1、人教版九年级数学1-用二次函数解实际应用的四种常见类型123456789101如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分抛物线的一部分ACB和矩形的三边和矩形的三边AE，ED，DB组成，组成，已知河底已知河底ED是水平的，是水平的，ED16 m，AE8 m，抛物，抛物线的顶点线的顶点C到到ED的距离是的距离是11 m，以，以ED所在的直线为所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系轴建立平面直角坐标系1类型类型拱桥问题拱桥问题(1)抛物线对应的函数解析式是抛物线对应的函数解析式是_y x21111
2、28(2)已知从某时刻开始的已知从某时刻开始的40 h内，水面与河底内，水面与河底ED的距的距离离h(m)随时间随时间t(h)的变化满足函数关系的变化满足函数关系h (t19)28(0t40)，且当顶点，且当顶点C到水面的距离不大到水面的距离不大于于5 m时，需禁止船只通行请通过计算说明：在时，需禁止船只通行请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？这一时段内，需多少小时禁止船只通行？1128当顶点当顶点C到水面的距离不大于到水面的距离不大于5 m时，时，h6，把把h6代入代入h (t19)28(0t40)，解得解得t135，t23.|t1t2|32(h)答：需答：需32 h禁止船
3、只通行禁止船只通行返回返回2(中考中考朝阳朝阳)为备战为备战2016年里约奥运会，中国女排的姑娘们年里约奥运会，中国女排的姑娘们刻苦训练，为国争光如图，已知排球场的长度刻苦训练，为国争光如图，已知排球场的长度OD为为18米，米，位于球场中线处球网的高度位于球场中线处球网的高度AB为为2.43米，一队员站在点米，一队员站在点O处处发球，排球从点发球，排球从点O的正上方的正上方1.8米的米的C点向正前方飞出，当排点向正前方飞出，当排球运行至离点球运行至离点O的水平距离的水平距离OE为为7米时，到达最高点米时，到达最高点G，建，建立如图所示的平面直角坐标系立如图所示的平面直角坐标系2类型类型运动问题
4、运动问题(1)当球上升的最大高度为当球上升的最大高度为3.2米米时，求排球飞行的高度时，求排球飞行的高度y(单单位：米位：米)与水平距离与水平距离x(单位：单位：米米)的函数关系式的函数关系式(不要求写不要求写自变量自变量x的取值范围的取值范围)解：根据题意知此时抛物线的顶点解：根据题意知此时抛物线的顶点G的坐标为的坐标为(7，3.2)，设抛物线对应的函数解析式为设抛物线对应的函数解析式为ya(x7)23.2，将点将点C(0，1.8)的坐标代入，得的坐标代入，得49a3.21.8，解得解得a .排球飞行的高度排球飞行的高度y与水平距离与水平距离x的函数关系式为的函数关系式为y (x7)2165
5、.1.84 9h，1.84 9h，(2)在在(1)的条件下，对方距球网的条件下，对方距球网0.5米的点米的点F处有一队员，处有一队员，她起跳后的最大高度为她起跳后的最大高度为3.1米，问这次她是否可以拦米，问这次她是否可以拦网成功？请通过计算说明网成功？请通过计算说明由题意知，当由题意知，当x9.5时，时，y (9.57)21653.023.1，故这次她可以拦网成功故这次她可以拦网成功1.84 9h，(3)若队员发球既要过球网，又不出边界，问排球飞行的若队员发球既要过球网，又不出边界，问排球飞行的最大高度最大高度h的取值范围是多少的取值范围是多少(排球压线属于没出界排球压线属于没出界)?设抛物
6、线对应的函数解析式为设抛物线对应的函数解析式为ya(x7)2h，将点将点C(0，1.8)的坐标代入，得的坐标代入，得49ah1.8，即即a 1.849h 此时抛物线对应的函数解析式为：此时抛物线对应的函数解析式为：y (x7)2h.根据题意，得根据题意，得解得解得h3.025.1.82.4349121(1.8)049hhhh ，返回返回3(中考中考随州随州)九年级九年级(3)班数学兴趣小组经过市场班数学兴趣小组经过市场调查整理出某种商品在第调查整理出某种商品在第x天天(1x90，且，且x为整数为整数)的售价与销售量的相关信息如图和下表所示已的售价与销售量的相关信息如图和下表所示已知商品的进价为
7、知商品的进价为30元元/件，设该商品的售价为件，设该商品的售价为y(3类型类型利润问题利润问题单位：元单位：元/件件)，每天的销售，每天的销售量为量为p(单位：件单位：件)，每天的销，每天的销售利润为售利润为w(单位：元单位：元)(1)求出求出w与与x的函数解析式的函数解析式解：当解：当1x50时，时，设商品的售价设商品的售价y与时间与时间x的函数解析式为：的函数解析式为：ykxb(k，b为常数且为常数且k0)，直线直线ykxb经过点经过点(0，40)，(50，90)，14 0kb ，解得解得4 0 15 09 0 5 09 0.x x xyx x （，且且 为为 整整 数数），（，且且 为为
8、 整整 数数）售价售价y与时间与时间x的函数解析式为的函数解析式为yx40；当当50 x90时，时，y90.售价售价y与时间与时间x的函数解析式为：的函数解析式为：6 08 03 01 4 0mnmn ，由数据可知每天的销售量由数据可知每天的销售量p与时间与时间x成一次函数关系，成一次函数关系，设每天的销售量设每天的销售量p与时间与时间x的函数解析式为的函数解析式为pmxn(m，n为常数，且为常数，且m0)，直线直线pmxn过点过点(60，80)，(30，140)，22 0 0mn ，221 8 02 0 0 0 15 0,1 2 01 2 0 0 0 5 0 9 0 x x x xxx x
9、（，且且 为为 整整 数数）（，且且 为为 整整 数数）解得解得p2x200(1x90，且，且x为整数为整数)当当1x50时，时，w(y30)p(x4030)(2x200)2x2180 x2 000；当当50 x90时，时，w(9030)(2x200)120 x12 000.综上所述，每天的销售利润综上所述，每天的销售利润w与时间与时间x的函数解析式是的函数解析式是w(2)问销售该商品第几天时，当天的销售利润最大？问销售该商品第几天时，当天的销售利润最大？并求出最大利润并求出最大利润当当1x50时，时，w2x2180 x2 0002(x45)26 050，20且且1x50，当当x45时，时，w
10、取最大值，最大值为取最大值，最大值为6 050；当当50 x90时，时，w120 x12 000，1200，w随随x的增大而减小，的增大而减小，当当x50时，时，w取最大值，最大值为取最大值，最大值为6 000.6 0506 000，当当x45时，时，w最大，最大值为最大，最大值为6 050.即销售该商品第即销售该商品第45天时，当天的销售利润最大，最大利天时，当天的销售利润最大，最大利润是润是6 050元元(3)该商品在销售过程中，共有多少天每天的销售利该商品在销售过程中，共有多少天每天的销售利润不低于润不低于5 600元？请直接写出结果元？请直接写出结果该商品在销售过程中，共有该商品在销售
11、过程中，共有24天每天的销售利润不低于天每天的销售利润不低于5 600元元返回返回1题型题型几何中的决策问题几何中的决策问题4如图，有长为如图，有长为24 m的围栏，一面利用墙的围栏，一面利用墙(墙的最大可用长墙的最大可用长度度a为为10 m)，围成中间隔有一道栅栏的长方形鸡舍设，围成中间隔有一道栅栏的长方形鸡舍设鸡舍的一边鸡舍的一边AB为为x m，面积为，面积为S m2.(1)求求S与与x的函数关系式的函数关系式(不必写出不必写出x的取的取值范围值范围)解：解：(1)因为因为ABx m，所以所以BC(243x)m，此时此时Sx(243x)3x224x.(2)如果围成面积为如果围成面积为45
12、m2的鸡舍，的鸡舍，AB的长是多少米？的长是多少米？由已知得由已知得3x224x45，整理可得整理可得x28x150.解得解得x15，x23.0243x10，得，得 x8，x3不符合题意，故不符合题意，故AB5 m.23(3)能围成面积比能围成面积比45 m2更大的鸡舍吗？如果能，请求出最更大的鸡舍吗？如果能，请求出最大面积；如果不能，请说明理由大面积；如果不能，请说明理由S3x224x3(x28x)3(x4)248.x8，当当x 时，时，S最大值最大值46 .能围成面积比能围成面积比45 m2更大的鸡舍更大的鸡舍围法是：围法是：BC的长是的长是10 m，AB的长是的长是4 m，这时鸡舍，这时
13、鸡舍的面积最大，为的面积最大，为46 m2.2323返回返回5如图，如图，ABC是边长为是边长为3 cm的等边三角形，动点的等边三角形，动点P，Q同时从同时从A，B两点出发，分别沿两点出发，分别沿AB，BC方向匀速方向匀速移动，它们的速度都是移动，它们的速度都是1 cm/s，当点当点P运动到运动到B时，两点均停止时，两点均停止运动，设运动，设P点运动时间为点运动时间为t(s)(1)当当t为何值时，为何值时，PBQ是直角三角形？是直角三角形？解：解：(1)由题意可知，由题意可知，B60，BP(3t)cm，BQt cm.若若PBQ是直角三角形，则是直角三角形，则BPQ30或或BQP30，于是，于是
14、BQ BP或或BP BQ，即，即t (3t)或或3t t.解得解得t1或或t2，即当，即当t为为1或或2时，时，PBQ是直角三角形是直角三角形121212223(3)c m.2B P B M t (2)设四边形设四边形APQC的面积为的面积为y(cm2)，求，求y关于关于t的函数解析的函数解析式，当式，当t取何值时，四边形取何值时，四边形APQC的面积最小？并求出的面积最小？并求出最小值最小值过点过点P作作PMBC于点于点M，则易知，则易知BM BP (3t)cm.PM223(3)c m.2B P B M t 223(3)c m.2B P B M t 332S四边形四边形APQCSABCSPB
15、Q 3 t (3t)t2 t ，即，即y t2 t ，易知，易知0t3.于是于是y当当t 时，时，y取得最小值，为取得最小值，为 即当即当t为为 时，四边形时，四边形APQC的面积最小，最小值为的面积最小，最小值为 cm2.223(3)c m.2B P B M t 32223(3)c m.2B P B M t 343 349 342332 73(),4 2 1 6t 343 349 34232 73.1 62 73.1 6273161 19返回返回6(中考中考资阳资阳)某商家计划从厂家采购空调和冰箱两某商家计划从厂家采购空调和冰箱两种产品共种产品共20台，空调的采购单价台，空调的采购单价y1(
16、元元)与采购数与采购数量量x1(台台)满足满足y120 x11 500(0 x120，x1为为整数整数)；冰箱的采购单价；冰箱的采购单价y2(元元)与采购数量与采购数量x2(台台)满满足足y210 x21 300(0 x220，x2为整数为整数)2题型题型实际中的决策问题实际中的决策问题(1)经商家与厂家协商，采购空调的数量不少于冰箱经商家与厂家协商，采购空调的数量不少于冰箱数量的数量的 倍，且空调采购单价不低于倍，且空调采购单价不低于1 200元，问元，问该商家共有几种进货方案？该商家共有几种进货方案？1111 1 9 2 02 01 5 0 0 1 2 0 0 x xx （），解：由题意可
17、知，空调的采购数量为解：由题意可知，空调的采购数量为x1台，则冰箱的台，则冰箱的采购数量为采购数量为(20 x1)台，由题意，台，由题意，110得得解得解得11x115.x1为整数，为整数，x1可取的值为可取的值为11，12，13，14，15.该商家共有该商家共有5种进货方案种进货方案(2)该商家分别以该商家分别以1 760元和元和1 700元的销售单价售出空元的销售单价售出空调和冰箱，且全部售完在调和冰箱，且全部售完在(1)的条件下，问采购的条件下，问采购空调多少台时总利润最大？并求最大利润空调多少台时总利润最大？并求最大利润设总利润为设总利润为W元，元，y210 x21 30010(20
18、x1)1 30010 x11 100，则则W(1 760y1)x1(1 700y2)x1 760 x1(20 x11 500)x1(1 70010 x11 100)(20 x1)1 760 x120 x211 500 x110 x21800 x112 00030 x21540 x112 00030(x19)29 570.当当x19时，时，W随随x1的增大而增大，的增大而增大，11x115，当当x115时，时，W最大值最大值30(159)29 57010 650.答：采购空调答：采购空调15台时总利润最大，最大利润为台时总利润最大，最大利润为10 650元元返回返回7某宾馆有某宾馆有50个房间供
19、游客住宿当每个房间每天的定个房间供游客住宿当每个房间每天的定价为价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加定价每增加10元时，就会有一个房间空闲宾馆需对元时，就会有一个房间空闲宾馆需对游客居住的每个房间每天支出游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用根据元的各种费用根据规定，每个房间每天的定价不得高于规定，每个房间每天的定价不得高于340元设每个元设每个房间每天的定价增加房间每天的定价增加x元元(x为为10的整数倍的整数倍)(1)设一天订住的房间数为设一天订住的房间数为y，直接写出，直接写出y与与x之间的函数之间的函数解析式及自变量解析式
20、及自变量x的取值范围的取值范围解：解：y50110 x(0 x160，且，且x是是10的整数倍的整数倍)(2)设宾馆一天获得的利润为设宾馆一天获得的利润为W元，求元，求W与与x之间的函数之间的函数解析式解析式由题意可知由题意可知W(50 )x(180 x20)，即即W x234x8 000.NoImageNoImage(3)一天订住多少个房间时，宾馆获得的利润最大？最一天订住多少个房间时，宾馆获得的利润最大？最大利润是多少元？大利润是多少元？由题意可知由题意可知W(50 )x(180 x20)，W x234x8 000.(x170)210 890，NoImageNoImageNoImage当当x170时，时，W随随x的增大而增大，的增大而增大，又又0 x160，当当x160时，时，W最大值最大值10 880，此时，此时，y50 16034.答：一天订住答：一天订住34个房间时，宾馆获得的利润最大，个房间时，宾馆获得的利润最大，最大利润是最大利润是10 880元元NoImage返回返回
