1、二次函数y=ax2的图象和性质函数函数:在一个变化过程中在一个变化过程中,如果有两个变量如果有两个变量x x与与y,y,并且对并且对于于x x的每一个确定的值的每一个确定的值,y,y都有唯一确定的值与其对应都有唯一确定的值与其对应,那么就说那么就说x x是自变量是自变量,y,y是是x x的函数的函数.一般地一般地,形如形如的函数的函数,叫做二次函数叫做二次函数.其中其中,是是x x自变量自变量,a,b,c,a,b,c分分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项和常数项.y=axy=ax2 2+bx+c (a+bx+c (a、b b、c c为常数为常数
2、,a0),a0)二次函数二次函数:一次函数的图像是一条直线一次函数的图像是一条直线,反比例函数的图反比例函数的图像是双曲线像是双曲线,二次函数的图像是什么形状呢二次函数的图像是什么形状呢?通常怎样通常怎样画一个函数的图像画一个函数的图像?x x-3-3-2 -2 -1-10 01 1 2 23 3y y画函数画函数y=xy=x2 2的图像的图像解解:(1):(1)列表列表9 94 41 10 01 14 49 9(2)(2)描点描点(3)(3)连线连线1 2 3 4 5x12345678910yo-1-2-3-4-5 根据表中根据表中x,yx,y的数的数值在坐标平面中描点值在坐标平面中描点(x
3、,y),(x,y),再用平滑曲线顺再用平滑曲线顺次连接各点次连接各点,就得到就得到y=xy=x2 2的图像的图像.还记得如何用还记得如何用描点法画一个函数描点法画一个函数的图像吗的图像吗?y=xy=x2 2x x-3-3-2 -2 -1-10 01 1 2 23 3y y请画函数请画函数y=y=x x2 2的图像的图像解解:(1):(1)列表列表-9-9-4-4-1-10 0-1-1-4-4-9-9(2)(2)描点描点(3)(3)连线连线 根据表中根据表中x,yx,y的数的数值在坐标平面中描点值在坐标平面中描点(x,y),(x,y),再用平滑曲线顺再用平滑曲线顺次连接各点次连接各点,就得到就得
4、到y=xy=x2 2的图像的图像.1 2 3 4 5x-1-2-3-4-5-6-7-8-91yo-1-2-3-4-5-10y=y=x x2 2xyoxyo 从图像可以看出从图像可以看出,二次函数二次函数y=xy=x2 2和和y=y=x x2 2的图像的图像都是一条曲线都是一条曲线,它的形状类似于投篮球或投掷铅球时球它的形状类似于投篮球或投掷铅球时球在空中所经过的路线在空中所经过的路线.这样的曲线叫做这样的曲线叫做抛物线抛物线.y=xy=x2 2的图像叫做抛物线的图像叫做抛物线y=xy=x2 2.y=y=x x2 2的图像叫做抛物线的图像叫做抛物线y=y=x x2 2.实际上实际上,二次函数的图
5、像二次函数的图像都是都是抛物线抛物线.它们的它们的开口向上开口向上或者或者向下向下.一般地一般地,二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c +bx+c 的图像叫做抛物线的图像叫做抛物线y=axy=ax2 2+bx+c.+bx+c.还可以看出还可以看出,二次函数二次函数y=xy=x2 2和和y=y=x x2 2的图的图像都是像都是轴对称图形轴对称图形,y y轴是它们的对称轴轴是它们的对称轴.抛物线抛物线与与对称轴对称轴的的交点交点叫做抛物线的叫做抛物线的顶点顶点.抛物线抛物线y=xy=x2 2的的顶点顶点(0,0)(0,0)是它的是它的最低点最低点.抛物线抛物线y=y=x x2 2的的顶
6、点顶点(0,0)(0,0)是它的是它的最高点最高点.y=xy=x2 2y=y=x x2 2x x-4-4-3-3-2 -2 -1-10 01 1 2 23 34 4y=xy=x2 2例例1.1.在同一直角坐标系中画出函数在同一直角坐标系中画出函数y=xy=x2 2和和y=2xy=2x2 2的图像的图像解解:(1):(1)列表列表(2)(2)描点描点(3)(3)连线连线1 2 3 4 5x12345678910yo-1-2-3-4-51 12 2x x-2-2-1.5-1.5-1 -1 -0.5-0.50 00.50.51 11.51.52 2y=2xy=2x2 28 82 2 0.50.5 0
7、 00.50.5 2 24.54.58 84.54.58 82 20.50.50 00.50.52 24.54.58 84.54.51 12 2 函数函数y=xy=x2 2,y=2x,y=2x2 2的的图像与函数图像与函数y=xy=x2 2(图中虚线图中虚线图形图形)的图像相比的图像相比,有什么共有什么共同点和不同点同点和不同点?1 12 2共同点共同点:不同点不同点:开口向上开口向上;除顶点外除顶点外,图像都在图像都在x x轴上方轴上方开口大小不同开口大小不同;1 2 3 4 5x-1-2-3-4-5-6-7-8-91yo-1-2-3-4-5-10 x x-4-4-3-3-2 -2 -1-1
8、0 01 1 2 23 34 4在同一直角坐标系中画出函数在同一直角坐标系中画出函数y=y=x x2 2和和y=y=2x2x2 2的图像的图像解解:(1):(1)列表列表(2)(2)描点描点(3)(3)连线连线1 12 2x x-2-2-1.5-1.5-1 -1 -0.5-0.50 00.50.51 11.51.52 2y=y=2x2x2 2-8-8-2-2-0.5-0.5 0 0-0.5-0.5-2-2-4.5-4.5-8-8-4.5-4.5-8-8-2-2-0.5-0.50 0-0.5-0.5-2-2-4.5-4.5-8-8-4.5-4.5 函数函数y=y=x x2 2,y=,y=2x2x
9、2 2的的图像与函数图像与函数y=y=x x2 2(图中虚线图图中虚线图形形)的图像相比的图像相比,有什么共同点和有什么共同点和不同点不同点?1 12 2共同点共同点:不同点不同点:开口向下开口向下;除顶点外除顶点外,图像都在图像都在x x轴下方轴下方开口大小不同开口大小不同;1 12 2y=-x212345 x-1-2-3-4-5-6-7-8-91yo-1-2-3-4-5-1012345 x12345678910yo-1-2-3-4-5一般地一般地,抛物线抛物线y=axy=ax2 2的对称轴是的对称轴是y y轴轴,顶点是原点顶点是原点.当当a0a0时时,抛物线的抛物线的开口向上开口向上,顶点
10、是抛物线顶点是抛物线的最低点的最低点,a a越大越大,抛抛物线的开口越小物线的开口越小;当当a0a0 a0 a0 a0 m+10 mm2 2+m=2 +m=2 解得解得:m:m1 1=2,m2,m2 2=1=1 由得由得:m:m1 1 m=1 m=1 此时此时,二次函数为二次函数为:y=2x:y=2x2 2,1.1.二次函数的图像都是二次函数的图像都是抛物线抛物线.2.2.抛物线抛物线y=axy=ax2 2的图像性质的图像性质:(2)(2)当当a0a0时时,抛物线的开口向上抛物线的开口向上,顶点是顶点是抛物线的最低点抛物线的最低点;当当a0a0 a0 a0 a0 a0 a0 x0时呢时呢?当当
11、x0 x0 x0时，时，y y随着随着x x的增大而增大。的增大而增大。2022年11月29日星期二17x x-4-4-3-3-2 -2 -1-10 01 12 2 3 34 4y=xy=x2 2例例1.1.在同一直角坐标系中画出函数在同一直角坐标系中画出函数y=x2 2和和y=2 2x2 2的图象的图象解解(1)(1)列表列表(2)(2)描描点点(3)(3)连线连线1 2 3 4 5x12345678910yo-1-2-3-4-51 12 28 82 20.50.50 00.50.52 24.54.58 84.54.51 12 22yx212yx22yxxy=2xy=2x2 28-2-1.5
12、-1-0.500.511.524.520.500.524.582022年11月29日星期二181 2 3 4 5x12345678910yo-1-2-3-4-5 函数函数y=x2 2,y=2=2x2 2的图的图象象与函数与函数y=x2 2(图中虚线图形图中虚线图形)的图的图象象相比相比,有什么共同点有什么共同点和不同点和不同点?1 12 2共同点共同点:不同点不同点:开口都向上开口都向上;顶点是原点而且是抛物线顶点是原点而且是抛物线的最低点，对称轴是的最低点，对称轴是 y y 轴轴开口大小不同开口大小不同;2yx212yx22yxa(a0)越大，越大，在对称轴的左侧，在对称轴的左侧，y y随着
13、随着x x的的增大增大而而减小。减小。在对称轴的右侧，在对称轴的右侧，y y随着随着x x的的增大增大而而增大增大。抛物线的开口越小抛物线的开口越小。2022年11月29日星期二19y=ax2(a0)图像的特点图像的特点函数的性质函数的性质xyO向向x x轴左右方向无限轴左右方向无限延伸延伸是轴对称图形，对是轴对称图形，对称轴是称轴是y y轴轴在在y y轴的左侧是下降的，轴的左侧是下降的，在右侧是上升的在右侧是上升的当当x0 x0)的形状是由的形状是由a来确定的来确定的,一般说来一般说来,a越越大大,当当x0 x0时，时，y y随着随着x x的增大而增大。的增大而增大。抛物线的开口就越抛物线的
14、开口就越小小.a越越小小,抛物线的开口就越抛物线的开口就越大大.顶点就是原点（顶点就是原点（0,00,0），顶），顶点是图像的最低点。开口点是图像的最低点。开口向上。图像向上无限延伸向上。图像向上无限延伸自变量自变量x x的取值范的取值范围是全体实数围是全体实数对于对于x x和和-x-x可得到相可得到相同的同的y y值值2022年11月29日星期二20探究探究 画出函数画出函数 的图象的图象2222,21,xyxyxy2022年11月29日星期二21x1y解解:(1):(1)列表列表(2)(2)描点描点(3)(3)连线连线x x-2-2-1.5-1.5-1 -1 -0.5-0.50 00.50
15、.51 11.51.52 2y=y=x x2 2y=y=x x2 2y=y=2x2x2 21 12 2-2.25-0.25-0.25-2.25-2-2-.-.-.-.-.-.-.-.-4.5-4.5-1-2-30123-1-2-3-4-52xy221xy 22xy 2022年11月29日星期二22x1y-1-2-30123-1-2-3-4-5 函数函数y=-x2 2,y=-2 2x2 2的图象与函数的图象与函数y=-x2 2(图中蓝线图形图中蓝线图形)的图象相比的图象相比,有什么共同点和不同点有什么共同点和不同点?1 12 2共同点共同点:开口都向下开口都向下;不同点不同点:顶点是原点而且是抛
16、物线顶点是原点而且是抛物线的最高点，对称轴是的最高点，对称轴是 y y 轴轴开口大小不同开口大小不同;|a|a|越大，越大，221xy 2xy22xy 在对称轴的左侧，在对称轴的左侧，y y随着随着x x的的增大增大而而增大增大。在对称轴的右侧，在对称轴的右侧，y y随着随着x x的的增大增大而减小而减小。抛物线的开口越小抛物线的开口越小2022年11月29日星期二23对比抛物线，对比抛物线，y=x2和和y=x2.它它们关于们关于x轴对称吗？轴对称吗？一般地，抛物线一般地，抛物线y=ax2和和y=ax2呢？呢？在同一坐标系内在同一坐标系内,抛物线抛物线 与与抛物线抛物线 是关于是关于x轴对称的
17、轴对称的.2axy 2axy 2xy2xy2022年11月29日星期二2422xy232xy1 1、根据左边已画好的函数图象填空、根据左边已画好的函数图象填空：（1）抛物线）抛物线y=2x2的顶点坐标是的顶点坐标是 ,对称轴是对称轴是 ，在，在 侧，侧，y随着随着x的增大而增大；在的增大而增大；在 侧，侧，y随着随着x的增大而减小，当的增大而减小，当x=时，时，函数函数y的值最小，最小值是的值最小，最小值是 ,抛物抛物线线y=2x2在在x轴的轴的 方（除顶点外）。方（除顶点外）。（2）抛物线）抛物线 在在x轴的轴的 方（除顶点外），在对称轴的方（除顶点外），在对称轴的左侧，左侧，y随着随着x的
18、的 ；在对称轴的右侧，；在对称轴的右侧，y随着随着x的的 ，当，当x=0时，函数时，函数y的值最大，最大值是的值最大，最大值是 ，当当x 0时，时，y0a0图图象象开口方向开口方向顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴增增减减性性极值极值xyOyxO向上向上向下向下(0,0)(0,0)y轴y轴当当x0时，时，y随着随着x的增大而减小。的增大而减小。当当x0 x0时，时，y y随着随着x x的增大而的增大而增大增大。当当x0时，时，y随着随着x的增大而减小。的增大而减小。抛物线的开口就越小抛物线的开口就越小.|a|越小越小,抛物线的开口就越大抛物线的开口就越大.2022年11月29日星期二26 1、已知二
19、次函数、已知二次函数 的图象经的图象经过点过点(-2，-3)。(1)求求a的值，并写出函数解析式；的值，并写出函数解析式；(2)说出函数图象的顶点坐标、对称轴、说出函数图象的顶点坐标、对称轴、开口方向和图象的位置；开口方向和图象的位置；2axy 巩固练习巩固练习2022年11月29日星期二27巩固练习巩固练习2、若抛物线、若抛物线 的开口的开口向下，求向下，求n的值。的值。nnxny2)1(2022年11月29日星期二28巩固练习巩固练习3、若抛物线、若抛物线 上点上点P的坐标为的坐标为(2，a)，则抛物线上与，则抛物线上与P点对称的点点对称的点P的坐标为的坐标为 。26xy2022年11月29日星期二29巩固提高巩固提高4、若、若m0，点，点(m+1，y1)、(m+2，y2)、241xy y1、y2、y3的大小关系是的大小关系是 。(m+3，y3)在抛物线在抛物线 上，则上，则课后作业：课后作业：
