1、科学计算选讲 复杂曲面的数学模型及应用复杂曲面的数学模型及应用学院：机械工程学院学院：机械工程学院专业：机械工程专业：机械工程报告人：王新波报告人：王新波组员：吴晓强、胡高峰组员：吴晓强、胡高峰复杂曲面数学模型概述复杂曲面数学模型概述解析曲面：可以用初等解析方程来描述的曲面，如平面、锥面、球面复杂曲面：如飞机外壳、汽车模具，以及各种叶片的工作表面复杂曲面数学模型概述复杂曲面数学模型概述1963年，Ferguson首先提出将曲线曲面表示为参数矢函数的方法，并引入参数三次曲线1971年，Bezier提出一种由控制多边形设计曲线的新方法1972年，de Boor和Cox分别总结并给出了关于B样条的一
2、套标准理论算法1973年Riesenfeld将B样条理论应用于形状描述，最终提出了B样条方法1975年，美国Syracuse大学的Versprille首次提出了有理B样条方法后来由于Piegl和Tiller等人的功绩，终于使非均匀有理B样条（NURBS）方法称为现代曲线曲面造型中最为广泛流行的技术复杂曲面数学模型概述复杂曲面数学模型概述可以精确地表示二次解析曲线曲面，从而用统一的数学形式表示解析曲面和自由曲面。具有可影响曲线曲面形状的权因子，使形状更便于控制和实现。利用NURBS方法不但可以将多条曲线连接成具有统一表达式的一条NURBS曲线，而且可以将多张曲面拼接成单张曲面。NURBS方法可以
3、将空间的离散点拟合成曲线或曲面，这给生成含有样条指令的数控代码带来了极大的方便。正因为NURBS方法具有众多优点而被ISO与1991年确定为工业产品数据交换(STEP)的唯一标准。复杂曲线模型复杂曲线模型三维空间（O-XYZ）中的一条以u为参数的曲线的矢量表达式为 C ux ux u iy u jz u ky uz u,bua通常将式（2-1）中的a取为0，将b取为1，即参数的范围0,1 i、j、k分别为X、Y、Z轴单位矢量，其中C(u)表示参数值为u处对应的曲线上一点的矢量。1000,1,k0001ij 。2 1复杂曲线模型复杂曲线模型 空间一条NURBS曲线方程通常也是由参数形式进行描述的
4、，其定义由下式给出 式中，p为NURBS曲线的次数，p+1为其阶数；为第i个三维控制顶点，形成控制多边形，共n+1个；为第i个控制点 对应的权重，并且对所有 i恒有 0；为第i个p次B样条基函数。,0,0Cni pi iini piiNu w PNu wu22ipiwipiw,i pNu复杂曲线模型复杂曲线模型 1,01,11,1111,(u)00=00iiiipii pi pipipiipiuu uNuuuuNuNuNuuuuu 其他规定2-3(i0,1,2,n p 1)iu 式中，为节点值复杂曲线模型复杂曲线模型引入分段有理基函数 ,j,0,i pinpjjNu wi pRu wRu252
5、2则式 还可写成如下的等效形式 ,0nii piC uRu P26复杂曲面模型复杂曲面模型图图1笛卡尔空间与参数平面的映射关系笛卡尔空间与参数平面的映射关系复杂曲面模型复杂曲面模型 三维空间中一张自由曲面对应于参数平面 内一个边长为1的正方形，其一般矢量及矩阵表达式为uv(u,v)(u,v)(u,v)i(u,v)j(u,v)k(u,v)(u,v)xSxyzyz（2-7）复杂曲面模型复杂曲面模型 一张pxq次NURBS曲面可表示为如下有理B样条张量积的形式 ,00,00,nmi pj qi ji jijnmi pj qi jijNu Nv wpNu Nv wS u v28 1111,0,11,1
6、1,0NNNN 其他29,=v,uipjq或复杂曲面模型复杂曲面模型 ,00,;,(u)N,i pj qi jnmk pl qk lklNu Nv wi p j qNv wRu v,;,00,nmi p j qi jijS u vRu v PNURBS 在在CAD 曲面造型中的应用曲面造型中的应用 应用NURBS 理论进行曲面建模的基本步骤是：采集曲面型值点数据根据采集数据和NURBS基函数反算控制点生成NURBS 曲线在曲面范围内沿(u,v)方向采集控制点网格由控制网格生成曲面利用基函数作局部调整。NURBS 在在CAD 曲面造型中的应用曲面造型中的应用根据厂家的生产零件或总成图纸,通过UG等软件 建立其CAD 模型自由曲线曲面或原型的各点由三坐标测量机或激光线扫描法得到，将采样点作为NURBS 曲线曲面上的点，已知节点向量，可求出基函数，然后配合适当的权因子，反算出各曲线曲面的控制点，由控制多边形或控制网格就可以确定NURBS 曲线曲面NURBS 在在UG 应用实例应用实例图图2叶轮的实体模型叶轮的实体模型
