1、点集拓扑学教案点集拓扑学教案为聊城大学数学科学学院数学与应用数学专业三年级本科生开设点集拓扑课程。 按熊金城点集拓扑讲义(第三版, 北京: 高等教育出版社, 2003)第一至七章编写的教案。本科生授课 64学时，教学内容与进度安排如下：章节本科生授课主要内容课时数备注拓扑学的起源1一朴素集合论21.1集合、映射与关系11.2无限集1二拓扑空间与连续映射21习题课时 22.1度量空间与连续映射3不讲附录2.2拓扑空间与连续映射32.3邻域与邻域系2不讲定理 2.3.32.4导集、闭集、闭包内部、边界3不讲例 2.4.4, 定理 2.4.82.5内部、边界22.6基与子基2部分证明定理2.6.3，
2、临域基及相关内容在5.1中介绍2.7拓扑空间中的序列2三子空间、有限积空间、商空间6习题课时13.1子空间23.2积空间23.3商空间1例3.3.3起不讲四连通性8习题课时14.1连通空间24.2连通性的某些简单应用14.3连通分支14.4局部连通空间24.5道路连通空间1道路连通分支不讲五有关可数性的公理6习题课时15.1第一与第二可数性公理25.2可分空间1.5定理 5.2.1 不讲5.3Lindeloff空间1.5六分离性公理8习题课时1.56.1、Hausdorff 空间26.2正则、正规、 空间1.5例 6.2.2 讲部分6.3Urysohn 引理和 Tietze 扩张定理1不讲定理
3、 6.3.1, 6.3.4 的证明6.4完全正则空间, Tychonoff 空间16.5分离性公理与子空间、积空间和商空间16.6可度量化空间1定理 6.6.1 讲部分七紧致性10习题课时17.1紧致性3定理 7.1.6 讲部分7.2紧致性与分离性公理1引理 7.3.2 用分析中的结论7.3n 维欧氏空间 中的紧致子集0.57.4几种紧致性以及其间的关系1.57.5度量空间中的紧致性17.6局部紧致空间, 仿紧致空间1定理 7.6.8 不讲第一章 朴素集合论点集拓扑学(Point-set Topology)现称一般拓扑学(General Topology), 它的起源与出发点都是 集合论. 作
4、为基本的点集拓扑学知识, 所需的只是一些朴素集合论的预备知识. 本章介绍本书中 要用到的一些集合论内容, 主要涉及集合及集族的运算、等价关系、映射、可数集、选择公理等. 作为一教材, 讲义对各部分内容均有较系统的论述 , 作为授课, 我们只强调一些基本内容, 而对 已有过了解的知识不提或少提. 记号: Z, Z+, R, Q 分别表示整数集, 正整数集, 实数集和有理数集. 教学重点：集合的基本概念、运算，映射的概念；教学难点：选择公理一. 集合的运算 幂集 P, 交 、并、差(补, 余). 运算律: De Morgan 律: (1) . (2) A-(B C)=(A-B)(A-C) 利用集合
5、的包含关系证明(1). 类似可定义任意有限个集的交或并, 如记 Ai. 规定 0 个集之并是, 不用 0 个集之交. 二. 关系 R 是集合 的一个关系, 即记为 , 称 x 与 y 是 R 相关的. R 称为自反的, 若, xRx; R 称为对称的, 若 xRy, 则 yRx; R 称为传递的, 若 xRy, yRz, 则 xRz. 等价关系: 自反、对称、传递的关系. 如, (X)=(x, x )|xX, 恒同关系, 它是等价关系; ，小于关系, 它是传递 的, 但不是对称的、不是自反的. 设 R 是 X 上等价关系, , x 的 R 等价类或等价类或x为, 的元称为 的代表元; 商集 .
6、定理 1.4.1 设 R 是非空集合 X 的等价关系, 则 (1) ; (2)，或者xR =yR , 或者 证(2). 设, 则, 于是且, 于是. 三. 映射 函数：.像：；原像：满射、单射、一一映射(双射)、可逆映射、常值映射、恒同映射、限制、扩张、内射 集合, 笛卡儿积到第个坐标集的投射 定义为, 其中. 对等价关系集合到商集的自然投射定义为 . 四. 集族 数列, 有标集族, 指标集 , 与不同, 可记有标集族 A; 类似地, 定义其并 (或A)、交 (或 A), 不定义 0 个集的交. 与有限集族有相同的运 算律, 如 De Morgan 律 ,映射对应的集族性质: , 五. 无限集
7、 通过一一映射来确定两集合的个数的多少. 有限集(或与某1, 2, , n有一一映射), 无限集, 可数集(或存在到 Z+的单射),不可数集.易验证: 有限集是可数集, 可数集的子集是可数集, 可数集的映像是可数集. 定理 1.7.3是可数集是 Z+的映像. 由此, Q 是可数集, 两可数集的笛卡儿积集是可数集, 可数个可数集之并集是可数集. 定理 1.7.8 R 是不可数集. 利用 Cantor 对角线法证明开区间(0, 1)中的实数不可数 . 直观上, 集合 A中元素的个数称为该集合的基数, 记为card A, 或|A|. |Z+|=, |R|=. 若存在 从集合 A 到集合 B 的单射,
8、 则定义|A| |B|. 连续统假设: 不存在基数, 使得. 选择公理: 若 A 是由非空集构成的集族, 则A, 可取定. 由选择公理可证明, 若是基数, 则下述三式中有且仅有一成立: 第二章 拓扑空间与连续映射本章是点集拓扑学基础中之基础, 从度量空间及其连续映射导入一般拓扑学中最基本的两 个概念: 拓扑空间、连续映射, 分析了拓扑空间中的开集、邻域、聚点、闭集、闭包、内部、边 界、基与子基的性质，各几种不同的角度生成拓扑空间，及刻画拓扑空间上的连续性. 教学重点：拓扑空间与连续映射,邻域与邻域系；教学难点：基与子基；可度量化空间2.1 度量空间与连续映射在 R 上, |x-y|表示点 x
9、与 y 之间的距离. 绝对值是一非负函数, 具有三条重要性质. 定义 2.1.1 设 X 是一集合 , r. 如果r满足正定性、对称性和三角不等式, 则称是 的一个度量.称为度量空间, 表示两点 x, y 之间的距离. 例 2.1.1 实数空间 R. r(x,y)=|x -y|, R 的通常度量. 例 2.1.2 n 维欧氏空间 . 对于, 记 定义为 Rn 的通常度量, n 维欧氏空间. R2 称为欧氏平面或平面.例 2.1.3 Hilbert 空间 H. , 易证为度量 则度量空间 称为 Hilbert 空间. 例 2.1.4 离散度量空间. 度量空间称为离散的, 若, 使得不存在中的点,
10、 满足r如对集合, 按如下方式定义 是上的离散度量: 定义2.1.2 设是度量空间称为以x为心,为半径的球形邻域或邻域, 或球形邻域. 对(R, |.|), .定理 2.1.1 度量空间的球形邻域具有性质: (1) (2) ；(3) 若 使 ；证 (2)； (3) 定义 2.1.3的子集称为的开集, 若. 每一球形邻域是开集. 例 2.1.5 R 中的开区间是开集. 让 则 同样可证, 无限开区也是开集. 闭区间a, b 不是开集. 定理 2.1.2 度量空间的开集具有以下性质: (1)是开集; (2)两开集的交是开集; (3)任意开集族之并是开集. 证 (1)由定理 2.1.1(1); (2
11、), (3)由定理 2.1.1(2). 定义 2.1.4 设是度量空间, 称为 的邻域, 若$有开集, 使. 定理 2.1.3是 中点 的邻域$存在0, 使 B(x, ) U. 定义 2.1.5 设是两度量空间., , 称在连续, 若的球形邻域 存在 的球形邻域 B(x0, ), 使称在连续, 若在的每一点连续.定理 2.1.4 设是两度量空间. , , 那么 (1)在连续若是的邻域, 则是的邻域; (2) 在连续若 是的开集, 则是 的开集. 证 (1)利用定义 2.1.5, 2.1.4. (2)“”f -1 (U)是每一点的邻域.“”证每一点连续, 利用(1). 由此可见, 度量空间的连续
12、只与邻域或开集有关. 它导入建立比度量空间更一般的拓扑空间 的概念及其连续性. 2.2 拓扑空间与连续映射定义 2.2.1 设 是集合 X 的子集族, 若 满足: 称是X的一个拓扑是拓扑空间, 的元称为的开集. 空间 X 的拓扑是 X 的全体开集的族. 定义 2.2.2度量空间.由 X 的所有开集构成的族 . (X, )称为由度量诱导出的拓扑空间. 简称为度量拓扑. 度量空间一定是拓扑空间. 例 2.2.1 平庸拓扑平庸空间. 例 2.2.2 离散拓扑. 离散空间. X 的每一子集是开集. 由离散度量空间导出的拓扑是 离散拓扑. 例 2.2.4 有限补拓扑.验证 是 X 上的拓扑. (1)显然
13、 . (2)， 讨论 AB 时分两种情形, 一是 A, B 中有一是, 二是 A, B都不是；（3）,不妨设 利用 De Morgan 律.有限补空间. 例 2.2.5 可数补拓扑定义 2.2.3 可度量化空间.离散空间是可度量化空间. 多于一点的平庸空间不是可度量化空间. 度量化问题是点集拓扑学研究的中心问题之一. 本书将在6.6中给出该问题的一个经典的解 . 定义 2.2.4 是两拓扑空间. 称连续, 若 Y 中每一开集 U 的原象 f-1(U)是 X 中的开集. 定理 2.2.1 恒同映射连续. 连续函数的复合是连续的. 定义 2.2.5 称为同胚或同胚映射, 若f是一一映射且f及 均连
14、续. 定义 2.2.6 称两空间 X 与 Y 同胚, 或 X 同胚于 Y, 若存在从 X 到 Y 的同胚. 定理 2.2.2(2.2.3) 恒同映射同胚(X 与 X 同胚); f 同胚 同胚 (若 X 与 Y 同胚, 则 Y 与 X 同 胚); 同胚的复合是同胚(若 X 与 Y 同胚, 且 Y 与 Z 同胚, 则 X 与 Z 同胚). 空间的同胚关系是等价关系. 拓扑学的中心任务 : 研究拓扑不变性质. 抽象化过程: 欧氏空间 度量空间 拓扑空间; 点距离 度量 开集. 2.3 邻域定义 2.3.1 设是拓扑空间. 称为 x 的邻域, 如果存在使; 若 U 是开的, U 称为 x 的开邻域.
15、定理 2.3.1 设是 X 的开集U 是它的每一点的邻域 . 证 由定义得“”; 利用开集之并为开得“”. x 在 X 的所有邻域构成的族称为 x 的邻域系, 记为 Ux. 定理 2.3.2 Ux 的性质: (1) XUx; UUx, xU; (2) U, VUxU VUx;(3) UUx 且 UVVUx ; (4) UUx $VUx 使 VU 且 , VUy. 证 由定义 2.3.1 得(1); 由开集的交是开集得 (2); 由定义 2.3.1 得(3); 取为满足的开集. 由邻域系出发可建立拓扑空间的理论, 显得自然 , 但不流行. 利用邻域与开集的关系 (定理2.3.1)导出开集, 从
16、Ux 具有定理 2.3.2 的性质的(1)-(4)出发, 定义Ux, 则是拓扑空间, 且这空间中每一点 x 的邻域系恰是 Ux. 详见定理 2.3.3. 定义 2.3.2(点连续) 映射称为在点 xX 连续, 如果 U 是 f(x)在 Y 中的邻域, 则 f-1(U)是 x 在 X 中的邻域. 定理 2.1.4 保证了在度量空间中点的连续性与由度量导出的拓扑空间中的点的连续性的一致 . 另一方面 , 关于点的连续性 , 易验证(定理 2.3.4), 恒等映射在每一点连续, 两点连续的函数之复 合仍是点连续的. 定义 2.2.4 与定义 2.3.2 所定义的“整体”连续与每一“点”连续是一致的.
17、 定理 2.3.5 设 则 f 连续f 在每一 xX 连续. 证 “”若 U 是 f(x)的邻域, $开集 V 使, x “”若 U 是 Y 的开集, , U 是 f(x)的邻域, f-1 (U)是 x 的邻域, 所以 f-1 (U)在 X 中开. 2.4 导集、闭集 、闭包定义 2.4.1 设称为 A 的聚点(凝聚点, 极限点), 如果 x 的每一邻域 U中有 A 中异于 x 的点, 即 U (A-x). A 的全体聚点之集称为 A 的导集, 记为 d(A). x 称为 A 的孤立点, 若 x 不 是 A 的聚点, 即存在 x 的邻域 U 使 U (A-x)=, 即 U Ax. 例 2.4.
18、1 X 是离散空间. 若, 则.取 U=x, 则 U Ax, 所以. 例 2.4.2 X 是平庸空间, 若 A=, 则; 若|A|=1, 则 d(A)=X-A; 若|A|1, 则. 对于, 若 U 是 x 的邻域, 则 U=X, 于是 U(A-x)由此, 易计算 d(A). 定理 2.4.1, 则 (1); (2); (3) ; (4) 证 由定义 2.4.1 得(1)和(2). 关于(3). 由(2)得. 设, 分别存在的邻域 使得, 令, 则. 关于(4). 设, 存在的邻域, 使得取的开邻域, 则.定义 2.4.2 称为 X 的闭集 , 如果 . 定理 2.4.2 A 闭开 . 证 “”
19、 ,由于, 存在x的邻域U使, 于是.“”所以 例 2.4.3 R 的闭区间是闭集. 开集.不是闭集, 因为是聚点.定理 2.4.3 记 F是空间的全部闭集族, 则(1) F;(2) FF; (3) F对任意交封闭. 证 利用 De Morgan 定律及拓扑的定义. F 直接验证可得(1)、(2)、(3)Cantor 集(例 2.4.4)是集合论、点集拓扑或实变函数论中是具有特别意义的例子 , 它说明 R 中 的闭集可以是很复杂的, 在此不介绍. 定义 2.4.3 A d(A)称为 A 的闭包, 记为. 定理 2.4.5 对, 有 (1) ; (2) -; (3) -;(4) -.证 (3)
20、. (4) -. 上述 4 条确定了闭包运算, 称为 Kuratowski 闭包公理, 由此可建立拓扑空间的概念. 事实上阿记此运算为, 定义 , 则是拓扑空间, 且这空间中每一 -, 详见定理 2.4.8. 关于闭包的几个相关结果: (1) 对 的任一邻域有. (定义 2.4.3 后) (2) ； (3) 闭 -. (定理 2.4.4) (4 )是闭集. (定理 2.4.6) (5 ) -是包含的所有闭集之交, 是包含的最小闭集. (定理 2.4.7: 设 F 是包含的所有闭 集之交, 则, 所以-.) 定义2.4.5是度量空间.对非空的定义. 定理 2.4.9 对度量空间的非空子集 (1)
21、; (2) . 证明：定理 2.4.10 设 , 则下述等价(1) 连续;(2) 若闭于, 则闭于; (3) 证明；是的闭集，是的开集，是 X 的开集, f-1(B)是 X 的闭集. 设是的开集，是的闭集且是闭，是开2.5 内部、边界定义 2.5.1 若是的邻域, 则称是的内点. 的所有内点的集合称为的内部, 记为.定理2.5.1对-证明：由于于是从而反之的邻域，因此，.从而.定理 2.5.3 对, 有(1);；.证明：（1），（2）是显然的.而关于内部的几个结果：（1）是的邻域；(2)是开集；（3）是开集；（4）是所包含的所有开集之并，是含于内的最大开集.证明：是开集（3）A开闭（4）设是含
22、于内的所有开集之并，所以定义 2.5.2 称为的边界点, 若的每一邻域, 既含有中的点又有 中 的点. 的边界点 之集称为边界, 记为.定理2.5.6 对，有证明：（3）2.6 基与子基度量空间球形邻域 开集 拓扑 . 在度量空间中球形邻域的作用就是拓扑空间中基的作用.定义 2.6.1 设 是空间 的拓扑, B, 如果中每一元是B中某子集族之并, 称B 是 的基.所有单点集的族是离散空间的基. 定理 2.6.2 设B ,B 为 的基 及的邻域 Ux, $ 使. 证 “”$存在开集 Wx使得 , $B1B 使得B1, $ B1 B1使;“” 设,B 使, 从而B 且 在度量空间中, 所有球形邻域
23、的族是度量拓扑的基(定理 2.6.1). 所有开区间的族是 的基. 定理 2.6.3 拓扑空间的基B 满足: (i) B; (ii) B ,B , . 反之, 若集合 X 的子集族 B 满足(1)、(2), 定义, 则是的以 B 作为基的唯一拓扑. 证 验证 是的拓扑. (1) . (2) 先设B, , $B使,于是. 如果, 设B1 , B2,则B1, B2.(3) 设$BAB, 使得BA, 那么BA | . 较强于(ii)且易于验证的条件是 (ii) B, B. 例 2.6.1 实数下限拓扑空间. 令 B,则B 为 上一拓扑的基. 这空间称为实数下限拓扑空间, 记为 Rl. 开区间是 Rl
24、 中的开集, 因为. 定义 2.6.2 设是拓扑空间, S. 若 S 的元之所有有限交构成的族是的基, 则称 S 是的子基. S 的元之有限交构成的族S,. 显然, 空间的基是子基. 例 2.6.2 S是的子基. 对照定理 2.6.3, 集合 的子集族 S 要作为子基生成上的拓扑的充要条件是S. (定理2.6.4) 映射的连续性可用基、子基来刻画或验证. 定理 2.6.5 设是两拓扑空间, , 下述等价: (1) 连续; (2) 基 B, 使得 B 中每一元的原像在中开; (3) 有子基 S, 使得 S 中每一元的原像在 中开. 证 (3) (2) 设 B 是 S 的元之所有有限交构成的族 ,
25、 则 B满足(2). (2) (1) 设在中开,则B1 , 于是B1 在中开. 类似地, 可定义点的邻域基与邻域子基的概念, 同时用它们来验证映射的连续性等. 在第五章中定义第一可数性时再介绍这些概念. 2.7 拓扑空间中的序列可以与中一样地定义序列、常值序列、子序列, 见定义 2.7.1, 2.7.3.定义 2.7.2 中序列极限 , 收敛序列 . 平庸空间中任意序列收敛于空间中的任一点. 数学分析中的一些收敛性质还是保留的, 如常 值序列收敛, 收敛序列的子序列也收敛 . (定理 2.7.1) 定理 2.7.2 中序列 证的邻域所以.定理 2.7.3在 x0 连续且证 设 是的邻域, 则是
26、的邻域, $, 当时有, 从而. 上述两定理的逆命题均不成立. 例 2.7.1 设 是不可数集赋予可数补拓扑, 则(1)在 中, 当 时有;(2)若是的不可数子集, 则.证（1）的必要性，令，则是的邻域，时有，即证的邻域（可数集），所以定理 2.7.2 的逆命题不真. 如例 2.7.1, 取定, 让, 则, 但中没有序列收敛于. 定理 2.7.3 的逆命题不真. 取是实数集赋予可数补拓扑, 让是恒等映射, 若在中 , 则在中, 但 在 不连续, 因为 x在 R的开邻域的原像在中不是开的. 定理 2.7.4 设xi是度量空间中的序列, 则. 证 的邻域, 当 in 时有当 in时有当时有. 第三
27、章 子空间、积空间、商空间介绍三种从原有的拓扑空间或拓扑空间族构造新空间的经典方法, 引入遗传性、可积性、可 商性等概念, 这些是研究拓扑性质的基本构架. 教学重点：子空间与积空间；教学难点：子空间、（有限）积空间和商空间3.1 子空间对于空间 的子集族 A 及, A 在 上的限制 A|YA.(定义 3.1.2) 引理 3.1.2 设是空间的子集, 则是上的拓扑. 证 按拓扑的三个条件逐一验证. 如, 设, 使得, 于是 定义 3.1.3 对称为的子空间, 称为相对拓扑. “子空间”= “子集”+ “相对拓扑”. 易验证, 若是的子空间, 且 是的子空间, 则是的子空间. (定理 3.1.4)
28、, 定理 3.1.5(3.1.7) 设 是的子空间, , 则 (1)若分别为的拓扑, 则; (2)若 F, F*分别为的全体闭集族, 则 F*=F|Y; (3)若 Uy, Uy *分别为在 中的邻域系, 则 Uy*=U; (4)若 B 是的基, 则 B|Y 是的基.证 (2) F*. (4) 开于, $存在的开集, 使得, $B1 B, 满足 B1, 则 (B1 |Y). 在 的子空间中是闭集. 定理 3.1.6 设是的子空间, 则 证 (1) 在中的邻域, 所以 . 反 之 , 设, 在中 的 邻 域在 中 的 邻 域 使, 于 是, 所以. (2). 3.2 有限积空间就平面的球形邻域而言
29、, 我们知道球形邻域内含有方形邻域 , 方形邻域内含有球形邻域 . 从基的角度而言,形如的集合就是平面拓扑的基了. 对于两个拓扑空间, 在笛卡儿积集中可考虑形如的集合之全体, 其中 U, V 分别是 X, Y 的开集. 对于有限个空间, 可考虑形如的集合. 定理 3.2.2 设是 n 个拓扑空间, 则 有唯一的拓扑, 以 X 的子集族 B为它的一个基 . 证 验证 B 满足定理 2.6.3 的条件(i), (ii). (1) B,B=X; (2) 若 B, 则B. 定义 3.2.2 以定理 3.2.2 中 B 为基生成 上的唯一拓扑, 称为拓扑的积拓扑.称为的(有限 )积空间. 定理3.2.4
30、设是积空间, Bi 是的基, 则 BBi,是 积拓扑的基. 证 利用定理 2.6.2. 设使Bi 使 , 那么. 例 3.2.1 形如的集合构成的基.设是两个度量空间.令,则是上的度量, 导出上的度量拓扑. 对于个度量空间之积可类似地定义. (定义 3.2.1) 定理 3.2.1 度量空间的有限积: 积拓扑与度量拓扑一致. 验证的情形. 易验证于是每一是积拓扑的开集, 且每一是度量拓扑的开集, 所以导出相同的拓扑. 定理 3.2.5 有限积空间以 S为子基, 其中是的拓扑, 是投射. 仅证的情形., 所以B. 定义 3.2.3 称为开(闭)映射, 若开(闭)于, 则开(闭)于. 定理 3.2.
31、6 是满、连续、开映射, 未必是闭映射. 由于, 所以连续. 由于, 所以是开的. 但是不是闭的. 定理 3.2.7 设映射其中是积空间. 则连续连续.证 充分性. 对的子基 S开于. 多元函数连续当且仅当它的每一分量连续. 定理 3.2.8 积拓扑是使每一投射都连续的最小拓扑 . 即设是积空间的积拓扑, 若集合 X 的拓扑满足: 每一投射连续, 则. 证 由于， 所以. 3.3 商空间回忆, 商集, 及自然投射定义为. 问题: 设是拓扑空间, 要在上定义拓扑, 使连续的最大的拓扑. 讨论更一般的情形, 设是拓扑空间且是满射. 赋予集合什么拓扑, 使连续的最大的拓扑. 若 连续, 且是 的开集
32、, 则是的开集. 让, 易验 证是 上的拓扑. 定义 3.3.1(3.3.2) 称 是 的相对于满射而言的商拓扑, 称为商映射. 这时, 在 中开在中开;在 中闭在中闭. 定理 3.3.1 商拓扑是使连续的最大拓扑. 证 设是商映射. 显然, 是连续的. 如果是 的拓扑使连续, 则, 于是 即, 所以 是使 f 连续的最大拓扑.定理 3.3.2 设是商映射. 对于空间, 映射连续映射连续.证 设连续,开于开于由于是商映射, 所以开于, 故连续. 定理 3.3.3 连续, 满开(闭)映射商映射. 证 设是连续的满开(闭)映射, 是 的相对于 而言的商拓扑, 要证. 由定理 3.3.1, . 反之
33、,. 对于开映射的情形,; 对于闭映 射的情形, , 所以总有. 定义 3.3.3 设是空间的等价关系, 由自然投射确定了 X/R 的商拓扑, 称为商空间, 这时是商映射. 例 3.3.1 在 中定义等价关系: 或者, 或者商空间 R/是由两点组成的平庸空间. 由于 Q 在 R 中既是开集, 也不是闭集, 所以单点集Q在 R/中既不是开集,也不是闭集. 习惯上, 把 R/说成是在 R 中将所有有理点和所有无理点分别粘合为一点所得到的商空间. 例 3.3.2 在上定义等价关系或者, 或者是 在中粘合 0, 1 两点所得到的商空间, 这商空间同胚于单位圆周. 第四章 连通性本章起的四章介绍 4 类
34、重要的拓扑不变性质. 本章讨论连通性、道路连通性、局部连通性及 其在实分析中的一些简单的应用. 教学重点：连通空间、局部连通空间；教学难点：连通分支.4.1 连通空间在拓扑中怎样定义连通, 分隔区间(0, 1), (1, 2)的关系与(0, 1), 1, 2)的关系不同, 虽然他们都 不相交, 但相连的程度不一样. 定义 4.1.1 设 若, 则称是隔离的. 区间(0, 1)与(1, 2)隔离, 但区间(0, 1)与1, 2)不隔离. 几个基本事实: (1)两不交的开集是隔离 的; (2)两不交的闭集是隔离的; (3)隔离子集的子集是隔离的 . 定义 4.1.2称为不连通的, 若中有非空的隔离
35、子集使, 即可表为两非空 隔离集之并. 否则 称为连通的. 包含多于一个点的离散空间不连通, 平庸空间是连通的. 定理 4.1.1 对空间, 下述等价: (1) 是不连通的; (2) 可表为两非空不交闭集之并; (3) 可表为两非空不交开集之并; (4) 存在既开又闭的非空真子集. 证 (1)(2)设隔离集之并是. 同理, A 也是闭的. (2)(3)设是两非空不交闭集之并, 则是两非空不交开集之 并. (3)(4)设 是两非空不交开集 之并, 则 都是的既开又闭的非空真子集. (4) (1)若是的开闭集, 则隔离. 例 4.1.1 Q 不是的连通子空间, 因为. 定理 4.1.2 是连通的.
36、 证 若 不连通, 则是两非空不交闭集 之并 . 取定 不妨设. 令则是 两非空不交闭集且.让 . 因是闭的, , 因是闭的, , 从而, 矛盾. 定义 4.1.3 若的子空间是连通的, 则称 为连通子集, 否则, 称为不连通子集. 定理 4.1.3 设, 则是的隔离集 是的隔离集. 证 ; 同理, . 定理 4.1.4 设是的连通子集. 如果有隔离子集使, 则 或. 证是的隔离集, 所以, 或 , 于是 或.定理 4.1.5 若 是的连通子集且-, 则是连通的. 证 若 不连通, 的非空隔离集 使, 于是 或, 不妨设, 那 么-, 于是 , 矛盾. 定理 4.1.6 设是空间的连通子集族.
37、 如果, 则连通.证 若是 X 中隔离集之并, 取定, 不妨设, 则g， 所以，于是.定理 4.1.7 设. 若的连通子集 Yxy 使 , 则连通. 证 设，取定, 则且, 所以连通. 定理 4.1.8(连续映射保持) 设连续. 若连通, 则连通. 证 若不连通, 则含有非空的开闭真子集. 由于连续, 于是是 的 非空开闭真子集. 连续映射保持性可商性拓扑不变性. 有限可积性. 对于拓扑性质 P, 要证有限可积性, 因为同胚于, 所以只须证: 若具性质 P, 则具有性质 P. 定理 4.1.9 (有限可积性) 设 连通, 则连通. 证 仅证若 连通, 则 连通. 取定 令 由于同胚于 同胚于,
38、 所以，, 都 连通且， 由定理41.6, 连 通 且, 再 由 定 理 4.1.7连通.4.2 连通性的应用利用 R 连通性的证明(定理 4.1.2)知, 区间都是连通的. 区间有 9 类： 无限区间 5 类： 有限区间 4 类：(a, b), a, b), (a, b, a, b. 定理 4.2.1 设, 则连通是区间. 证 若 不是区间, , 使但令则 是不交的 非空开集 之并. 定理 4.2.2 设连通, 连续, 则是 R 的一个区间. 注, 如果 t 介于与之间, 则$, 使. 事实上, 不妨设则所以$, 使. 定理 4.2.3(介值定理) 设连续, 若介于与之间, 则$使.定理 4
39、.2.4(不动点定理) 设连续, 则$使. 证 不妨设 .定义使, 则连续且 使得, 即. 定义为, 则连续且, 于是 是连通的. 对称为的对径点, 映射定义为称为对径映射, 则 r 连续.定理 4.2.5(Borsuk-Ulam 定理) 设连续, 则, 使. 证 定义为， 则连续. 若$ , 使得 则, 由定理 4.2.2, $ , 使得, 即. 定理 4.2.6连通, 其中证 只证 n=2 的情形. 令, 则. 由于, 所以 连通. 同理连通, 从而连通. 定理 4.2.7 与 不同胚. 证 若$存在同胚, 令, 则连续, 从而连通, 矛盾.4.3 连通分支将不连通集分解为一些“最大”连通
40、子集(“连通分支”)之并. 定义 4.3.1 称为连通的, 若$的连通子集同时含, 记为. 点的连通关系是等 价关系： .定义 4.3.2 空间关于点的连通关系的每一等价类称为的一个连通分支. xyx, y 属于 的同一连通分支. 是的全体连通分支的互不相交并. 定理 4.3.1 设 C 是空间 的连通分支, 则 (1)若是 的连通子集且, 则; (2)C 是连通的闭集. 证 (1)取定 则所以 (2)取定的连通集，由于，于是且, 所以 C 是连通的. 从而 -连通且, 于是, 故 C 闭. 以上说明：连通分支是最大的连通子集. 连通分支可以不是开集. 的连通分支都是单点集, 不是的开子集,
41、由定理 4.2.1, 不存在的连通子集同时含有,所以的连通分支都是单点集 . 544.4 局部连通空间例 4.4.1 (拓扑学家的正弦曲线 ) 令,则, 于是 S, S1 连通. 在 S1 中, S 中点与 T 中点的“较小的”邻域表现出不同的连通性 . S S1=ST=S - T定义 4.4.1 设若的每一邻域中都含有的某一连通的邻域, 称在是局部连 通的. 空间称为局部连通的, 若在每一点是局部连通的. S1 是连通, 非局部连通的. 多于一点的离散空间是局部连通, 非连通的. 定理 4.4.1 对空间, 下述等价: (1) 是局部连通; (2) 的任一开集的任一连通分支是开集; (3)
42、有一个基, 每一元是连通的. 证 (1)(2)设 C 是的开集 的连通分支. 的连通的邻域 , 于是 , 所以 C 是的邻域, 故 C 开. (2) (3)令 B 是 的开集 的连通分支, 则 B 是 的基. (3) (1)设 是 的邻域, $存在开集 使, $连通开集 C 使, 所以 局部连通. 定理 4.4.2 设是连续开映射. 若 局部连通, 则局部连通. 证 , 及 在中的邻域, 取, 则 是的邻域, $ 的连通开集使, 于是 . 定理 4.4.3 局部连通性是有限可积性, 即设局部连通, 则局部连通.证 仅证若 局部连通, 则局部连通. 设 B1, B2 分别是的由连通开集组成的基,
43、 则 B1, B2是的由连通开集组成的基(定理 3.2.4). 证 y1, y2 f(X), $x1, x2X 使 f(x1)=y1, f(x2)=y2, $4.5 道路连通空间定义 4.5.1 设是拓扑空间, 连续映射 称为中的一条道路,分别称为的起点和终点, 称为从到的一条道路,称为 中的一条曲线. 若, 称为闭路. 定义 4.5.2 对空间, 如果 中从到的道路, 则称 是道路连通的. 类似可定义道路连通子集. R 是道路连通的, , 定义为. 定理 4.5.1 道路连通连通. 证 设 X 道路连通. 中从到 的道路, 这时是 中含的连通子集, 所以 连通. 拓扑学家正弦曲线 S1 是连
44、通, 非道路连通的空间. 定理 4.5.2 设连续. 若道路连通, 则道路连通. 证使，存在道路 使, 则 fg: 0, 1 Y 是 f(X)中从到的道路. 定理 4.5.3 道路连通性是有限可积性. 证 仅证若是道路连通, 则道路连通. , 则存在$道路使，定义为, 则 f 是从 x 到 y 的道路. 可引进局部道路连通空间的概念. 同时, 与连通分支类似 , 可建立道路连通分支: 空间中最大的道路连通子集. 第五章 可数性公理本章主要介绍 4 种与可数性相关的拓扑性质, 它们与度量空间性质、下章要讨论的分离性公 理都是密切相关的. 本章的要点是给出它们之间的基本关系. 教学重点：第一与第二可数性公理；教学难点：分离性公理.5.1 第一与第二可数性定理第二章介绍的空间的基, 在生成拓扑空间, 描述局部连通性, 刻画连续性等方面都发挥了积 极的作用. 较少的基元对于进一步讨论空间的属性是重要的. 定义 5.1.1 若有可数基, 称满足第二可数(性
