1、第二章 随机变量及其分布 教学要求教学要求1.理解随机变量及其概率分布的概念。2.理解随机变量分布函数的概念，掌握分布函数的性质，会计算与随机变量有关的事件的概率。3.理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握（0-1）分布，二项分布，几何分布，泊松分布及其应用。4.理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握密度函数的性质，掌握均匀分布，指数分布，正态分布及其应用。5.会求简单的随机变量函数的分布。例1.填空题：（1）同时抛掷三枚硬币，以 X 表示出现正面的个数，则 X 的概率分布为_（2）设（3）设 X 的概率分布为 为常数，则，0 ),2 ,1 ,0(!kkkXPk（4）设2.0)0(3.
2、0)42(),2(2xPXPNx则，且，e27191 951 )3(,),2(YPXPPBYPBX则，若，（5）设 X 的概率密度为其它 ,010 ,2)(xxxf用 Y 表示对 X 的三次独立重复观察中事件 出现的次数，则（6）设 X 的分布为 6492 YP21X则 的分布律为，13 20/3XYa（6）设 X 的分布为 12 XY例2 选择题：（1）下列函数中，哪个是 X 的分布函数；0 ,2302 ,212 ,0)(xxxxF）（C（A A）（B B）（C C）（D D）；,10 ,sin0 ,0)(xxxxxF；2 ,120 ,sin0 ,0)(xxxxxF.21 ,1210 ,31
3、0 ,0)(xxxxxF（2）设 X 的分布律为)(0),2 ,1(BbkbkXPk为则，且，（A A）；（B B）；（C C）；的任意实数 01 b11b11b（3）已知 X 的分布函数为 )(A；,1 0 ,0 ,0 )(xxbkxxxF则常数 k 和 b 分别为（A A）（B B）（C C）（D D）（D D）.21b0,k 0b,21k 1b0,k 0b,1k（4）设 X 的概率分布为 ，则随着 的增大，概率 ）（DXP （5）设 ，概率密度为 ，则下列等式正确的是5.000XPXP),(2NX2（A A）单调增大；（B B）单调减少；（C C）增减性不定；（D D）保持不变。)()1
4、 ,1(xfNX）（C（A A）；（B B）；（C C）；（D D）),(-,)()(xxfxf.),()(1)(xxFxF，5.011XPXP（6）设 X 的概率分布为 )(12 )1 ,0(AYXYNX服从则，（A A）N(1,4)（B B）N(0,1)（C C）N(1,1)（D D）N(1,2)例3 设试验成功的概率为 ，失败的概率为 ，独立重复试验直到（1）成功两次为止；（2）成功三次为止，分别求所需试验次数的概率分布。4341解解：（1）设 X 表示直到成功两次为止的所需试验次数 X 的可能取值为2,3,4.,4,3,24341 2211kCkXPkk，（2）设 Y 表示直到成功三次
5、为止所需试验次数，则 Y 可能取值为3,4,5.5,4,343413321kCkXPkk，例4 一批产品由9个正品3个次品组成，从这批产品中每次任取一个，取后不放回，直到取到正品为止，由 X 表示取到的次品个数，写出 X 的概率分布及分布函数。解解：X 所有可能取值为0,1,2,3.220122094494313,2209109*112*1232,449119*1231 431290 XPXPXPXP，故 X 的分布律为：，时，222144943)(21xXPxFx当当当 ，时，0)(0 xXPxFx，时，43)(10 xXPxFx当，时，220219220944943)(32xXPxFx当3
6、 132 22021921 222110 430 0)(1)(3xxxxxxFxFx，时，例5 设 X 的概率密度为解解：（1）由 的性质，有求（1）系数 k；（2）X 的分布函数；（3）.2 ,0,20 ,41,0 ,)(xxxkexfx.2111XPXPXP，)(xf，211214141)(1200200kkxkedydxdxkedxxfxx当 ，时 0 xxxxedxeXPxF2121 0)(当 ，时 20 xxtdxdxexFxxx4121412141 21)(000当，1)(2xFx2 ,1,20 ,4121,0 ,21)(xxxxexFx（3）4141211)1()2(21 01
7、,43)1(1FFXPXPFXP，例6 设 X 的概率密度为解解：设 Y 的分布函数为 ；密度为求 的概率密度。XYsin.,0,0 ,2)(2其它xxxf)(yFY)(yfY当当当 ，时，0)(0)(0yfyFyYY，时，0)()(1)(1yFyfyFyYYY时，10 yxyxYdxxffxxfYxPyYPyFarcsin0arcsin)()(sin)()10(12 1)arcsin(211arcsin2)()(22222yyyyyyyfyFYY故 ,0 10 ,12)(2其它yyyfY例7 已知 X 的概率密度为.,0,10 ,)(其它xbaxxf且 ，求8521XP（1）常数 a,b 的
8、值；（2）2141XP解解：（1）由 1)(1)(10dxbaxdxxf即，得到 12ba再由，121 283)(21badxbaxXP，得85283 ba联立解得：.21 1ba，（2）.3272141 XP例8 在电源电压不超过200V，在200V 240V之间和超过240V这三种情况下，某种电子元件损坏的概率分别为 0.1，0.001，0.2，假设电源电压服从正态分布 ，求：（1）该电子元件损坏的概率 ；（2）该电子元件损坏时，电源电压在200V 240V之间的概率 。解解：设 A 表示“电子元件损坏”，分别表示“电压不超过200V”，“电压在200V 240V 之间”和“电压超过240
9、V”。)25,220(2N321 BBB，由，可得，)10(25220NX.2119.0)8.0(1)8.0(2001XPBP）（.5762.0)8.0()8.0()25220200()25220240(2402002XPBP）（.2119.0)8.0(1 )25220240(124012403XPXPBP）（.06415.0 )8.0()8.0(2.0*2119.0001.0*5762.01.0*2119.0 )()()(3)2(iiBAPBPAP（1）由全概率公式，得 （2）根据贝叶斯公式，有 .00898.006415.0001.0*5762.0)()()()(222APBAPBPABP
10、例9 公共汽车门的高度是按男子与车门顶不碰头的概率在0.01以下设计的。设男子身高 ，问车门高度为多少？解解：设车门高度为 h，按设计要求.184 184 33.26170 99.09901.0)33.2(99.06170 01.061701 01.0cmhhhhhXP，故车门的高度为即于是即，为此必须有)(6,170(2cmNX求：随机变量例10 已知 X 的概率密度为解解：当 当).(2yfXYY的0 0 0)(xxexfxX，时，有0)()(0)(0yfyFyFyyYY时，有 0 y 0 )(2yXPyXyPyXPyYPyFY两端同时对 y 求导，得 yXYYeyyyfyFyf2121)
11、()()(所以 0 0 0y 21)(yeyyfyY，例11 设 X 在(0,1)服从均匀分布，求（1）（2）的概率密度。解解：由题设知XeY XYln2其他，01x0 1)(xfX（1）当 当 当，时，0)()(0)(1yfyFyFyYYY，时，有0)()(1)(yfyFyFeyYYY 1时，有ey ydyyXPyePyYPyFyXYlnln)(ln0yyfyFYY1)()(故其他，0 ey1 1 )(yyfY（2）当 当 时，有 0y，得时，由xyyln20，0)()(0)(yfyFyFYYY，由公式得，2221)()(yyeyheyhx的 ln2XY.0 0 0y 21)(2yeyfyY
12、，例12 设 X N(0,1)，试求（1）（2）解解：X 的概率密度为的概率密度，XeY 的概率密度。XZ,21)(22xexxfxX（1）当 当时，有 0y，0)()(0)(yfyFyFYYY时，0y)(lnln)(yFyXPyePyYPyFXXY2ln2211)(ln)()(yXYYeyyyfyFyf故 0 0 0y 21)(2ln2yeyyfyY，另外根据公式，严格单调，而 0)(0)(xeygg，故，yxyx1ln 0 0 0y 21)(2ln2yeyyfyY，（2）当 当，时，0)()(0)(0yfzFzFzYZZ时，0z)()()(zFzFzXPzFXXZ，22 2)()()(zXXZezfzfzf故 0 0 0 2)(22zzezfzZ，
