1、在此输入您的封面副标题第第二二十十二二章章二二次次函函数数22.1.4二二次次函函数数y=ax2+bx+c的的图图象象和和性性质质(二二)九九年年级级数数学学上上 新新课课标标 人人待待定定系系数数法法求求二二次次函函数数解解析析式式(2015齐齐齐齐哈哈尔尔一一模模)已已知知一一个个二二次次函函数数的的图图象象经经过过A ,B 和和C(1,-2)三三点点.(1)求求出出这这个个二二次次函函数数的的解解析析式式;解解:(1)设设二二次次函函数数的的解解析析式式为为y=ax2+bx+c,考考查查角角度度1设设一一般般式式求求二二次次函函数数解解析析式式例例1解解析析题题目目给给出出抛抛物物线线上
2、上的的三三个个点点的的坐坐标标,可可设设一一般般式式求求抛抛物物线线解解析析式式;225,30,25422322ab cca b c ，12323.2acb，根根据据题题意意得得所所以以二二次次函函数数解解析析式式为为y=x2-x-.解解得得1232(2)若若函函数数的的图图象象与与x轴轴相相交交于于点点E,F(E在在F的的左左边边),求求 EFB的的面面积积.解解析析先先求求出出E,F两两点点的的坐坐标标,然然后后根根据据三三角角形形面面积积公公式式求求解解.解解：(2)当当y=0时时,x2-x-=0,解解得得x1=-1,x2=3,所所以以E点点坐坐标标为为(-1,0),F点点坐坐标标为为(
3、3,0),所所以以EFB的的面面积积=(3+1)=3.12323212(3)填填空空:把把二二次次函函数数的的图图象象沿沿坐坐标标轴轴方方向向最最少少平平移移个个单单位位,使使得得该该图图象象的的顶顶点点在在原原点点.1.(2015巴巴中中模模拟拟)二二次次函函数数的的图图象象经经过过点点A(0,-3),B(2,-3),C(-1,0).(1)求求此此二二次次函函数数的的关关系系式式;解解:(1)由由题题意意设设二二次次函函数数解解析析式式为为y=ax2+bx-3,把把(2,-3),(-1,0)代代入入得得 解解得得 y=x2-2x-3.(2)求求此此二二次次函函数数图图象象的的顶顶点点坐坐标标
4、;(2)y=x2-2x-3=(x-1)2-4,函函数数图图象象的的顶顶点点坐坐标标为为(1,-4).54233,0,abab 1,2,ab 考考查查角角度度2 设设顶顶点点式式求求二二次次函函数数解解析析式式已已知知关关于于x的的二二次次函函数数的的图图象象的的顶顶点点坐坐标标为为(-1,2),且且图图象象过过点点(1,-3).(1)求求这这个个二二次次函函数数的的关关系系式式;(2)写写出出它它的的开开口口方方向向、对对称称轴轴.例例2解解析析已已知知抛抛物物线线的的顶顶点点,可可设设顶顶点点式式,再再用用待待定定系系数数法法求求二二次次函函数数的的解解析析式式.进进而而可可根根据据函函数数
5、的的解解析析式式求求得得抛抛物物线线的的开开口口方方向向和和对对称称轴轴.解解:(1)抛抛物物线线的的顶顶点点坐坐标标为为(-1,2),54设设函函数数解解析析式式为为y=a(x+1)2+2,把把(1,-3)代代入入解解析析式式,得得-3=a(1+1)2+2,解解得得a=-,抛抛物物线线的的解解析析式式为为y=-(x+1)2+2.(2)由由(1)可可得得抛抛物物线线的的开开口口向向下下,对对称称轴轴为为直直线线x=-1.542.(2015吴吴兴兴区区一一模模)已已知知二二次次函函数数的的图图象象经经过过(0,0),且且它它的的顶顶点点坐坐标标是是(1,-2).(1)求求这这个个二二次次函函数数
6、的的关关系系式式;(2)判判断断点点P(3,5)是是否否在在这这条条抛抛物物线线上上.解解:(1)设设抛抛物物线线的的顶顶点点式式为为y=a(x-1)2-2，将将点点(0,0)代代入入得得a-2=0,解解得得a=2，所所以以抛抛物物线线的的解解析析式式为为y=2(x-1)2-2。(2)当当x=3时时,y=2(3-1)2-2=6，所所以以点点P(3,5)不不在在这这条条抛抛物物线线上上.考考查查角角度度3 设设交交点点式式求求二二次次函函数数解解析析式式如如图图所所示示,二二次次函函数数y=ax2+bx+c的的图图象象经经过过A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三三点点.(1)求求这这个个
7、二二次次函函数数的的解解析析式式;(2)设设该该二二次次函函数数的的图图象象与与y轴轴交交于于点点C,连连接接AC,BC,求求ABC的的面面积积.例例3解解析析(1)A,B两两点点是是抛抛物物线线与与x轴轴的的交交点点,故故可可设设交交点点式式,再再用用待待定定系系数数法法求求二二次次函函数数的的解解析析式式.(2)根根据据三三角角形形的的面面积积公公式式即即可可求求解解.解解:(1)二二次次函函数数y=ax2+bx+c的的图图象象经经过过A(-1,0),B(3,0),设设二二次次函函数数的的解解析析式式为为y=a(x+1)(x-3),把把C(0,3)代代入入,得得3=a(0+1)(0-3),
8、解解得得a=-1.这这个个二二次次函函数数的的解解析析式式为为y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3.(2)A(-1,0),B(3,0),AB=4.C(0,3),ABC的的面面积积=43=6.12【解解题题归归纳纳】已已知知抛抛物物线线与与x轴轴的的两两个个交交点点的的坐坐标标,用用待待定定系系数数法法求求二二次次函函数数解解析析式式时时,可可设设交交点点式式,代代入入条条件件后后得得到到一一元元一一次次方方程程,求求解解即即可可.3.已已知知抛抛物物线线y=ax2+bx+c与与x轴轴交交于于点点A(1,0),B(3,0)且且过过点点C(0,-3).(1)求求抛抛物物线线的的解解析析式式
9、和和顶顶点点坐坐标标;(2)请请你你写写出出一一种种平平移移的的方方法法,使使平平移移后后抛抛物物线线的的顶顶点点落落在在直直线线y=-x上上,并并写写出出平平移移后后抛抛物物线线的的解解析析式式.解解:(1)抛抛物物线线与与x轴轴交交于于点点A(1,0),B(3,0),可可设设抛抛物物线线解解析析式式为为y=a(x-1)(x-3),把把C(0,-3)代代入入得得3a=-3,解解得得a=-1,故故抛抛物物线线解解析析式式为为y=-(x-1)(x-3),即即y=-x2+4x-3,y=-x2+4x-3=-(x-2)2+1，抛抛物物线线的的顶顶点点坐坐标标为为(2,1).(2)先先向向左左平平移移2
10、个个单单位位,再再向向下下平平移移1个个单单位位,得得到到的的抛抛物物线线的的解解析析式式为为y=-x2,平平移移后后抛抛物物线线的的顶顶点点为为(0,0),在在直直线线y=-x上上.（答答案案不不唯唯一一）求求抛抛物物线线解解析析式式与与几几何何问问题题的的综综合合应应用用(2015徐徐汇汇区区一一模模)已已知知二二次次函函数数y=ax2+bx+c(a,b,c为为常常数数,且且a0)的的图图象象经经过过A,B,C,D四四个个点点,其其中中横横坐坐标标x与与纵纵坐坐标标y的的对对应应值值如如下下表表:(1)求求二二次次函函数数解解析析式式;(2)求求ABD的的面面积积.例例4解解析析(1)把把
11、点点A,B,C的的坐坐标标代代入入y=ax2+bx+c,即即可可求求出出二二次次函函数数解解析析式式.(2)利利用用三三角角形形的的面面积积公公式式求求解解即即可可.考考查查角角度度1求求抛抛物物线线解解析析式式与与求求几几何何图图形形面面积积ABCDx-1013y-1353解解:(1)把把点点A,B,C的的坐坐标标代代入入y=ax2+bx+c,得得解解得得所所以以二二次次函函数数解解析析式式为为y=-x2+3x+3.(2)SABD=34=6.135a b cca b c ，=133acb，124.(2015静静安安区区一一模模)已已知知在在直直角角坐坐标标平平面面内内,抛抛物物线线y=x2+
12、bx+6经经过过x轴轴上上两两点点A,B,点点B的的坐坐标标为为(3,0),与与y轴轴相相交交于于点点C.(1)求求抛抛物物线线的的解解析析式式;(2)求求ABC的的面面积积.解解:(1)把把点点B的的坐坐标标(3,0)代代入入y=x2+bx+6，得得0=9+3b+6,解解得得b=-5,抛抛物物线线的的解解析析式式为为y=x2-5x+6.(2)由由抛抛物物线线的的解解析析式式为为y=x2-5x+6，易易知知A(2,0),B(3,0),C(0,6),SABC=16=3.12考考查查角角度度2 求求抛抛物物线线解解析析式式与与求求线线段段和和的的最最小小值值如如图图所所示示,在在平平面面直直角角坐
13、坐标标系系中中,抛抛物物线线y=ax2+bx+c经经过过A(-2,-4),O(0,0),B(2,0)三三点点.(1)求求抛抛物物线线y=ax2+bx+c的的解解析析式式;(2)若若点点M是是该该抛抛物物线线对对称称轴轴上上的的一一点点,求求AM+OM的的最最小小值值.例例5解解析析(1)已已知知抛抛物物线线上上不不同同的的三三点点坐坐标标,利利用用待待定定系系数数法法可可求求出出该该抛抛物物线线的的解解析析式式.(2)根根据据O,B点点的的坐坐标标发发现现:抛抛物物线线上上O,B两两点点正正好好关关于于抛抛物物线线的的对对称称轴轴对对称称,那那么么只只需需连连接接AB,直直线线AB和和抛抛物物
14、线线对对称称轴轴的的交交点点即即为为符符合合要要求求的的M点点,而而AM+OM的的最最小小值值正正好好是是AB的的长长.解解:(1)把把A(-2,-4),O(0,0),B(2,0)三三点点的的坐坐标标代代入入y=ax2+bx+c中中,得得所所以以解解析析式式为为y=-x2+x.解解这这个个方方程程组组,得得4240420ab ccab c ，1201acb，12(2)由由y=-x2+x=-(x-1)2+，可可得得抛抛物物线线的的对对称称轴轴为为直直线线x=1,并并且且对对称称轴轴垂垂直直平平分分线线段段OB,如如图图所所示示,连连接接OM,BM,则则OM=BM,OM+AM=BM+AM,连连接接
15、AB交交直直线线x=1于于M点点,则则此此时时OM+AM最最小小,过过点点A作作ANx轴轴于于点点N,在在RtABN中中,AB=因因此此OM+AM的的最最小小值值为为1212122222444 2ANNB，4 2.5.(鸡鸡西西中中考考)如如图图6所所示示,抛抛物物线线y=-x2+bx+c与与x轴轴交交于于A,B两两点点,与与y轴轴交交于于点点C,且且OA=2,OC=3.(1)求求抛抛物物线线的的解解析析式式;(2)若若点点D(2,2)是是抛抛物物线线上上一一点点,那那么么在在抛抛物物线线的的对对称称轴轴上上是是否否存存在在一一点点P,使使得得BDP的的周周长长最最小小?若若存存在在,请请求求
16、出出点点P的的坐坐标标,若若不不存存在在,请请说说明明理理由由.解解:(1)OA=2,OC=3，12A(-2,0),C(0,3)，c=3,将将A(-2,0)代代入入y=-x2+bx+3，得得-(-2)2-2b+3=0,解解得得b=,可可得得函函数数解解析析式式为为y=-x2+x+3.(2)如如图图6所所示示,连连接接AD,与与对对称称轴轴相相交交于于点点P,由由于于点点A和和点点B关关于于对对称称轴轴对对称称,所所以以BP+DP=AP+DP,当当A,P,D共共线线时时,BP+DP=AP+DP最最小小.设设直直线线AD的的解解析析式式为为y=kx+m,将将A(-2,0),D(2,2)分分别别代代
17、入入得得1212121212解解得得故故直直线线AD的的解解析析式式为为y=x+1(-2x2).2022kmkm，121km，由由于于二二次次函函数数图图象象的的对对称称轴轴为为直直线线x =，则则当当x=时时,y=+1=，故故P1211212221254125,4.1212考考查查角角度度3 二二次次函函数数的的探探究究问问题题如如图图所所示示,直直线线y=3x+3交交x轴轴于于A点点,交交y轴轴于于B点点,过过A,B两两点点的的抛抛物物线线交交x轴轴于于另另一一点点C(3,0).(1)求求抛抛物物线线的的解解析析式式;(2)在在抛抛物物线线的的对对称称轴轴上上是是否否存存在在点点Q,使使A
18、BQ是是等等腰腰三三角角形形?若若存存在在,求求出出符符合合条条件件的的Q点点坐坐标标,若若不不存存在在,请请说说明明理理由由.例例6解解析析(1)由由直直线线的的解解析析式式确确定定A,B两两点点的的坐坐标标,然然后后用用两两根根式式求求抛抛物物线线解解析析式式.(2)分分AB=AQ,BA=BQ,QA=QB三三种种情情况况讨讨论论.解解:(1)直直线线 y=3x+3交交x轴轴于于A点点,交交y轴轴于于B点点,A点点坐坐标标为为(-1,0),B点点坐坐标标为为(0,3),又又C(3,0),即即A,B,C三三点点中中有有两两点点在在x轴轴上上,设设抛抛物物线线的的解解析析式式为为y=a(x+1)
19、(x-3).把把B(0,3)代代入入,得得a(0+1)(0-3)=3,解解得得 a=-1,y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3.(2)存存在在y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,该该抛抛物物线线的的对对称称轴轴为为直直线线x=1。设设Q点点坐坐标标为为(1,m),则则AQ=,BQ=,AB=当当AB=AQ时时，解解得得m=Q点点坐坐标标为为(1,)或或(1,);当当AB=BQ时时,解解得得m=0或或m=6,Q点点坐坐标标为为(1,0)或或(1,6);当当AQ=BQ时时,解解得得m=1,Q点点坐坐标标为为(1,1).抛抛物物线线的的对对称称轴轴上上存存在在着着点点Q1(1,),Q2(
20、1,-),Q3(1,0),Q4(1,6),Q5(1,1),使使ABQ是是等等腰腰三三角角形形.24 m213 m10，2410m，6，6621013 m，22413mm66AB=3-(-1)=4,ABD的的面面积积为为44=8.(3)不不在在.理理由由如如下下:AOC绕绕点点C逆逆时时针针旋旋转转90,CO落落在在CE所所在在的的直直线线上上,由由(2)可可知知OA=1,点点A的的对对应应点点G的的坐坐标标为为(3,2),当当x=3时时,y=-32+23+3=02,点点G不不在在该该抛抛物物线线上上.6.(连连云云港港中中考考)如如图图所所示示,抛抛物物线线y=-x2+bx+c与与x轴轴交交于
21、于A,B两两点点,与与y轴轴交交于于点点C,点点O为为坐坐标标原原点点,点点D为为抛抛物物线线的的顶顶点点,点点E在在抛抛物物线线上上,点点F在在x轴轴上上,四四边边形形OCEF为为矩矩形形,且且OF=2,EF=3.(1)求求抛抛物物线线所所对对应应的的函函数数解解析析式式;(2)求求ABD的的面面积积;(3)将将AOC绕绕点点C逆逆时时针针旋旋转转90,点点A的的对对应应点点为为点点G,则则点点G是是否否在在该该抛抛物物线线上上?请请说说明明理理由由.解解:(1)四四边边形形OCEF为为矩矩形形,OF=2,EF=3,03xy，1223xy，334 2cb c，23bc，点点C的的坐坐标标为为(0,3),点点E的的坐坐标标为为(2,3).把把和和分分别别代代入入y=-x2+bx+c 中中，得得抛抛物物线线所所对对应应的的函函数数解解析析式式为为y=-x2+2x+3.(2)y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,抛抛物物线线的的顶顶点点坐坐标标为为D(1,4),ABD中中AB边边上上的的高高为为4.令令y=0,得得-x2+2x+3=0,解解得得x1=-1,x2=3,解解得得
