1、第2课时等腰三角形与直角三角形1.理解等腰三角形的有关概念，探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等；底边上的高线、中线及顶角平分线重合.探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个底角相等的三角形是等腰三角形.2.探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60；探索等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形(或有一个角是 60的等腰三角形)是等边三角形.3.探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；反之，角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上.4.理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离
2、相等；反之，到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上.5.了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.掌握有两个角互余的三角形是直角三角形.6.探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题.重合(续表)三(续表)(续表)互余一半一半等腰(边)三角形的性质与判定例 1：(2015 年江苏宿迁)如图 4-2-23，已知 ABACAD，且 ADBC，求证：C2D.图 4-2-23思路分析根据等腰三角形的定义和平行线的性质得出 ABDCBDD，CABC，由此可得出结论.证明：ABACAD，CABC，DABD
3、，ABCCBDD.ADBC，CBDD.ABCDD2D.又CABC，C2D.例 2：(2014 年浙江温州)如图 4-2-24，在等边ABC 中，点D，E分别在边BC，AC上，且DEAB，过点E作EFDE，交 BC 的延长线于点 F.(1)求F 的度数.(2)若 CD2，求 DF 的长.图 4-2-24思路分析(1)根据平行线的性质可得EDCB60，根据三角形内角和定理即可求解.(2)易证EDC 是等边三角形，再根据直角三角形的性质即可求解.解：(1)ABC是等边三角形，B60.DEAB，EDCB60.EFDE，DEF90.F90EDC30.(2)ACB60，EDC60，EDC是等边三角形.ED
4、DC2.DEF90，F30，DF2DE4.【试题精选】1.(2015 年湖北黄石)如图 4-2-25，在等腰三角形 ABC 中，)ABAC，BDAC，ABC72，则ABD(图 4-2-25A.36B.54C.18D.64答案：B2.(2015 年江苏宿迁)若等腰三角形中有两边长分别为 2 和)B.12D.9 或 125，则这个三角形的周长为(A.9C.7 或 9答案：B3.(2015 年北京)如图 4-2-26，在ABC 中，ABAC，AD是 BC 边上的中线，BEAC 于点 E.求证：CBEBAD.图 4-2-26证明：ABAC，AD 是 BC 边上的中线，BEAC，CBECCADC90，C
5、ADBAD.CBEBAD.名师点评解决与等腰三角形相关的计算问题时，一定要分清顶角和底角、底边和腰，适当情况下应该分类讨论，找出正确答案.证明两条线段、两个角相等的常用方法：若它们在同一个三角形中，可利用角证边或用边证角；若它们在不同的三角形中，则通过证两个三角形全等来实现.角平分线与垂直平分线例3：(2015 年湖北荆州)如图 4-2-27，ABC 中，ABAC，AB 的垂直平分线交边 AB 于点 D，交边 AC 于点 E.若ABC 与EBC 的周长分别是 40 cm,24 cm，则 AB_cm.图 4-2-27解析：DE 是 AB 的垂直平分线，AEBE.ABC 的周长ABACBC，EBC
6、 的周长BEECBCAEECBCACBC，ABC 的周长EBC 的周长AB.AB402416(cm).答案：16思想方法运用转化思想是解决本题的关键，即利用垂直平分线的性质将EBC 的周长转化为 ACBC.例 4：(2015 年广西)如图 4-2-28，在ABC 中，CD 平分ACB交AB于点D，DEAC于点E，DFBC于点F，且BC4，DE2，则BCD 的面积是_.图 4-2-28解析：CD 是ACB 的角平分线，DEAC，DFBC，DEDF2.答案：4易错陷阱角平分线上的点到角的两边的距离相等，注意必须是垂直距离，否则不成立.【试题精选】4.(2015 年四川达州)如图 4-2-29，AB
7、C 中，BD 平分ABC，BC 的中垂线交 BC 于点 E，交 BD 于点F，连接CF.)若A60，ABD24，则ACF 的度数为(图 4-2-29A.48B.36C.30D.24答案：A5.(2015 年山东聊城)如图 4-2-30，在ABC 中，C90，A30，BD 是ABC 的平分线.若 AB6，则点 D 到 AB 的距离是_.图 4-2-30勾股定理及其应用例 5：(2014 年湖南湘潭)如图 4-2-31，修公路遇到一座山，于是要修一条隧道.为了加快施工进度，想在小山的另一侧同时施工.为了使山的另一侧的开挖点 C 在 AB 的延长线上，设想过C 点作直线 AB 的垂线 l，过点 B
8、作一直线(在山的旁边经过)，与 l 相交于 D 点，经测量ABD135，BD800 米，求在直图 4-2-31思路分析首先证明BCD 是等腰直角三角形，再根据勾股定理可得CD2BC2BD2，然后再代入BD800米进行计算即可.解：CDAC，ACD90.ABD135，DBC45.D45.CBCD.在RtDCB中，CD2BC2BD2，答：在直线 l 上距离 D 点 566 米的 C 处开挖.思想方法在应用勾股定理解决实际问题时，勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图.领会数形结合的思想的应用.【试题精选】6.(2014 年湖北黄石)小
9、明听说“武黄城际列车”已经开通，便设计了如下问题：如图 4-2-32，以往从黄石 A 坐客车到武昌客运站 B，现在可以在 A 坐城际列车到武汉青山站 C，再从青山站 C 坐市内公共汽车到武昌客运站 B.设 AB80 km，BC20 km，ABC120.请你帮助小明解决以下问题：(2)若客车的平均速度是 60 km/h，市内的公共汽车的平均速度为 40 km/h，城际列车的平均速度为 180 km/h，为了最短时间到达武昌客运站，小明应该选择哪种乘车方案？请说明理由.(不计候车时间)图 4-2-32解：(1)过点C作AB的垂线，交AB的延长线于点E(如图D22).图 D22选择先乘坐城际列车，再
10、坐市内公共汽车的乘车方案.名师点评解决直角三角形问题的关键：一是能熟练运用勾股定理及其逆定理分析与解决实际问题；二是解题时能灵活运用直角三角形的一些性质，如两锐角之间的关系、斜边与斜边上中线的关系；三是当几何问题中给出了线段长度时，往往要构造直角三角形(如勾股数或添加辅助线将非直角三角形转化为直角三角形).图 4-2-33图 D232.(2012年广东)如图4-2-34，在ABC中，ABAC，ABC 72.(1)用直尺和圆规作ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D；(保留作图痕迹，不要求写作法)(2)在(1)中作出ABC 的平分线 BD 后，求BDC 的度数.图 4-2-34解：(1)如图
11、 D24，以点 B 为圆心，以任意长为半径画弧，分别交 AB，BC 于点 E，F；图 D24弧相交于点 G，连接 BG 交 AC 于点 D 即可.(2)在ABC 中，ABAC，ABC72，A1802ABC18014436.BD 是ABC 的平分线，BDC 是ABD 的外角，BDCAABD363672.3.(2015 年广东)如图 4-2-35，在边长为 6 的正方形 ABCD中，E 是边 CD 的中点，将ADE 沿 AE 对折至AFE，延长EF 交边 BC 于点 G，连接 AG.求 BG 的长.图 4-2-35BGFG.设 BGFGx，则 GC6x.E 为 CD 的中点，CEEFDE3.EG3x.在RtCEG中，32(6x)2(3x)2.解得x2.BG2.
