1、 向量的数乘运算 及其几何意义1.1.向量加法三角形法则向量加法三角形法则:aAbBCba aaAbBbOCba 特点特点:首尾相接，首尾连首尾相接，首尾连特点特点:共起点共起点b a b Ba ABAab O特点：特点：共起点，连终点，方向指向被减数共起点，连终点，方向指向被减数2.2.向量加法平行四边形法则向量加法平行四边形法则:3.3.向量减法三角形法则向量减法三角形法则:实际背景表示，试画出该向量。用秒的位移对应的向量那么在同方向上向量，一秒钟的位移对应一物体作匀速直线运动aa33,aa3讲授新课讲授新课思考题思考题1:已知向量已知向量 如何作出如何作出 和和 a,aaa(a)(a)(
2、a)?a OAa Ba Ca NMQPa a a OC OA AB BC a a a 记记:aaa3a即即:OC3a.同理可得同理可得:PN(a)(a)(a)3a 思考题思考题2:向量向量 与向量与向量 有什么关系有什么关系?向量向量 与向量与向量 有什么关系有什么关系?3a a a 3a (1)向量向量 的方向与的方向与 的方向相同的方向相同,向量向量 的长度是的长度是 的的3倍倍,即即3a a a 3a 3a3 a.(2)向量向量 的方向与的方向与 的方向相反的方向相反,向量向量 的长度是的长度是 的的3倍倍,即即3a a 3a a 3a3 a.,aa 实实数数 与与向向量量 的的积积是是
3、一一个个确确定定的的向向量量，记记为为1;aa 其其方方向向和和长长度度规规定定如如下下：（）20,0,00.aaaaa （）当当与与 的的方方向向相相同同；当当的的方方向向与与 的的方方向向相相反反；当当，数乘向量的数乘向量的几何意义几何意义就是把向量就是把向量 沿沿 的方向或反的方向或反方向放大或缩短方向放大或缩短.若若 ,当当 沿沿 的的方方向向放大放大了了 倍倍.当当 沿沿 的的方向方向缩短缩短了了 倍倍.当当 ,沿沿 的的反方向反方向放大放大了了 倍倍.当当 沿沿 的的反方向反方向缩短缩短了了 倍倍.由其几何意义可以看出由其几何意义可以看出用数乘向量能解决几何中的用数乘向量能解决几何
4、中的相似相似问题问题.0a 时，1时，10时1a时，01aaaaa abaaba32)2(;5.21,1）（作出如下向量：已知向量例ab解：（解：（1）a5.2a2b3（2）a)2(3a)2(3aa6=abbaba22 a2b2baba22)(2)();()1(2)(3);().aaaaaabab ，是是 实实 数数，）（aaabab 特别地:（）向量的加、减、数乘运算统称为向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算向量的线性运算例例2：计算下列各式：计算下列各式a4)3)(1(ababa)(2)(3)2(a12b5)23()32)(3(cbacbacba25)()()(4(2121bcttb
5、cttctbt2122.0)(4)2(2)(3)2();243(3)36221xbaxaxaxcbacba求已知（）（练习：计算：cbacba612961241）原式解：（a1304444233 2baxaxax）（bax43 043bax1.把下列各小题中得向量把下列各小题中得向量b表示为实数与向表示为实数与向量量a得积得积.(1)3,6(2)8,1412(3),3333(4),43aebeaebeaebeaebe 2ba 74ba 2ba 2ba 练习：练习：2.判断下列各小题中的向量判断下列各小题中的向量a与与b是否共线是否共线.12121212(1)2,2(2),22(3),2ae b
6、eaee beeaee bee 练习：练习：例例3.设设AB=2(a+5b)，BC=2a+8b，CD=3(a b)，求证：求证：A、B、D 三点共线。三点共线。分析分析要证要证A、B、D三点共线，可证三点共线，可证 AB=BD关键是找到解：解：BD=BC+CD=2a+8b+3(a b)=a+5bAB=2 BD A、B、D 三点共线三点共线AB BD且且AB与与BD有公共点有公共点B 向量向量 与与非零向量非零向量 共线共线 有且仅有一个实数有且仅有一个实数 ，使得，使得 b a ba 例例4.如图：已知如图：已知 ，试判断试判断 与与 是否共线是否共线 ABAD 3BCDE3 ACAEBCAB
7、 33 BCAB 3AC 3 与与 共线共线 AEACDEADAE 解：解：A AD DE EC CB B 向量向量 与与非零向量非零向量 共线共线 有且仅有一个实数有且仅有一个实数 ，使得，使得 b a ba OABCabbb 练练 习习 如如 图图，已已 知知 任任 意意 两两 个个 非非 零零 向向 量量 a a、b b，试试 作作 O OA A=a a+b b，O OB B=a a+2 2b b，O OC C=a a+3 3 b b，你你 能能 判判 断断 A A、B B、C C三三 点点 之之 间间 的的 位位 置置 关关 系系 吗吗？为为 什什 么么？31A AD DB BC CM
8、 MN N613121例例 6 6.设设 两两 个个 非非 零零 向向 量量 a a、b b 不不 共共 线线，试试 确确 定定 实实 数数 k k,使使 得得 k ka a+b b 与与 a a+2 2k k 共共 线线。共共 线线 时时 同同 向向 还还 是是 反反 向向？解解：设设 k ka a+b b =（a a+2 2k k）k k=1 1 则则 k k=1 1=2 22 21 1 当当 k k=时时，k ka a+b b 与与 a a+2 2k k 共共 线线 同同 向向。2 2练习练习例例7 7:若若其中其中 ,是是已知向量已知向量,求求 ，分析分析:此题可把已知条件看作向量的方
9、程此题可把已知条件看作向量的方程,通过通过解方程组获得解方程组获得aanm23bnm3bam112113解：记解：记 ，bnm3933 3得得 ,113111ban-得得anm23bnm3bmn例例8.8.在在 中中,设设D D为边的中点为边的中点,求证求证:ABC)(21)1(ACABAD解：解：因为因为BDABADBCAB21)(21ABACAB)(21BCAB E E过点过点B B作作BE,BE,使使ACBE 连接连接CECE则四边形则四边形ABECABEC是平行四边形是平行四边形,D,D是是BCBC中点，则中点，则D D也是也是AEAE中点中点.由向量加法平行四边形法则有由向量加法平行
10、四边形法则有ADAEACAB2)(21ACABAD解解2:2:例例8.8.在在 中中,设设D D为边的中点为边的中点,求证求证:ABC)(21)1(ACABAD例例8.8.在在 中中,设设D D为边的中点为边的中点,求证求证:ABCADCABCAB223)2(解：解：（）（）CABCABAB22原式左边CAACAB2右边ADACAB2所以，所证等式成立所以，所证等式成立练习练习:如图，在如图，在 中中,延长延长BABA到到C,C,使使AC=BA,AC=BA,在在OBOB上取上取点点D,D,使使BD=OB.DCBD=OB.DC与与OAOA交于交于E,E,设设 请用请用 .OAB31，bOBaOA
11、DCOCba，表示向量，E EC CO OD DB BA A 分析分析:解题的关键是建立解题的关键是建立 的联系，为此需要利用向量的加、减法数乘运算。的联系，为此需要利用向量的加、减法数乘运算。baODOC，与,解：解：因为因为A A是是BCBC的中点，所以的中点，所以 .22),(21baOBOAOCOCOBOA即babbaOBOCODOCDC35232232ab基础知识反馈基础知识反馈aaC.C.的方向相反与aaA.A.的方向相同与aa2B.B.(2).(2).设设 是非零向量是非零向量,是非零实数是非零实数,下列结论正确的下列结论正确的是是().().aaD.D.a(1).(1).下列四
12、个说法正确的个数有下列四个说法正确的个数有().().B.2B.2个个A.1A.1个个C.3C.3个个D.4D.4个个;bmambambam）（，恒有、和向量对于实数;),(baRmbmam则有若;,0),(nmaRnmanam则有、若;)(anamanmanm，恒有和向量、对于实数B BC C,31bACaABBCBDBCABCD，设边上一点，且中是等于则AD（C）)(31.baA)(31.abB)2(31.baC)2(31.abDNCANbADaAB3,分析分析:由 所以 在平行四边形ABCD中,M为BC的中点,则 等于 MN,21,334,3baAMbaACANNCAN）（得bababa
13、MN4141)21()(43ba4141(1)(1)(2)(2)ABCD向量与平面几何向量与平面几何ABDCABDC四边形四边形ABCD是菱形是菱形四边形四边形ABCD是矩形是矩形对于任意一个三角形，对于任意一个三角形，三角形的三条高的交点叫做三角形的三条高的交点叫做垂心垂心，三角形的三条中线的交点所为三角形的三条中线的交点所为重心重心，三角形的三条角平分线的交点叫三角形的三条角平分线的交点叫内心内心，三角形的三条中垂线的交点叫三角形的三条中垂线的交点叫外心外心 向量与三角形的向量与三角形的“心心”：ABCOABCDMABCOM外心外心重心重心重心重心)(|()4(RACACABAB通过三角形
14、通过三角形ABC的的_内心内心例例1O 是平面上一点，是平面上一点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，是平面上不共线的三个点，ACACABABOAOP 动点动点 P 满足满足，0，）,则则 P 的轨迹一定通过的轨迹一定通过 ABC 的的()A外心外心 B内心内心C重心重心 D垂心垂心例例2.0 xyBCACBD(P)解：解：设设 为为 上的单位向量，上的单位向量，ABABAB AB ACACAC为为 上的单位向量上的单位向量 AC则则 的方向为的方向为BAC的角平分线的角平分线AD的方向的方向 ACACABAB（如图）（如图）又又0，）ACACABAB 的方向与的方向与 的方向相同的方向相同 ACACABAB而而 ACACABABOAOP，点点 P 在在 上移动上移动 AD因此点因此点 P 一定通过一定通过 ABC 的内心的内心 选（选（B）
