练习 例：根据30名被试的视反应时的实验结果，计算出视反应时的方差为900毫秒，试估计当置信度为0.05时，总体方差的置信区间。第四节第四节 F分布与二总体方差之比的区间估计分布与二总体方差之比的区间估计一、利用一、利用F分布估计二总体方差之比的置信区间公式分布估计二总体
13、方差之比的置信区间公式 由F分布知：F=S2n1-1/S2n2-1，服从F分布，且df1=n1-1，df2=n2-1。又知样本方差S2是总体方差的无偏估计，其之比S2n1-1/S2n2-1是围绕总体方差之比12/22上下波动，故二总体方差12=22 二个样本的总体方差相等的区间估计则用下式：12/22=1 而不用 12-22=0 由于F分布不是对称分布，若F分布右侧一端的概率为：F=S2n1-1/S2n2-1，则另一侧的概率可用：F=1/F=S2n2-1/S2n1-11122221212/222121212/21211nnnnSSFSSF212=2221212/21212/212111nnnn
14、SSFSSF二、课堂练习二、课堂练习例：8名男女生在某项心理实验中所得测量结果的方差分别为1.12和4.98。问男女生测量值的总体方差是否相等。样本统计量估计总体参数小结：1.点估计用样本平均数、方差和标准差估计总体平均数、方差和用样本平均数、方差和标准差估计总体平均数、方差和标准差标准差公式：X22211)(nXXiSn1)(21nXXiSn2.区间估计（1）样本平均数对总体平均数的区间估计）样本平均数对总体平均数的区间估计A。总体方差。总体方差 2已知，对总体平均数的估计已知，对总体平均数的估计 标准误：SEx=/n Z值：Z=（X-）/SEx 求解总体平均值估计的公式：PX-1.96SE
15、xX+1.96SEx=0.95B。总体方差。总体方差 2未知时，对总体平均数的估计未知时，对总体平均数的估计求标准误公式：求总体平均值的置信区间：X-SEx，X+SEx其中，查t分布表得出临界值1nSSEX（2）利用利用 2分布估计总体方差分布估计总体方差2的置信区间的置信区间A。样本方差已知 得总体方差总体方差2的置信区间的置信区间：(n-1)S2/2 2 (n-1)S2/1 写成：(n-1)S2/2，(n-1)S2/1 其中：1为2/2，2为21-/2 B。样本方差未知。样本方差未知总体方差总体方差2的置信区间的置信区间：（Xi-X）2/2，（Xi-X）2/1 其中：1=21-/2，2=2/2（3）利用）利用F分布估计二总体方差之比的置信区间分布估计二总体方差之比的置信区间A。1222B。12=2221212/222121212/21211nnnnSSFSSF21212/21212/212111nnnnSSFSSF 小学生说：我的意思是这个值是11，但误差在2之间。Gudmund R.Iversen说：
