1、第2课时特殊的平行四边形1.理解矩形、菱形、正方形的概念和性质，了解它们之间的关系.2.探索并证明矩形、菱形、正方形的性质定理：矩形的四个角都是直角，对角线相等.菱形的四条边相等，对角线互相垂直，正方形具有矩形和菱形的一切性质.以及它们的判定定理：三个角是直角的四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形，四边相等的四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形.四个角都是直角互相平分对角相等，邻角互补垂直平分相等(续表)(续表)(续表)菱形的性质与判定例1：(2015年贵州贵阳)如图4321，在RtABC中，ACB90，D 为 AB 的中点，且 AECD，CEAB.(1)证明：四边形 ADCE
2、 是菱形；(2)若B60，BC6，求菱形ADCE 的高.(计算结果保留根号)图 4321思路分析(1)先证明四边形 ADCE 是平行四边形，再证出一组邻边相等，即可得出结论；(2)过点D 作DFCE，垂足为点F.先证明BCD 是等边三角形，得出BDCBCD60，CDBC6，再由平行线的性质得出DCEBDC60，在RtCDF 中，由三角函数求出 DF 即可.证明：(1)AECD，CEAB，四边形 ADCE 是平行四边形.又ACB90，D 是 AB 的中点，平行四边形 ADCE 是菱形.(2)过点D作DFCE，垂足为点F，如图4322，DF 即为菱形 ADCE 的高.B60，CDBD，BCD 是等
3、边三角形.BDCBCD60，CDBC6.图 4322CEAB，DCEBDC60.又CDBC6，【试题精选】1.(2015 年广西钦州)如图 4323，要使 ABCD 成为菱形，)图 4323B.BABCD.ACBD则需添加的一个条件是(A.ACADC.ABC90答案：B2.(2014年贵州贵阳)如图4324，在RtABC中，ACB90，D，E分别为AB，AC边上的中点，连接DE，将ADE绕点E旋转180得到CFE，连接AF，DC.(1)求证：四边形 ADCF 是菱形；(2)若 BC8，AC6，求四边形 ABCF 的周长.图 4324证明：(1)将ADE 绕点 E 旋转 180得到CFE，AEC
4、E，DEEF.四边形 ADCF 是平行四边形.D，E 分别为 AB，AC 边上的中点，DE 是ABC 的中位线，DEBC.ACB90，AED90.DFAC.四边形 ADCF 是菱形.(2)在 RtABC 中，BC8，AC6，AB10.D 是 AB 边上的中点，AD5.四边形 ADCF 是菱形，AFFCAD5.四边形 ABCF 的周长为 8105528.名师点评菱形的性质可以用于证明线段相等、角相等、直线平行、垂直等，常与三角形全等、勾股定理、方程相结合进行相关问题的计算与证明.矩形的性质与判定例2：(2015 年四川内江)如图 4325，将 ABCD 的边 AB 延长至点 E，使 ABBE，连
5、接 DE，EC，BD，DE 交 BC 于点 O.(1)求证：ABDBEC；(2)若BOD2A，求证：四边形 BECD 是矩形.图 4325思路分析(1)根据平行四边形的判定与性质得到四边形BECD 为平行四边形，然后由 SSS 推出两三角形全等即可；(2)欲证明四边形 BECD 是矩形，只需证明 BCED 即可.证明：(1)在平行四边形 ABCD 中，ADBC，ABCD，ABCD，则 BECD.又ABBE，BEDC.四边形 BECD 为平行四边形.BDEC.在ABD 与BEC 中，ABDBEC(SSS).(2)由(1)知，四边形 BECD 为平行四边形，则ODOE，OCOB.四边形 ABCD
6、为平行四边形，ABCD，即AOCD.又BOD2A，BODOCDODC，OCDODC.OCOD.OCOBODOE，即 BCED.平行四边形 BECD 为矩形.【试题精选】3.(2015年福建南平)如图4326，矩形ABCD中，AC与BD交于点 O，BEAC，CFBD，垂足分别为 E，F.求证：BECF.图 4336证明：四边形 ABCD 为矩形，ACBD，则 BOCO.BEAC 于 E，CFBD 于 F，BEOCFO90.又BOECOF，BOECOF.BECF.4.(2015 年山东聊城)如图 4327，在ABC 中，ABBC，BD 平分ABC.四边形 ABED 是平行四边形，DE 交 BC 于
7、点 F，连接 CE.求证：四边形 BECD 是矩形.图 4327证明：ABBC，BD 平分ABC，BDAC，ADCD.四边形 ABED 是平行四边形，BEAD，BEAD.BECD，BECD.四边形 BECD 是平行四边形.BDAC，BDC90.BECD 是矩形.名师点评矩形的四个角为直角，常将矩形转化为直角三角形；矩形的对角线将矩形分成四个等腰三角形，这些思路及矩形性质是证明线段、角相等以及线段平行、垂直的重要依据.正方形的性质与判定例 3：(2014 年广西贵港)如图 4328，在正方形 ABCD 中，点 E 是对角线 AC 上一点，且 CECD，过点 E 作 EFAC，交 AD 于点 F，
8、连接 BE.(1)求证：DFAE；(2)当 AB2 时，求 BE2 的值.图 4328图 4329DFEF.AC 是正方形 ABCD 的对角线，EAF45.AEF 是等腰直角三角形.AEEF.DFAE.【试题精选】5.(2015 年湖北鄂州)如图 4330，在正方形 ABCD 的外侧，作等边三角形 ADE，连接 BE，CE；(1)求证：BECE；(2)求BEC 的度数.图 4330(1)证明：四边形 ABCD 为正方形，ABADCD，BADADC90.ADE 为正三角形，AEADDE，EADEDA60.BAECDE150.在BAE 和CDE 中，BAECDE(SAS).BECE.(2)解：AB
9、AD，ADAE，ABAE.ABEAEB.又BAE150，ABEAEB15.同理可得CED15.BEC6015230.解题技巧与正方形有关的计算及推理题常与三角形的全等、勾股定理、方程、三角函数相联系，有关正方形的判定方法较多，一般在矩形、菱形的基础上，从边、角、对角线三个方向进一步分析、判断与证明.1.(2015年广东)如图4331，菱形ABCD的边长为6，ABC 60，则对角线 AC 的长是_.图 4331答案：62.(2015 年广东)如图 4332，在边长为 6 的正方形 ABCD中，E 是边 CD 的中点，将ADE 沿 AE 对折至AFE，延长EF 交边 BC 于点 G，连接 AG.求
10、证：ABGAFG.图 4332解：(1)在正方形 ABCD 中，ADABBCCD，DBC90.将ADE 沿 AE 对折至AFE，ADAF，DEEF，DAFE90.ABAF，BAFG90.在RtABG和RtAFG中，图 43233.(2012年广东)如图4333，在矩形纸片ABCD中，AB6，BC8.把BCD沿对角线BD折叠，使点C落在C处，BC交AD于点G.E，F分别是CD和BD上的点，线段EF交AD于点H，把FDE沿EF折叠，使点D落在D处，点D恰好与点A重合.(1)求证：ABGCDG；(2)求tanABG的值；(3)求EF的长.(2)解：由(1)可知：ABGCDG，GDGB.AGGBAD.设 AGx，则 GB8x.在RtABG中，AB2AG2BG2，
