1、二、高阶导数的运算法则二、高阶导数的运算法则第三节一、高阶导数的概念一、高阶导数的概念机动 目录 上页 下页 返回 结束 高阶导数 第二章 一、高阶导数的概念一、高阶导数的概念机动 目录 上页 下页 返回 结束 即即),(xf xxfd)(d 记为记为xxfxxfx)()(lim0或记为或记为)(xf定义：定义：若函数若函数)(xfy 的导数的导数)(xf 在点在点x处可导，处可导，即即存在，存在，xxfxxfx)()(lim0)(xf则称此极限为函数则称此极限为函数在点在点x处的二阶导数，处的二阶导数，)(xfxxxfdd)(ddxxfxd)(ddd22d)(dxxf或或,y.dd22xy机
2、动 目录 上页 下页 返回 结束)(yy或或)dd(dddd22xyxxy类似地类似地,二阶导数的导数称为三阶导数二阶导数的导数称为三阶导数,1n阶导数的导数称为阶导数的导数称为 n 阶导数阶导数,y ,)4(y)(,ny或或,dd33xy,dd44xynnxydd,依次类推依次类推,分别记作分别记作这里这里设设,baxy求.y 例例1.机动 目录 上页 下页 返回 结束 设设,sints求求.s 例例2.2.解：解：y y,a0 stcostcos s)sin(ttsin2解：解：机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3 证：证：22yxx满足满足310.y y 证明：证明：y 22xx3
3、221(2)xx3 10.y y 212xxx212 2xx(22)x y 22xx212xxx(1)x31y 例例4.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 设设,xya求求.)(ny解：解：lnxyaa2lnxyaa3lnxyaa依次类推依次类推,可得可得()()lnxnxnaaa特别有特别有:()()xnxee机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5.求求xysin的的 n 阶导数。阶导数。xycos和和解解:xycos)sin(2x)cos(2 xy)sin(22x)2sin(2x)2cos(2 xy)3sin(2x一般地一般地,xxnsin()(sin)(类似可
4、证类似可证:xxncos()(cos)()2n)2n机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 一般地一般地()(sin)sin()2nnaxaaxn()(cos)cos()2nnaxaaxn()sin()sin()2nnaxbaaxbn()cos()cos()2nnaxbaaxbn机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 设设2cos,yx求求.)(ny补：补：解：解：2cosyx)(ny()()11()(cos2)22nnx102 cos(2)22nxnxxx22sin21 1cos22cos1cos22x()(cos)cos()2nnaxaaxn12co
5、s(2)2nxn例例6.求求)1ln(xy的的 n 阶导数。阶导数。nx)1(解解:!)1(n规定规定 0!=1,11xy,)1(12xy,)1(21)1(32xy )(ny1)1(n,机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 即即()1(1)!ln(1)(1)(1)nnnnxx 例例7.7.求求xy 的的 n 阶导数。阶导数。机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 证明：证明：1xy2)1(xynnxny)1()1()(特别地，特别地，12)1()()(nnxnn!n0)()(nmxmn 当当时时设,2210nnxaxaxaay求求.)(ny解解:1ay
6、xa221nnxan 212ayxa3232)1(nnxann依次类推依次类推,nnany!)(233xa例例8.可得可得机动 目录 上页 下页 返回 结束,3xaeay 例例9.设设求求解解:特别有特别有:,xaey.)(ny,xaeay,2xaeay xanneay)(xnxee)()(机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例10.设设,3)(23xxxxf求使求使)0()(nf存在的最高存在的最高分析分析:)(xf0 x,43x0 x,23xxxfx02lim)0(300 xxfx04lim)0(3000 x0 x)(xf,122x,62x)0(fxxx206lim0)0(fxxx201
7、2lim0)(xf但是但是,12)0(f,24)0(f)0(f 不存在不存在._n2又又0 x,24x0 x,12x阶数阶数机动 目录 上页 下页 返回 结束 推导推导 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 二、函数乘积的二、函数乘积的 阶导数的莱布尼兹公式阶导数的莱布尼兹公式n都有都有 n 阶导数阶导数,则则)(xuu 及及)(xvv 设函数设函数vu 3)(vuvuvu)(vu)(vuvuvuvu 2vu )(vuvu vu 3vu 用数学归纳法可证用数学归纳法可证莱布尼兹公式莱布尼兹公式成立成立.即即()()()0()nnkn kknkuvC uv比较二项式定理展开式：比较二
8、项式定理展开式：0()nnkn kknkuvC uv（形式完全一样形式完全一样）例例11.,22xexy 求求.)20(y解解:设设,22xveux则则xkkeu2)(2,2xv,2 v0)(kv代入莱布尼兹公式代入莱布尼兹公式,得得22(20)()xx e2022xe2xxe219220 x2!219202xe2202)9520(2xxxe2182)20,2,1(k)20,3(k机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 20(20)()200kkkkC uv(20)(0)1(19)2(18)2020uvC uvC uv,sin2xxy 求求.)10(y解解:设设,sin2x
9、vxu则则)2sin()(kxuk,2xv,2 v0)(kv代入莱布尼兹公式代入莱布尼兹公式,得得2(10)(sin)xxsin(10)2x2x)29sin(10 xx2!29102xx sin2xcos20)28sin(x)10,2,1(k)10,3(k10(10)()100kkkkC uv(10)(0)1(9)2(8)1010uvC uvC uv练：练：xsin900!2)1()1(nynn)(nyn例例12.设设,arctan xy 求求).0()(ny解解:,112xy即即1)1(2yx用莱布尼兹公式求用莱布尼兹公式求 n 阶导数阶导数)1(2xx22令令,0 x得得)0()1()0(
10、)1()1(nnynny),2,1(n由由,0)0(y得得,0)0(y,0)0()4(y,)0()12(my)0()12(2)12(mymm)0(!)2()1(ymm0)0()2(my)1(ny12,!)2()1(2,0)0()(mnmmnymn即即),2,1,0(m由由,1)0(y得得)0(!)2()1()0()12(ymymm机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 思考与练习思考与练习xy1211)()1(!)1(2nnnxnyxxxy11123,)1(!1)(nxnynn1.如何求下列函数的如何求下列函数的 n 阶导数阶导数?xxy11)1(xxy1)2(3解解:解解
11、:机动 目录 上页 下页 返回 结束 2312xxy1121xxy11)()1(1)2(1!)1(nnnnxxny(3)12)1)(2(1xBxAxx提示提示:令)2(xA原式2x)1(xB原式1x11机动 目录 上页 下页 返回 结束 xxy66cossin)4(3232)(cos)(sinxxyxxxx4224coscossinsin222)cos(sinxx x2sin431283)(nyn433ba)(ba)(22babax4cos8385)4cos(2nx 22cos1sin2xx22cossin3解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 1)(!nxfn2.(填空题填空题)(1)设
12、设,16cos)23()(22xxxxfn则则)2()(nf)(xf16cos)1(2xxn)()(xfn16cos)1(2xxn提示提示:各项均含因各项均含因子子(x 2)nx)2(!n22!n(2)已知已知)(xf任意阶可导任意阶可导,且且2n时时,)()(xfn提示提示:,)()(2xfxf则当则当)(xf)()(2xfxf3)(!2xf )(xf)()(3!22xfxf4)(!3xf机动 目录 上页 下页 返回 结束 3.试从试从 yyx1dd导出导出.)(dd322yyyx 解：解：yxyyxdddddd22 y1xddyxdd2)(yy y13)(yy 同样可求同样可求33ddyx(见见 P103 题题4)第四节 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业P101 1 （11）（12）3 10 （2）第四节 目录 上页 下页 返回 结束 解解:设)(sin2xfxy 求,y 其中 f 二阶可导.y yxxfxcos)(sin2)(sin2xf备用题备用题x2)(sin xf2x)(sin xf xcos)cos)(sin()(sin2(2xxfxxfx)sin)(sin2xxfxx2)(sin xf xcosxxfx22cos)(sin)(sin)sincos4()(sin22xfxxxxxf)(sincos22xfxx 机动 目录 上页 下页 返回 结束
