1、1数学发展史大致可以分为四个阶段数学发展史大致可以分为四个阶段一、数学起源时期一、数学起源时期二、初等数学时期二、初等数学时期三、近代数学时期三、近代数学时期四、现代数学时期四、现代数学时期2一、数学起源时期一、数学起源时期（远古远古(4000年前年前)公元前公元前5世纪世纪）这一时期：建立自然数的概念；认识简单的几何这一时期：建立自然数的概念；认识简单的几何图形；算术与几何尚未分开。图形；算术与几何尚未分开。3数学起源于四个数学起源于四个“河谷文明河谷文明”地域地域?非洲的非洲的 尼罗河尼罗河-埃及：几何的故乡埃及：几何的故乡?西亚的西亚的 底格里斯河与幼发拉底河：巴比伦底格里斯河与幼发拉底
2、河：巴比伦-代代数的源头；数的源头；?中南亚的中南亚的 印度河与恒河印度河与恒河-印度：阿拉伯数字的印度：阿拉伯数字的诞生地诞生地?东亚的东亚的 黄河与长江黄河与长江-中国中国?文明程度的主要标志之一就是数学的萌芽4记数记数?刻痕记数是人类最早的数学活动，考古发现有刻痕记数是人类最早的数学活动，考古发现有3万年前的狼万年前的狼骨上的刻痕。骨上的刻痕。?古埃及的象形数字出现在约公元前古埃及的象形数字出现在约公元前3400年；年；?巴比伦的楔形数字出现在约公元前巴比伦的楔形数字出现在约公元前2400年；年；?中国的甲骨文数字出现在约公元前中国的甲骨文数字出现在约公元前1600年。年。?古埃及的纸草
3、书和羊皮书及巴比伦的泥板文书记载了早期数古埃及的纸草书和羊皮书及巴比伦的泥板文书记载了早期数学的内容，年代可以追溯到公元前学的内容，年代可以追溯到公元前2000年，其中甚至有年，其中甚至有“整勾股数整勾股数”及二次方程求解的记录。及二次方程求解的记录。56莱茵德纸草书(1650 B.C.)7莫斯科纸草书h22v?(a?ab?b)38古巴比伦的“记事泥板”中关于“整勾股数”的记载”（约公元前1000年）（马其顿，1988年）20世纪在两河流域有约50万块泥版文书出土，其中300多块与数学有关（文达，1982年）9古埃及陶罐103500B.C.西安半坡遗址西安半坡遗址?中国西安半坡遗址反映的是约公
4、元前中国西安半坡遗址反映的是约公元前 6000年的人类年的人类活动，活动，?那里出土的彩陶上有多种几何图形，包括平行线、那里出土的彩陶上有多种几何图形，包括平行线、三角形、圆、长方形、菱形等。三角形、圆、长方形、菱形等。11半坡遗址陶器残片12半坡遗址房屋基础13埃及埃及几何的故乡几何的故乡公元前2017世纪，埃及已经积累了丰富的数学知识，其中包括算术（乘除法、分数）、几何、三角，以及有关一元一次方程、一元二次方程的求解问题、关于谷仓容积的测定、关于金字塔斜面倾角的计算等等。他们能求出长方形、三角形、梯形和圆形的面积，其中圆周率求至3.16。14巴比伦代数的源头会开平方、开立方，并有平方、平方
5、根、立方和立方根表知道二次方程的求根公式,知道了勾股定理，能测量不规则形1面积和截顶角锥体的体积，并推算出圆周率的近似值为3。8印度阿拉伯数字的诞生地印度数学的发展晚于埃及、巴比伦、希腊和中国印度人的特殊贡献有：阿拉伯数字是印度人的发现，他们大约在公元前4世纪就开始使用这种数字，直到公元8世纪才传入阿拉伯国家，后经阿拉伯人传入欧洲用符号“0”表示零是印度人的一大发明15中国的周髀算经中国的周髀算经（公元前（公元前200年成书）年成书）宋刻本周髀算经周髀算经，（西周，前（西周，前1100年）年）（上海图书馆藏）（上海图书馆藏）周髀算经周髀算经中关于勾股定理的记载16二、初等数学时期二、初等数学时
6、期（前前6世纪世纪公元公元16世纪世纪）也称常量数学时期，这期间逐渐形成了初等也称常量数学时期，这期间逐渐形成了初等数学的主要分支：算术、几何、代数、三角。数学的主要分支：算术、几何、代数、三角。该时期的基本成果，构成现在中学数学的主要该时期的基本成果，构成现在中学数学的主要内容。内容。这一时期按照地域又分为三个阶段：这一时期按照地域又分为三个阶段：古希腊；东方；欧洲文艺复兴。古希腊；东方；欧洲文艺复兴。171古希腊?（前6世纪公元6世纪）在公元前75世纪的古希腊，数学知识是从埃及传到那里的。古希腊最早的数学家可能是泰利斯。据说他提出并证明了下列几何学基本命题：圆为它的任一直径所平分；半圆的圆
7、周角是直角；等腰三角形两底角相等；相似三角形的各对应边成比例；若两三角形两角和一边对应相等则两三角形全等。几何的系统论述出现在公元前5世纪，德谟克利特提出了对于他那个时代相当深刻的、包含积分萌芽思想的一些论断。不可公度线段的发现及随之建立起来的不可公度比的理论，是希腊数学的巨大成就。这种逻辑构造方法，显然超出了经验知识的范围，是纯数学最后定形的标志。18古希腊人对数学似乎有特别大的 兴趣，尤其是在几何学方面。这在一定程度上应当归功于毕达哥拉斯派和柏拉图，他们都是数学的崇拜者和鼓吹者。据说柏拉图在他所创办的学园的门口上写着：“不懂几何学者不得入内”。据说，欧几里得几何学中关于平行线、三角形、多边
8、形、圆、球和正多面体的许多定理，实际上都是毕达哥拉斯派的成果。公元前5世纪，在希腊曾存在过一个被称为智者派的哲学派别，他们之中有一些数学家提出了三个著名的几何作图难题：即只用圆规和直尺，（1）作一正方形使其面积等于一已知圆的面积；（2）作一立方体使其体积等于一已知立方体的两倍；（3）三等分一任意角。19毕达哥拉斯(公元前580年公元前500年)“万物皆数万物皆数”20The School of Athensby Raphael21柏拉图柏拉图 与与亚里士多德亚里士多德倡导逻辑演绎的结构22(Euclid,公元前330年前275年)五条公理1.等于同量的量彼此相等；2.等量加等量，其和相等；3.
9、等量减等量，其差相等；4.彼此能重合的物体是全等的；5.整体大于部分。五条公设1.过两点能作且只能作一直线；2.线段(有限直线)可以无限地延长；3.以任一点为圆心,任意长为半径,可作一圆；4.凡是直角都相等；5.同平面内一条直线和另外两条直线相 交，若在直线同侧的两个内角之和小于180，则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交。23各卷简介各卷简介第一卷：几何基础。重点内容有三角形全等的条件，三角形边和角的大小关系，平行线理论，三角形和多角形等积（面积相等）的条件，第一卷最后两个命题是 毕达哥拉斯定理的正逆定理；第二卷：几何与代数。讲如何把三角形变成等积的正方形；其中12、13命题相当于余弦定
10、理。第三卷：本卷阐述圆，弦，切线，割线，圆心角，圆周角的一些定理。第四卷：讨论圆内接和外切多边形的做法和性质；第五卷：讨论比例理论，多数是继承自欧多克斯的比例理论,被认为是 最重要的数学杰作之一 第六卷：讲相似多边形理论，并以此阐述了比例的性质。第五、第七、第八、第九、第十卷：讲述比例和算术的理论；第十卷是篇幅最大的一卷，主要讨论无理量（与给定的量不可通约的量），其中第一命题是极限思想的雏形。第十一卷、十二、十三卷：最后讲述立体几何的内容.24阿波罗尼奥斯（约公元前 262前190）圆锥曲线论圆锥曲线论25托勒密三角学三角学丢番图不定方程不定方程26砂粒计算砂粒计算是专讲计算方法和计算理论的一
11、本著作。阿基米德要计算充满宇宙大球体内的砂粒数量，他运用了很奇特的想象，建立了新的量级计数法，确定了新单位，提出了表示任何大数量的模式，这与对数运算是密切相关的。阿基米德圆的度量，利用圆的外切与内接96边形，求得圆周率为：22/7223/71，这是数学史上最早的，明确指出误差限度的值。他还证明了圆面积等于以圆周长为底、半径为高的等腰三角形的面积（使用的是穷竭法）。球与圆柱球与圆柱熟练地运用穷竭法证明了球的表面积等于球大圆面积的四倍；球的体积是一个圆锥体积的四倍，这个圆锥的底等于球的大圆，高等于球的半径。阿基米德还指出，如果等边圆柱中有一个内切球，则圆柱的全面积和它的体积，分别为球表面积和体积的
12、1.5倍。27抛物线求积法抛物线求积法研究了曲线图形求积的问题，并用穷竭法建立了这样的结论：“任何由直线和直角圆锥体的截面所包围的弓形（即抛物线），其面积都是其同底同高的三角形面积的三分之四。”他还用力学权重方法再次验证这个结论，使数学与力学成功地结合起来。论螺线论螺线是阿基米德对数学的出色贡献。他明确了螺线的定义，以及对螺线的面积的计算方法。在同一著作中，阿基米德还导出几何级数和算术级数求和的几何方法。平面的平衡平面的平衡是关于力学的最早的科学论著，讲的是确定平面图形和立体图形的重心问题。浮体浮体，是流体静力学的第一部专著，阿基米德把数学推理成功地运用于分析浮体的平衡上，并用数学公式表示浮体
13、平衡的规律。论锥型体与球型体论锥型体与球型体讲的是确定由抛物线和双曲线其轴旋转而成的锥型体体积，以及椭圆绕其长轴和短轴旋转而成的球型体的体积。阿基米德的理论为几何和微积分的开创写下了不可磨灭的一章28阿基米德的墓碑上刻的图阿基米德的墓碑上刻的图29此后是千余年的停滞此后是千余年的停滞?随着希腊科学的终结，在欧洲出现了科学萧条，数学发展的中心移到了印度、中亚细亚和阿拉伯国家在这些地方从5世纪到15世纪的一千年中间，数学主要由于计算的需要而发展印度人发明了现代记数法（后来传到阿拉伯，从发掘出的材料看，中国是使用十进制最早的国家），引进了负数?到了16世纪，欧洲文艺复兴时代，欧洲人向阿拉伯学习，并根
14、据阿拉伯文的翻译熟识了希腊科学，从阿拉伯沿袭过来的印度记数法逐渐在欧洲确定下来，欧洲科学终于越过了先人的成就302东方（公元2世纪15世纪）?中国：西汉（前中国：西汉（前2世纪）世纪）宋元时期宋元时期（公元（公元10世纪世纪14世纪）世纪）?印度：公元印度：公元8世纪世纪12世纪世纪?阿拉伯国家：公元阿拉伯国家：公元8世纪世纪15世纪世纪311）中国中国西汉（前西汉（前2世纪）世纪）周髀算经、九章算术周髀算经、九章算术魏晋南北朝（公元魏晋南北朝（公元3世纪世纪5世纪）世纪）刘徽、祖冲之刘徽、祖冲之出入相补原理，割圆术，算出入相补原理，割圆术，算?32九章算术是我国第一部最重要的数学专著，大约成
15、书于东汉初期（公元1世纪）。书中载有246个应用题目的解法，涉及算术、初等代数、初等几何等多方面的内容。其中所载述的分数四则运算、比例算法、用勾股定理解决一些测量中的问题等，都是当时世界最高水平的工作。关于负数的概念和正负数加减法则的记载是世界上最早的。书中还讲述了开平方、开立方、一元二次方程的数值解法、联立一次方33程解法等许多问题。割圆术“中国古代数学第一人”刘徽（约公元3 世纪）34第第24届届“国际数学家大会国际数学家大会”（ICM）International Congress of Mathematicians35为2002北京“国际数学家大会”发行的纪念邮资明信片 JP10836该
16、会标的涵义？该会标的涵义？37第第24届届“国际数学家大会国际数学家大会”会标会标宋刻本周髀算经周髀算经，（上海图书馆藏）（上海图书馆藏）38周髀算经周髀算经中的中的“勾股定理勾股定理”（约公元前700年）周髀算经周髀算经卷上记载卷上记载西周开国西周开国时时期周公与大夫期周公与大夫商高商高讨论勾股测量讨论勾股测量的对话，商高答周公问时提到的对话，商高答周公问时提到“勾广三勾广三股修四股修四经隅五经隅五”，这这是勾股定理的特例。是勾股定理的特例。卷上另一处叙述卷上另一处叙述周公后人周公后人荣方与陈荣方与陈子（约公元前子（约公元前6、7世纪）的对话世纪）的对话中，则包含了勾股定理的一般形中，则包含
17、了勾股定理的一般形式式：“以日下为勾，日高为以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，股，勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日。得邪至日。”39中国数学史上最先完成中国数学史上最先完成勾股定理的证明勾股定理的证明赵爽(东汉末至三国时代,生平不详，约生活于公元3世纪)研究过张衡的天文学著作灵宪和刘洪的乾象历，也提到过“算术”。他的主要贡献是约在222年深入研究了周牌算经，为该书写了序言，并作了详细注释。其中一段530余字的“勾股圆方图”注文是数学史上极有价值的文献。其中的弦图弦图相当于运用面积的“出入相补”方法，证明了勾股定理。40勾股定理?将勾股定理表述为：“勾股各自乘，并之，为弦实。开方
18、除之，即弦。”?证明方法叙述为：“按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实，加差实，亦成弦实。”4142祖冲之（公元429-500年）43宋元时期宋元时期（公元（公元10世纪世纪14世纪）世纪）秦九韶（约秦九韶（约1202约约1261）、）、宋元四大家宋元四大家李冶李冶（11921279）、）、杨辉杨辉（13世纪下半叶）、世纪下半叶）、朱世杰（朱世杰（13世纪末世纪末14世纪初）世纪初）天元术、正负开方术天元术、正负开方术 高次方程数值求解；高次方程数值求解；大衍总数术大衍总数术 一次同余式组求解一次同余式组求解44杨辉45秦九韶程序秦九韶程序秦九韶程序是中国南宋
19、时期的数学家秦九韶最先提出的一种解一元高次方程的算法-正负开方术。后来在西方被十九世纪初英国数学家威廉霍纳重新发现，被称作霍纳算法霍纳算法。霍纳在1819年发表解所有次方程论文，被评为“必使发明人因为发现此算法而置身于重要发明家之列”。46秦九韶的数书九章秦九韶的数书九章卷一卷一“大衍总数术大衍总数术”“贾宪三角贾宪三角”，也称也称“杨辉三角杨辉三角”47朱世杰的四元玉鉴朱世杰的四元玉鉴四元高次方程组，（，（天、地、人、物天、地、人、物 x、y、z、w）（“天元基金天元基金”）482 2）印度）印度现代记数法（公元现代记数法（公元8 8世纪）世纪）印度数码，有印度数码，有0 0，负数；，负数；
20、十进制（后经阿拉伯传入欧洲，也称阿拉伯记数法）十进制（后经阿拉伯传入欧洲，也称阿拉伯记数法）数学与天文学交织在一起数学与天文学交织在一起阿耶波多阿耶波多阿耶波多历数书（公元阿耶波多历数书（公元499499年）年）开创开创弧度制度量弧度制度量婆罗摩笈多婆罗摩笈多婆罗摩修正体系、肯特卡迪亚格婆罗摩修正体系、肯特卡迪亚格代数成就可贵代数成就可贵婆什迦罗婆什迦罗莉拉沃蒂、算法本源（莉拉沃蒂、算法本源（1212世纪）世纪）算术、代数、组合学算术、代数、组合学493 3）阿拉伯国家）阿拉伯国家（公元（公元8 8世纪世纪1515世纪）世纪）花拉子米花拉子米代数学代数学（阿拉伯文还原与对消计算概要）（阿拉伯文
21、还原与对消计算概要）曾长期作为欧洲的数学课本，曾长期作为欧洲的数学课本，“代数代数”一词，即起源于此；阿一词，即起源于此；阿拉伯语原意是拉伯语原意是“还原还原”，即，即“移项移项”；此后，代数学的内容，；此后，代数学的内容，主要是解方程。主要是解方程。阿布尔维法阿布尔维法奥马尔海亚姆奥马尔海亚姆阿拉伯学者在吸收、融汇、保存古希腊、印度和中国数学阿拉伯学者在吸收、融汇、保存古希腊、印度和中国数学成果的基础上，又有他们自己的创造，使阿拉伯数学对欧洲文成果的基础上，又有他们自己的创造，使阿拉伯数学对欧洲文艺复兴时期数学的崛起，作了很好的学术准备。艺复兴时期数学的崛起，作了很好的学术准备。50花拉子米
22、当时阿拉伯天文学家和数学家工作的情景513欧洲文艺复兴时期（公元16世纪17世纪初）1）方程与符号）方程与符号意大利意大利 塔塔利亚、卡尔丹、费拉里塔塔利亚、卡尔丹、费拉里三次方程的求根公式法国法国 韦达韦达引入符号系统，代数成为独立的学科52“算法家”与“算盘家”的比赛韦达532 2）透视与射影几何）透视与射影几何画家画家 布努雷契、柯尔比、迪勒、达芬奇布努雷契、柯尔比、迪勒、达芬奇数学家数学家 阿尔贝蒂、德沙格、帕斯卡、拉伊尔阿尔贝蒂、德沙格、帕斯卡、拉伊尔3 3）对数）对数简化天文、航海方面烦杂计算，把乘除转化为加减。简化天文、航海方面烦杂计算，把乘除转化为加减。苏格兰数学家苏格兰数学家
23、 纳皮尔纳皮尔54中世纪油画55文艺复兴时代的油画56英国画家柯尔比(1754)卷首插图（违反透视原理）57三、近代数学时期：变量数学三、近代数学时期：变量数学（公元（公元17世纪世纪19世纪初）世纪初）家庭手工业、作坊 工场手工业 机器大工业贸易及殖民地 航海业空前发展对运动和变化的研究成了自然科学的中心对运动和变化的研究成了自然科学的中心 变变量、函数量、函数1.笛卡尔的坐标系（1637年几何学）恩格斯：恩格斯：“数学中的转折点是笛卡儿的变数，有了数学中的转折点是笛卡儿的变数，有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和
24、积分也就立刻成为必要的数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了了”58(1637)笛卡尔(R.Descartes,1596-1650)59解析几何是代数与几何相结合的产物解析几何是代数与几何相结合的产物?在几何学里，笛卡尔给出了解析几何原理，这就是利用坐标方法把在几何学里，笛卡尔给出了解析几何原理，这就是利用坐标方法把具有两个未知数的任意代数方程看成平面上的一条曲线。解析几何给出具有两个未知数的任意代数方程看成平面上的一条曲线。解析几何给出了回答如下问题的途径：了回答如下问题的途径：（1）通过计算来解决曲线作图的几何问题；）通过计算来解决曲线作图的几何问题；（2）求给定某种几何性质的曲线
25、的方程；）求给定某种几何性质的曲线的方程；（3）利用代数方法证明新的几何定理；）利用代数方法证明新的几何定理；（4）反过来，从几何的观点来看代数方程。）反过来，从几何的观点来看代数方程。?因此，解析几何是代数与几何相结合的产物，在采用坐标方法的同时，因此，解析几何是代数与几何相结合的产物，在采用坐标方法的同时，用代数方法研究几何对象。用代数方法研究几何对象。?在笛卡尔之前，从古希腊起在数学中占优势地位的是几何学；解析几何在笛卡尔之前，从古希腊起在数学中占优势地位的是几何学；解析几何则使代数获得更广的意义和更高的地位。则使代数获得更广的意义和更高的地位。60牛顿和莱布尼兹的微积分（17世纪后半期
26、）到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。归结起来，大约有四种主要类型的问题：促使微积分产生的因素。归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。第二类问题是求曲线的切线的问题。第二类问题是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的
27、重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。61十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，如法国的费马、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。为微积分的创立做出了贡献。十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作。他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题（微分学的中心问题），一个是求积问题(积分学
28、的中心问题)。牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量，因此这门学科早期也称为无穷小分析，这正是现在数学中分析学这一大分支名称的来源。牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑，莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的。62牛顿：牛顿：Isaac Newton牛顿的一项被广泛认可的成就是广义二项式定理，它适用于任何幂。他发现了牛顿恒等式、牛顿法，分类了立方面曲线（两变量的三次多项式），为有限差理论作出了重大贡献，并首次使用了分式指数和坐标几何学得到丢番图方程的解。他用对数趋近了调和级数的部分和（这是欧拉求和公式的一个先驱），并首次有把握地使用幂级数和反转（revert）幂级数。他还发现了的一个新公式。
29、63莱布尼茨莱布尼茨(Gottfriend Wilhelm Leibniz，1646-1716)莱布尼茨曾讨论过负数和复数的性质，得出复数的对数并不存在，共扼复数的和是实数的结论。在后来的研究中，莱布尼茨证明了自己结论是正确的。他还对线性方程组进行研究，对消元法从理论上进行了探讨，并首先引入了行列式的概念，提出行列式的某些理论，此外，莱布尼茨还创立了符号逻辑学的基本概念。6465微分方程、变分法、微分几何、复变函数、概率论?微分方程论研究的是这样一种方程，方程中的未知项不是数，而是函数。微分方程论研究的是这样一种方程，方程中的未知项不是数，而是函数。?变分法研究的是这样一种极值问题，所求的极值
30、不是点或数，而是函数。变分法研究的是这样一种极值问题，所求的极值不是点或数，而是函数。?微分几何是关于曲线和曲面的一般理论。微分几何是关于曲线和曲面的一般理论。?与微分几何相联系的解析几何在与微分几何相联系的解析几何在18世纪也有长足的发展，被推广到三维情世纪也有长足的发展，被推广到三维情形，并突破了笛卡尔当年解析几何仅仅作为求解几何问题的代数技巧的界形，并突破了笛卡尔当年解析几何仅仅作为求解几何问题的代数技巧的界限。限。微积分及其中变量、函数和极限等概念，运动、变化等思想，使辩证微积分及其中变量、函数和极限等概念，运动、变化等思想，使辩证法渗入了全部数学；并使数学成为精确地表述自然科学和技术
31、的规律及有法渗入了全部数学；并使数学成为精确地表述自然科学和技术的规律及有效地解决问题的得力工具。效地解决问题的得力工具。66莱昂哈德莱昂哈德欧拉：欧拉：他对微分方程理论作出了重要贡献。他还是欧拉近似他对微分方程理论作出了重要贡献。他还是欧拉近似法的创始人，这些计算法被用于计算力学中。此中最有名法的创始人，这些计算法被用于计算力学中。此中最有名的被称为欧拉方法。的被称为欧拉方法。在数论里他引入了欧拉函数。在数论里他引入了欧拉函数。自然数的欧拉函数被定义为小于并且与互质的自然数自然数的欧拉函数被定义为小于并且与互质的自然数的个数。例如，因为有四个自然数的个数。例如，因为有四个自然数1，3，5和和
32、7与与8互质。互质。在分析领域，是欧拉综合了莱布尼兹的微分与牛顿的流数。在分析领域，是欧拉综合了莱布尼兹的微分与牛顿的流数。他在他在1735年由于解决了长期悬而未决的贝塞尔问题而年由于解决了长期悬而未决的贝塞尔问题而获得名声：获得名声：其中是黎曼函数。其中是黎曼函数。欧拉将虚数的幂定义为如下公式欧拉将虚数的幂定义为如下公式:这就是欧拉公式，它这就是欧拉公式，它成为指数函数的中心。成为指数函数的中心。在初等分析中，从本质上来说，要么是指数函数的变在初等分析中，从本质上来说，要么是指数函数的变种，要么是多项式，两者必居其一。被理查德种，要么是多项式，两者必居其一。被理查德费曼称为费曼称为“最卓越的
33、数学公最卓越的数学公”的则是欧拉公式的一个简单推论（通的则是欧拉公式的一个简单推论（通常被称为欧拉恒等式）：常被称为欧拉恒等式）：在在1735年，他定义了微分方程中有用的欧拉年，他定义了微分方程中有用的欧拉-马歇罗尼马歇罗尼常数：常数：他是欧拉他是欧拉-马歇罗尼公式的发现者之一，这一公式在计马歇罗尼公式的发现者之一，这一公式在计算难于计算的积分、求和与级数的时候极为有效。算难于计算的积分、求和与级数的时候极为有效。67欧洲最大的数学家欧洲最大的数学家-约瑟夫约瑟夫拉格朗日拉格朗日近百余年来，数学领域的许多新成就都可以直接或间接地溯源于拉格朗日的工作。所以他在数学史上被认为是对分析数学的发展产生
34、全面影响的数学家之一。被誉为“欧洲最大的数学家欧洲最大的数学家”。68约瑟夫约瑟夫拉格朗日：拉格朗日：方程解法方程解法在柏林工作的前十年，拉格朗日把大量时间花在代数方程和超越方程的解法上，作出了有价值的贡献，推动了代数学的发展。他提交给柏林科学院两篇著名的论文：关于解数值方程和关于方程的代数解法的研究。把前人解三、四次代数方程的各种解法，总结为一套标准方法，即把方程化为低一次的方程(称辅助方程或预解式)以求解。置换群置换群他试图寻找五次方程的预解函数，希望这个函数是低于五次的方程的解，但未获得成功。然而，他的思想已蕴含着置换群概念，对后来阿贝尔和伽罗华起到启发性作用，最终解决了高于四次的一般方
35、程为何不能用代数方法求解的问题。因而也可以说拉格朗日是群论的先驱。数论数论在数论方面，拉格朗日也显示出非凡的才能。他对费马提出的许多问题作出了解答。如，一个正整数是不多于4个平方数的和的问题等等，他还证明了圆周率的无理性。这些研究成果丰富了数论的内容。幂级数幂级数在解析函数论以及他早在1772年的一篇论文中，在为微积分奠定理论基础方面作了独特的尝试，他企图把微分运算归结为代数运算，从而抛弃自牛顿以来一直令人困惑的无穷小量，并想由此出发建立全部分析学。但是由于他没有考虑到无穷级数的收敛性问题，他自以为摆脱了极限概念，其实只是回避了极限概念，并没有能达到69他想使微积分代数化、严密化的目的。不过，
36、他用幂级数表示函数的处理方法对分析学的发展产生了影响，成为实变函数论的起点。4代数基本定理（1799年）?这一时期代数学的主题仍然是代数方程。这一时期代数学的主题仍然是代数方程。?18世纪的最后一年，高斯的博士论文给出了具有重世纪的最后一年，高斯的博士论文给出了具有重要意义的要意义的“代数基本定理代数基本定理”的第一个证明。的第一个证明。?该定理断言，在复数范围里，该定理断言，在复数范围里，n次多项式方程有次多项式方程有n个个根。根。70高斯（C.F.Gauss,1777-1855）18岁时发现了质数分布定理和最小二乘法。通过对足够多的测量数据的处理后，可以得到一个新的、概率性质的测量结果。在
37、这些基础之上，高斯随后专注于曲面与曲线的计算，并成功得到高斯钟形曲线（正态分布曲线）。其函数被命名为标准正态分布（或高斯分布），并在概率计算中大量使用。高斯的数学研究几乎遍及所有领域，在数论、代数学、非欧几何、复变函数和微分几何等方面都做出了开创性的贡献。71“分析分析”、“代数代数”、“几何几何”三大分支三大分支在在18世纪，由微积分、微分方程、变分法等构成的世纪，由微积分、微分方程、变分法等构成的“分析分析”，已经成为与代数、几何并列的数学的三大学科，已经成为与代数、几何并列的数学的三大学科，并且在这个世纪里，其繁荣程度远远超过了代数和几何。并且在这个世纪里，其繁荣程度远远超过了代数和几何
38、。第三时期（近代数学时期）的基本结果，如解析第三时期（近代数学时期）的基本结果，如解析几何、微积分、微分方程，高等代数、概率论等，几何、微积分、微分方程，高等代数、概率论等，已成为高等学校数学教育的主要内容。已成为高等学校数学教育的主要内容。72四、现代数学时期四、现代数学时期（1919世纪世纪2020年代年代进一步划分为三个阶段：进一步划分为三个阶段：现代数学酝酿阶段（现代数学酝酿阶段（18201870年）；年）；现代数学形成阶段（现代数学形成阶段（18701950年）；年）；现代数学繁荣阶段（现代数学繁荣阶段（1950现在）。现在）。）这一时期虽然还不到二百年的时间，内容却非常丰富，这一时
39、期虽然还不到二百年的时间，内容却非常丰富，远远超过了过去所有数学的总和。远远超过了过去所有数学的总和。73现代数学时期现代数学时期（1919世纪世纪2020年代年代）康托的康托的“集合论集合论”2 2柯西、魏尔斯特拉斯等人的柯西、魏尔斯特拉斯等人的“数学分析数学分析”3 3希尔伯特的希尔伯特的“公理化体系公理化体系”4 4高斯、罗巴契夫斯基、波约尔、黎曼的高斯、罗巴契夫斯基、波约尔、黎曼的“非欧几何非欧几何”5 5伽罗瓦创立的伽罗瓦创立的“抽象代数抽象代数”6 6黎曼开创的黎曼开创的“现代微分几何现代微分几何”7 7庞加莱创立的庞加莱创立的“拓扑学拓扑学”8.8.其它：数论、随机过程、数理逻辑
40、、组合数学、其它：数论、随机过程、数理逻辑、组合数学、计算数学、分形与混沌计算数学、分形与混沌 等等。等等。现代数学时期的结果，也成为高校数学、力学、物现代数学时期的结果，也成为高校数学、力学、物理学等学科数学教学的内容，并被科技工作者所使用。理学等学科数学教学的内容，并被科技工作者所使用。74柯西（1789-1857)75单复变函数柯西最重要和最有首创性的工作是关于单复变函数论的。18世纪的数学家们采用过上、下限是虚数的定积分。但没有给出明确的定义。柯西首先阐明了有关概念，并且用这种积分来研究多种多样的问题，如实定积分的计算，级数与无穷乘积的展开，用含参变量的积分表示微分方程的解等等。分析基
41、础柯西在综合工科学校所授分析课程及有关教材给数学界造成了极大的影响。自从牛顿和莱布尼茨发明微积分(即无穷小分析，简称分析)以来，这门学科的理论基础是模糊的。为了进一步发展，必须建立严格的理论。柯西为此首先成功地建立了极限论。柯西极限论的功能设函数f(x)在点x。的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数（无论它多么小），总存在正数，使得当x满足不等式0|x-x。|时，对应的函数值f(x)都满足不等式：|f(x)-A|那么常数A 就叫做函数f(x)当 xx。时的极限。常微分方程柯西在分析方面最深刻的贡献在常微分方程领域。他首先证明了方程解的存在和唯一性。在他以前，没有人提出过这种
42、问题。通常认为是柯西提出的三种主要方法，即柯西利普希茨法，逐渐逼近法和强级数法，实际上以前也散见到用于解的近似计算和估计。柯西的最大贡献就是看到通过计算强级数，可以证明逼近步骤收敛，其极限就是方程的所求解。76其他贡献虽然柯西主要研究分析，但在数学中各领域都有贡献。关于用到数学的其他学科，他在天文和光学方面的成果是次要的，可是他却是数理弹性理论的奠基人之一。除以上所述外，他在数学中其他贡献如下：1分析方面：在一阶偏微分方程论中行进丁特征线的基本概念；认识到傅立叶变换在解微分方程中的作用等等。2几何方面：开创了积分几何，得到了把平面凸曲线的长用它在平面直线上一些正交投影表示出来的公式。3代数方面
43、：首先证明了阶数超过了的矩阵有特征值；与比内同时发现两行列式相乘的公式，首先明确提出置换群概念，并得到群论中的一些非平凡的结果；独立发现了所谓“代数要领”，即格拉斯曼的外代数原理。77康托尔(18451918)魏尔斯特拉斯（1815-1897）78希尔伯特 D.(Hilbert,David，18621943)他的主要研究内容有：不变量理论、代数数域理论、几何基础、积分方程、物理学、一般数学基础，其间穿插的研究课题有：狄利克雷原理和变分法、华林问题、特征值问题、“希尔伯特空间”等。他于1900年8月8日在巴黎第二届国际数学家大会上，提出了新世纪数学家应当努力解决的23个数学问题，被认为是20世纪
44、数学的制高点，对这些问题的研究有力推动了20世纪数学的发展，在世界上产生了深远的影响。希尔伯特领导的数学学派是19世纪末20世纪初数学界的一面旗帜，希尔伯特被称为“数学界的无冕之王”。（著名的哥德巴赫猜想也是问题之一，以陈景润为代表的中国数学家获得了重大突破，但还没有彻底解决。）79现代群论伽罗瓦(1811-1832)阿贝尔(1802-1829)非欧几何波约尓波约尓罗巴切夫斯基罗巴切夫斯基80计算机19451945年制造成功，到现在已经改变或正在改变整个数学的面貌。围绕着计算机，很快就形成了计算科学这门庞大的学科。离散数学的飞速发展，动摇了分析数学十七世纪以来占有的统治地位，目前大有和分析数学
45、分庭抗礼之势。自古以来，数学证明都是在数学家纸上完成的。随着计算机的发明，出现了机器证明这一新课题。19761976年，两位美国数学家用计算机终于证明了“四色定理”这个难题，轰动了数学界，它开辟了人机合作去解决理论问题的途径。81集合论的观点渗透到各个领域里去，逐渐取得支配的地集合论的观点渗透到各个领域里去，逐渐取得支配的地位。公理化方法日趋完善。数学一方面勇往直前，另一方位。公理化方法日趋完善。数学一方面勇往直前，另一方面又重视基础的巩固。数理逻辑和数学基础已经成为数学面又重视基础的巩固。数理逻辑和数学基础已经成为数学大厦的基础，在它的上面矗立起泛函分析，抽象代数和拓大厦的基础，在它的上面矗
46、立起泛函分析，抽象代数和拓扑学这三座宏伟的建筑。扑学这三座宏伟的建筑。数学在获得广泛应用的同时，新理论、新观点、新方数学在获得广泛应用的同时，新理论、新观点、新方法也不断产生，如代数拓扑、积分论、测度论、赋范环论、法也不断产生，如代数拓扑、积分论、测度论、赋范环论、紧李群等许多重大的基础学科，都是本世纪产生和成熟的。紧李群等许多重大的基础学科，都是本世纪产生和成熟的。先代数学在这些基础上又向更新的高度攀登。本世纪的许先代数学在这些基础上又向更新的高度攀登。本世纪的许多古典难题，包括希尔伯特的多古典难题，包括希尔伯特的2323个问题，有些已经获得了个问题，有些已经获得了解决，有些取得了可喜的成果，还有不少振奋人心的突破。解决，有些取得了可喜的成果，还有不少振奋人心的突破。82数学的发展是坎坷而又辉煌的，地球仍然在转数学的发展是坎坷而又辉煌的，地球仍然在转动，数学永远不会停止前进的脚步，等待着后人能动，数学永远不会停止前进的脚步，等待着后人能够超越那些伟人，为将来数学的发展贡献出自己的够超越那些伟人，为将来数学的发展贡献出自己的一份力量！一份力量！未来的数学会怎样？没人知道。83
