1、货币的时间价值与利率相关计算北京大学经济学院金融系谢世清l 货币时间价值的测定l 年金和增长型年金l 永续年金和增长型永续年金l 净现值和内部收益率l 复利期间和有效利率的计算l 在金融理财中的应用一、货币时间价值的测定：现值和终值2l1.与时间价值有关的术语 货币时间价值是指当前所持有的一定量的货币，比未来获得的等量货币具有更高的价值 货币之所以具有时间价值，是因为：可以满足当前消费或用于投资而产生回报，因此货币具有机会成本 通货膨胀可能造成货币贬值 投资可能产生投资风险，需要提供风险补偿 PV：现值，即今天的价值 FV：终值，即未来某个时间点的价值 t：终值和现值之间的时间区间 r：利率0
2、123tPVFV 所有定价问题都与这4个变量有关，确定其中3个即能得出第4个一、货币时间价值的测定：现值和终值3l2.单期中的终值 假设利率为5%，准备拿出1万元进行投资，一年后将得到10500元 单期中终值计算公式为:l3.单期中的现值 单期中现值的计算公式为:假设利率为5%，要保证自己通过一年的投资得到1万美元，那么在当前的投资应该为9523.81美元(1)FVPVr1FVPVrPV=10000元FV=10500元01(1)PVr10000(1 5%)一、货币时间价值的测定：现值和终值4l4.多期的终值和现值 实例 7-1 假设购买了金山公司首次公开发售时的股票。分红为每股1.10元，并预
3、计能在未来5年中以每年40%的速度增长。5年后的股利为多少?解析 第5年的股利5.92元远高于第一年股利与5年中的股利增长之和：5.92元1.10+51.100.40=3.30元。其原因是利滚利的结果 多期的终值公式为：多期的现值公式为：实例 7-2 假如利率是15%，你想在5年后获得2万元，你需要在今天拿出多少钱进行投资？解析 5200009943.531.15PV 1.10 1.40元1.10 1.402元1.10 1.403元1.10 1.404元1.10 1.405元1.10 元0 1 2 3 4 5 5(1)1.10(1.40)5.92TFVPVr(1)TFVPVr(1)TFVPVr
4、一、货币时间价值的测定：现值和终值5l5.复利和单利的区别 实例 7-3 假设年利率为12%，今天投入5000元，6年后你将获得多少钱？用单利计算是怎样的？用复利计算是怎样的？解析 用单利计算：5000+0.12 5000 6=8600元 用复利计算：5000 1.126=5000 1.9738227=9869.11元 复利和单利之间的差异为：9869.11-8600=1269.11元 实例 7-5 假如投资者甲买彩票赢得100万元，将其存入10年的定期存款，年利率为6%，按复利计算。或者他将其交于表兄打理，10年中，每年按6%的单利计算。10年后，哪种方式获利多？解析 定期存款的终值是 表兄
5、那里的终值是 1000000+1000000 0.06 10=1600000元 复利引起的是近191000元的资产增值101000000(1.06)1790847.70一、货币时间价值的测定：现值和终值6l5.复利和单利的区别 实例 7-4 计算现值为100元，年利率为10%，5年后的终值。如按单利计算，终值为150元，如按复利计算，为161.05元年度 初始值（元）单利（元）复利（元）总利息（元）终值（元）1100.0010.000.0010.00$110.002110.0010.001.0011.00121.003121.0010.002.1012.10133.104133.1010.00
6、3.3113.31146.415146.4110.004.6414.64161.05总计50.0011.0561.05一、货币时间价值的测定：现值和终值7l6.不同利率和不同期限下的现值变化 实例 7-6 假如你现在21岁，每年能获得10%的收益，要想在65岁时成为百万富翁，今天你要一次性拿出多少钱来投资？解析：FV=100万元，r=10%，T=65-21=44年。PV=？时间的长短和复利的计息方式对资本增值的巨大影响4444100000010000001.10 150911.10PVPV一、货币时间价值的测定：现值和终值8l6.不同利率和不同期限下的现值变化 实例 7-7 假如你的子女在18
7、年后将接受大学教育，预计届时需要的学费总额为20万元。你现在有15000元可以用于投资，问需要怎样的回报率才能实现该理财目标？解析 现值PV=15000元，终值FV=200000元，T=18年，求解收益率r 也就是说，你需要将今天的15000元投资于年平均收益率15.48%的投资项目，18年后，你才可以得到20万元用于你子女的大学学费181820000015000 11r13.333r15.48%r一、货币时间价值的测定：现值和终值9l6.不同利率和不同期限下的现值变化 实例 7-8 美国前总统富兰克林死于1790年。他在遗嘱中写道，分别向波士顿和费城市政府捐赠1000美元用于设立奖学金。捐款
8、必须等他死后200年方能捐出使用。1990年时，付给费城的捐款已经变成200万美元，而给波士顿的已达到450万美元。请问两个城市的投资收益率各为多少？解析 对于费城，有以下计算：同理我们可以得到波士顿的年平均投资收益率为4.3%因此，时间对于投资收益的增长是非常重要的。即使年收益不大，但如果时间足够长，一个很小的现值也可以变成一个很大的终值200200(1/200)10002000000/(1r)(1r)2000r200013.87%一、货币时间价值的测定：现值和终值10l7.72法则 根据经验，如果年利率为r%，你的投资收益将在大约72/r年后翻一番。这一公式被称为72法则。如果年收益率为6
9、%，投资将于约12年后翻番 一般来说，利率在6%-12%的范围内，使用72法则比较准确 实例 7-9 现值为5000元的一项投资，如果10年后的终值为10000元，该投资的收益率为多少？解析 按72法则，这项投资相当于10年翻了一番，年利率大约为7.2%如果按公式计算，求解r得：r=7.18%可见72法则在此例中是很精确的。使用72法则可节约大量的计算时间105000 110000r一、货币时间价值的测定：现值和终值11l7.72法则 实例 7-10 根据研究，1802-1997年间美国股市普通股票指数的年平均收益率为8.4%。假设你的祖先在1802年在美国对一个充分分散风险的投资组合进行了1
10、000美元的投资。1997年的时候，这个投资的价值是多少？解析 T=195，r=8.4%，PV=1000美元 1998年美国股指价值增长了28.59%。如果上述投资不撤出的话，那么其在1998年年底的价值是多少？解析 1998年末价值为6771892096.95（1+0.2895）=8707976047美元 实例 7-11 假如我现在投资5000元于一个年收益率为10%的产品，我需要等待多久该投资才能增长到10000元？解析 得T=7.27年。该题也可运用72法则直接求出：T=72/10=7.2年1951000(1 8.4%)6771892097FV 1000050001.10T（）二、年金和
11、增长型年金12l1.年金 年金指在一定期限内，时间间隔相同、不间断、金额相等、方向相同的系列现金流 年金的终值和现值的计算通常采用复利的形式 根据等值现金流发生的时间点不同，年金可以分为期初年金和期末年金。如果不特殊说明，一般假定年金为期末年金 期末年金的现值：当C=1时，可得期末年金现值系数=0123TCCCC(1)1(1)TTCrPVrr(1)1(1)TTrrr二、年金和增长型年金13l1.年金 如果现金流都发生在每期的期初，我们把这样的年金叫期初年金，如图7-7所示。生活中像房租、养老金支出、生活费支出、教育金支出、保险缴费等都是期初年金 期初年金现值的公式为：实例 7-12 如果项法材
12、先生在未来10年内每年年初获得1000元，年利率为8%，则这笔年金的现值为：解析 如果项先生的年金在每年年末获得，则这笔年金的现值为：111+r1TTCrPVrr期初0123TCCCCCT-1-10(1000/0.08)1-(1 0.08)(1 0.08)7246.89PV期初-10(1000/0.08)1-(1 0.08)6710.08PV 二、年金和增长型年金14l1.年金 期末年金的终值为：当C=1时，可得期末年金终值系数=期初年金终值的计算公式为：实例 7-13 如果项先生在未来10年内每年年初获得1000元，年利率为8%，则10年后这笔年金的终值为：解析 如果年金在每年年末获得，则1
13、0年后这笔年金的终值为：实例7-14 如果你采用了一项为期36个月的购车贷款，每月月末为汽车支付400元，年利率为7%，按月计息。你能购买一辆价值多少钱的汽车 解析(1)1TCrFVr(1)1Trr(1)1(1r)TCrFVr期初10(1000/0.8)(1 0.08)1(1 0.08)15645.49FV期初10(1000/0.8)(1 0.08)114486.56FV-364001-(1 0.07/12)12954.590.07/12PV 二、年金和增长型年金15 实例 7-15 如果你想买一辆价值250000元的车，首付10%，其余部分银行按12%的年利率给你贷款60个月，按月计息。你每
14、月需还多少钱？解析 借贷总额是0.90250000=225000 C=5005.00元，即每月需还5005元 实例 7-16 假如你今后3年的学费是每年20000元，第一笔支付从年底开始。你如果今天将一笔钱存入年利率为8%的银行账户。这笔钱是多少才能正好支付你今后3年的学费？解析 假如银行年利率仅为4%，那么你今天需要存多少钱？320000110.08=51561.940.08PV-602250001-(1.01)/0.01C-320000 1-(1.04)/0.0455501.82PV 二、年金和增长型年金16 实例 7-17 假如你的信用卡账单上的余额为2000元，月利率为2%。如果你月还
15、款的最低额为50元，你需要多长时间才能将2000元的账还清？解析 ，t=81.3个月，即大约6.78年 实例7-18 实例 7-6 中提到，一个21岁的年轻人今天投资15091元（10%的年利率），可以在65岁时（44年后）获得100万元。假如这个年轻人现在一次拿不出15091元，而是想在今后44年中每年投资一笔等额款，直到65岁。这笔等额款为多少？解析 C=1532.24（元）如果该投资人现在已经40岁“高龄”了，才想起考虑养老问题。也想在65岁时成为百万富翁。如果他的投资年收益率也为10%，从现在开始每年投资一笔等额款，直至65岁。这笔等额款为多少？解析 C=10168.07元。如果他的年
16、投资收益率为20%，等额款为2119元-200050 1-(1.02)/0.02t441000000(1.10)-1/0.10C251000000(1.10)-1/0.10C二、年金和增长型年金17l2.增长型年金 增长型年金是以某固定比率增长的年金 增长型年金现值的计算公式为：当r g时,当r=g时，实例7-19 一项养老计划为你提供40年养老金。第一年为20000元，以后每年增长3%。年底支付。如果贴现率为10%，这项计划的现值是多少？解析0123TC(1+g)C(1+g)2C(1+g)T-1C111+g11(1)1tTTttCCgPVrrgr1TCPVr40200001.031()265
17、121.570.100.031.10PV 三、永续年金和增长型永续年金18l1.永续年金 永续年金（perpetuity）是永无到期日的一组稳定现金流 永续年金现值的公式为：实例 7-20 假设某永续年金每年都产生15元现金流，年利率10%，那么它的现值是多少？解析 PV=15/0.10=150元0123CCC11ttCCPVrr三、永续年金和增长型永续年金19l2.增长型永续年金 增长型永续年金为以某固定比率增长的永续年金现金流 增长型永续年金现值的公式为：实例 7-21 某增长型永续年金明年将分红1.3元，并将以5%的速度增长下去，年贴现率为10%，那么该预期股利的现值是多少？解析 PV=
18、1.30/(0.10-0.05)=26.00元0123C(1+g)C(1+g)2C111+g(rg)(1)tttCCPVrrg三、永续年金和增长型永续年金20l2.增长型永续年金 实例 7-22 某公司当前支付的红利为1元/股，第一年和第二年的红利增长率均为20%，第三年红利增长率下降到15%，从第四年开始，红利增长率下降到6%，并一直维持这个水平。如果该股票的投资收益率为10%，那么股票当前的价格应为多少？解析 第3年底股票的价格可计算为：再将前3年的红利现金流和第3年的股票价格贴现到当前的0点：2220123411.21.21.21.151.21.15 1.06DDDDD，234/()1.
19、21.15 1.06/(0.1 0.06)PDrg22232301.2/1.1 1.2/1.11.21.15/1.11.21.15 1.06/(0.1 0.06)(1/1.1)36.5P 三、永续年金和增长型永续年金21l3.小结 永续年金 增长型永续年金 年金 年金终值系数（切记！）=增长型年金 当r g,11ttCCPVrr111+g(r )(1)tttCCPVgrrg(1)(1)()(1)TTTCrgPVrgr(1)1(1)TTCrPVrr(1)1Trr(1)(1)()TTCrgFVrg四、净现值和内部收益率22l1.净现值 等于所有的现金流，包括正的现金流和负的现金流 如果一个项目的N
20、PV为正数，说明收入现金流的现值大于支出现金流的现值，项目有正的收益，因此应当接受它 反之，如果一个项目的NPV是负数，就应该拒绝采纳它 实例 7-23 投资项目X的初始投资为1100元，投资收益率为10%，每年的收入和支出如表7-2所示，问该项目是否值得投资？解析年度收入（元）支出（元）1100050022000130032200270042600140002341500700500120010001.11.11.11.1377.020TtttCNPVr 四、净现值和内部收益率23l2.内部收益率 内部收益率（IRR），又称内部回报率，它是使NPV为0的贴现率 当投资人要求的投资收益率小于I
21、RR时，说明投资项目的NPV大于0，项目可接受 当投资人要求的投资收益率大于IRR时，说明投资项目的NPV小于0，项目应该被拒绝 因此，投资项目的IRR越大越好 使用IRR作为投资项目的决策标准具有简单直观的优点，易于被接受。但应该注意的是，在IRR的计算过程中，再投资收益率假定为IRR，而这一假定并不符合实际情况 另外，IRR的计算要解一元多次方程，有时会出现多解和无解的情况。因此，当IRR和NPV发生冲突时，投资项目的决策应该以NPV的结论为准四、净现值和内部收益率24l2.内部收益率 实例 7-24 某投资项目具有如下现金流，如果投资人对该项目的要求收益率为18%，该项目是否值得投资？解
22、析 内部回报率的计算如下：解出上式中的IRR为19.44%大于18%，因此该项目值得投资2350100150NPV02001(1)(1)IRRIRRIRR 012350元100元150元-200元四、净现值和内部收益率25l2.内部收益率 NPV变化曲线的应用。NPV的大小随投资收益率的变化而变化，投资人要求的收益率越大，NPV越小。当投资收益率等于IRR时，NPV为0贴现率（%）NPV（元）0100471.04847.321227.791611.6520-1.7424-12.8828-22.1732-29.9336-36.4340-41.86四、净现值和内部收益率26l2.内部收益率 两投资
23、项目交叉收益率是使两项目NPV相等的投资收益率。例如项目A和项目B有如图 所示的现金流，如果两项目互斥，如何进行投资选择 解析 项目A的IRR为16.04%，项目B的IRR为12.94%使两项目NPV相等，可计算得交叉收益率为10.55%。当投资人的要求投资收益率小于10.55%时，项目B好于项目A 当投资人的要求投资收益率大于10.55%时，项目A好于项目B012310000元1000元1000元-10000元A01231000元1000元12000元-10000元B五、复利期间和有效利率的计算27l1.复利期间 若一年内对某金融资产计m次复利，T年之后得到的价值是：例如，你将50元进行投资
24、，年利率为12%，每半年计息一次，那么3年后你的投资价值变为:解析l2.有效年利率（EAR）的计算 在上面的例子中，该投资的有效年利率是多少？解析 3年后能带给我们相同回报的年收益率即为有效年利率 EAR=0.1236 有效年利率的计算公式为：(1)m TrFVPVm2 3FV501 0.12/2 70.93350(1)70.93EARm EAR1r/m1五、复利期间和有效利率的计算28l3.复利期间与有效利率 同样的名义年利率，不同的复利次数，将会得出不同的有效年利率 随着复利次数的增加，同一个名义年 利率求出的有效年利率也会不断增加，但增加的速度越来越慢区间复利次数有效年利率（%）年110
25、.00000季410.38129月1210.47131周5210.50648日36510.51558时876010.51703分52560010.51709五、复利期间和有效利率的计算29l4.连续复利利率 在多期连续计复利的情况下，计算终值的一般公式为：例如，年初投入10万元，名义年利率为10%，采取连续复利计息方式，则年末可收回多少元？解析 采用连续复利计息方式时：l5.复利期间、有效利率和名义利率 名义年利率APR是设定的年利率，如果一年内的复利或贴现次数为1，名义年利率等于有效年利率，即APR=EAR。如果一年内的复利或贴现次数大于1,名义年利率则永远小于有效年利率，即APREARrT
26、eFVPV0.1 110 e11.05FV六、货币的时间价值在个人金融理财中的应用30 实例 7-25 恭喜你中了一个足球彩票的头彩金额为2000万元。可是彩票公司将会把2000万元按每年50万给你，从明年初开始支付，40年付完。如果你的年收益率为12%，你实际获奖金融为多少?解析 实例 7-26 加拿大按揭的特点：加拿大的银行公布的按揭利率为年利率，但却为半年复利计息，而还款计划往往按月支付。假如你从加拿大道明银行按揭了100000加元，25年期，年利率为7.4%，半年复利计息。你的月供款（月底）为多少？解析 先将名义年利率转换为有效年利率：再将有效年利率转换成月有效利率：月供款额为下列年金现值等式中C的解：40500000 1 1/(1.12)/0.124121888.34PV 20.074(1)17.5369%2EAR 112(1 0.075369)10.607369%30011000001,725.280.00607369(1 0.00607369)CC
