1、第五章图形与变换第1讲图形的轴对称、平移与旋转1.图形的轴对称.(1)通过具体实例认识轴对称，探索它的基本性质：成轴对称的两个图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分.(2)能画出简单平面图形关于给定对称轴的对称图形.(3)了解轴对称图形的概念：探索等腰三角形、矩形、菱形、正多边形、圆的轴对称性质.(4)认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形.2.图形的平移.(1)通过具体实例认识平移，探索它的基本性质：一个图形和它经过平移所得到的图形中，两组对应点的连线平行(或在同一条直线上)且相等.(2)认识并欣赏平移在自然界和现实生活中的应用，能按要求作出简单平面图形平移后的图形.3.图形的旋转.(1
2、)通过具体实例认识平面图形关于旋转中心的旋转，探索它的基本性质：一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，两组对应点与旋转中心连线所成的角相等.(2)了解中心对称、中心对称图形的概念，探索它的基本性质：成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分.(3)探索线段、平行四边形、正多边形、圆的中心对称性质.(4)认识并欣赏自然界和现实生活中的中心对称图形.4.图形与坐标.(1)坐标与图形位置.结合实例进一步体会有序数对可以表示物体的位置.理解平面直角坐标系的有关概念，能画出直角坐标系；在给定的直角坐标系中，能根据坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标.
3、在实际问题中，能建立适当的直角坐标系，描述物体的位置.对给定的正方形，会选择适当的直角坐标系，写出它的顶点坐标，体会可以用坐标刻画一个简单图形.在平面上，能用方位角和距离刻画两个物体的相对位置.(2)坐标与图形运动.在直角坐标系中，以坐标轴为对称轴，能写出一个已知顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标，并知道对应顶点坐标之间的关系.在直角坐标系中，能写出一个已知顶点坐标的多边形沿坐标轴方向平移后图形的顶点坐标，并知道对应顶点坐标之间的关系.在直角坐标系中，探索并了解将一个多边形依次沿两个坐标轴方向平移后所得到的图形与原来的图形具有平移关系，体会图形顶点坐标的变化.在直角坐标系中，探索并了解将一个
4、多边形的顶点坐标(有一个顶点为原点、有一条边在横坐标轴上)分别扩大或缩小相同倍数时所对应的图形与原图形是位似的.(续表)相等垂直平分(续表)相等平行(续表)向右向上(续表)互为相反数相等互为相反数互为相反数k 或k轴对称图形、中心对称图形的识别1.(2015 年山东日照)下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是()A.B.C.D.答案：D2.(2015 年湖南长沙)下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是()A.B.C.D.答案：B名师点评判断轴对称图形，关键看对称轴两旁的部分是否能够完全重合；判断中心对称图形，关键看图形绕某一点旋转 180后
5、是否与原图形完全重合.轴对称及应用例 1：(2015 年山东营口)如图 5-1-1，点 P 是AOB 内任意一点，OP5 cm，点 M 和点 N 分别是射线 OA 和射线 OB 上的)动点，PMN 周长的最小值是 5 cm，则AOB 的度数是(图 5-1-1A.25B.30C.35D.40解析：分别作点P 关于OA，OB 的对称点C，D，连接CD，分别交 OA，OB 于点 M，N，连接OC，OD，PM，PN，MN，如图 5-1-2.图 5-1-2点P 关于OA 的对称点为D，关于OB 的对称点为C，PMDM，OPOD，DOAPOA.点 P 关于 OB 的对称点为 C，PNCN，OPOC，COB
6、POB.PMN 周长的最小值是 5 cm，PMPNMN5.DMCNMN5，即 CD5OP.OCODCD，即OCD 是等边三角形.COD60.AOB30.答案：B思想方法在动点问题中求线段的最短距离，常常运用轴对称性质将多条线段长度转化到成一条线段，然后利用线段的性质解决实际问题.【试题精选】3.(2015年四川内江)如图 5-1-3，正方形ABCD的面积为 12，ABE 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD 内，在对角线 AC)上有一点 P，使 PDPE 最小，则这个最小值为(图 5-1-3答案：B图 D664.(2015 年江苏连云港)如图 5-1-4，将平行四边形 ABCD 沿对角线
7、BD 进行折叠，折叠后点 C 落在点 F 处，DF 交 AB 于点 E.(1)求证：EDBEBD；(2)判断 AF 与 DB 是否平行，并说明理由.图 5-1-4证明：(1)由折叠可知：CDBEDB，四边形 ABCD 是平行四边形，DCAB.CDBEBD.EDBEBD.(2)AFDB；理由如下：EDBEBD，DEBE.由折叠可知 DCDF.四边形 ABCD 是平行四边形，DCAB.DFAB.AEEF.EAFEFA.在BED 中，EDBEBDDEB180，2EDBDEB180.同理，在AEF 中，2EFAAEF180.DEBAEF，EDBEFA.AFDB.名师点评解决折叠问题的关键：一是折痕两边
8、的折叠部分全等；二是折叠的某点与所落位置之间的线段被折痕垂直平分.图形的平移与旋转例 2：(2014 年湖南邵阳)某数学兴趣小组开展动手操作活动，设计了如图 5-1-5 所示的三种图形.现计划用铁丝按照图形制作相应的造型，则所用铁丝的长度关系是(A.甲种方案所用铁丝最长B.乙种方案所用铁丝最长C.丙种方案所用铁丝最长D.三种方案所用铁丝一样长)图 5-1-5解析：根据平移的性质，甲乙丙三个图形都能平移转化为长 b，宽 a 的矩形，故甲乙丙三个图形的周长都是 2a2b.答案：D易错陷阱本题应该从整体上观察图形，找出相互之间的联系，而不能盲目地计算，本题容易陷入复杂的计算而导致错误.例3：(201
9、5年广东梅州)在RtABC中，A90，ACAB4，D，E分别是AB，AC的中点.若等腰直角三角形ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰直角三角形AD1E1，设旋转角为(0180)，记直线BD1与CE1的交点为点P.(1)如图5-1-6，当90时，线段BD1的长等于_，线段CE1的长等于_；(直接填写结果)(2)如图5-1-7，当135时，求证：BD1CE1，且BD1CE1；(3)设 BC 的中点为 M，则线段 PM 的长为_；点 P 到 AB 所在直线的距离的最大值为_.(直接填写结果)图 5-1-6图 5-1-7思路分析(1)利用等腰直角三角形的性质结合勾股定理分别得出BD1的长和CE1的长；(2
10、)根据旋转的性质，得出D1ABE1AC135，进而求出D1ABE1AC(SAS)，即可得出答案；即可；首先作PGAB，交AB所在直线于点G，则D1，E1在以A为圆心，AD为半径的圆上，当BD1所在直线与A相切时，直线BD1与CE1的交点P到直线AB的距离最大，此时四边形AD1PE1是正方形，进而求出PG的长.(1)解：A90，ACAB4，D，E分别是边AB，AC的中点，AEAD2.等腰直角三角形ADE 绕点A 逆时针旋转，得到等腰直角三角形 AD1E1，设旋转角为(0180)，当90时，AE12，E1AE90.(2)证明：当135时，如图5-1-7，RtAD1E1是由RtADE绕点A逆时针旋转
11、135得到，AD1AE1，D1ABE1AC135.在D1AB和E1AC中，D1ABE1AC(SAS).BD1CE1，且D1BAE1CA.记直线BD1与AC交于点F，BFACFP.CPFFAB90.BD1CE1.(3)解：如图5-1-8，CPBCAB90，BC 的中点为点 M，图 5-1-8如图 5-1-9，作 PGAB，交 AB 所在直线于点 G.图 5-1-9D1，E1 在以点 A 为圆心，AD 为半径的圆上，当BD1 所在直线与A 相切时，直线BD1 与CE1 的交点P到直线AB 的距离最大，思想方法利用旋转的思想探究和发现规律是中考压轴题的典型方法，综合三角形、特殊四边形和圆等性质，由特
12、殊点推广到一般情况，过程方法一般不变，结论或有所变化.【试题精选】5.(2015年辽宁盘锦)如图5-1-10，ABC和AED都是等腰直角三角形，BACEAD90，点 B 在线段 AE 上，点C 在线段 AD 上.(1)请直接写出线段 BE 与线段 CD 的关系：_；(2)如图 5-1-11，将图 5-1-10 中的ABC 绕点 A 顺时针旋转角.(0360)(1)中的结论是否成立？若成立，请利用图 5-1-11 证明；若不成立，请说明理由；图 5-1-10图 5-1-11以 A，B，C，D 四点为顶点的四边形是平行四边形，ABC 和AED 都是等腰直角三角形，ABCADC45.CAD45或 3
13、609045225.角的度数是 45或 225.名师点评(1)图形平移前后的对应线段相等，对应角相等，对应点连线的线段是平移的距离；(2)图形旋转前后的对应边相等，对应角相等，对应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角.坐标与图形的运动A.(4,1)B.(4，1)C.(5,1)D.(5，1)答案：D图 5-1-126.(2015年湖北潜江)在下面的网格图5-1-12中，每个小正方形的边长均为1，ABC的三个顶点都是网格线的交点.已知B，C两点的坐标分别为(1，1)，(1，2)，将ABC绕点C顺时针旋转90，则点A的对应点的坐标为()图 5-1-137.(2015年山东聊城)在如图5-1-13所示
14、的平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，ABC的顶点均在格点上，点A的坐标是(3，1).(1)将ABC沿y轴正方向平移3个单位得到A1B1C1，画出A1B1C1，并写出点B1的坐标；(2)画出A1B1C1关于y轴对称的A2B2C2，并写出点C2的坐标.图 D67解：(1)如图D67所示A1B1C1即为所求.点B1坐标为(2，1).(2)如图D67所示A2B2C2即为所求，点C2的坐标为(1,1).名师点评图形平移的坐标变化规律是：在平面直角坐标系中，如果一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或左)平移 a 个单位长度；如果把各个点的纵坐标都
15、加上(或减去)一个正数b，相应的新图形就是把原图形向上(或下)平移 b 个单位长度.对称点的坐标特征是：关于 x 轴对称的两点，横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于 y 轴对称的两点，横坐标互为相反数，纵坐标不变；关于原点对称的两点，横、纵坐标都互为相反数.与变换有关的计算题，找准变换中的“变”与“不变”，借助变换与相关图形的性质进行分析与求解.1.(2015 年广东)下列所述图形中，既是中心对称图形，又)B.平行四边形D.正三角形是轴对称图形的是(A.矩形C.正五边形答案：A2.(2014 年广东)在下列交通标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()A.B.C.D.答案：C3.(2013 年广东)下列图形中，不是轴对称图形的是()A.B.C.D.答案：D
