1、 二次函数和反比例函数二次函数和反比例函数教学与教法的分析教学与教法的分析 一次函数一次函数 二次函数二次函数 函数的性质是由自变量参与的运算决定的函数的性质是由自变量参与的运算决定的,因此，因此，对运算的认识决定了对函数性质的认识对运算的认识决定了对函数性质的认识.数与式、数与式、方程、不等式为函数学习作好知识储备方程、不等式为函数学习作好知识储备一、二次函数和反比例函数的地位和作用一、二次函数和反比例函数的地位和作用(一一)从数学角度看从数学角度看(初中的三个基本函数初中的三个基本函数)反比例函数反比例函数从定量从定量知识到知识到变量知识变量知识 用运动变用运动变化的观点化的观点看问题看问
2、题 初中代数终结性初中代数终结性知识在初中代数知识在初中代数有有统领统领地位地位转变观念转变观念形成思想形成思想查漏补缺使数与式、查漏补缺使数与式、方程与不等式的知方程与不等式的知识进一步完善识进一步完善.为高中进为高中进一步学习一步学习奠定基础奠定基础一、一、二次函数和反比例函数的地位和作用二次函数和反比例函数的地位和作用(一一)从数学角度看从数学角度看(初中的三个基本函数初中的三个基本函数)从日常生活、参加生产和进一步学习的需要看，关于函数的知识是非常重要的。例如，在讨论社会问题，经济问题讨论社会问题，经济问题时，越来越多地运用数学思想、方法，函数的内容在其中占有相当的地位。又如，计算机日
3、渐普及，学习、使用计算机是需要函数的有关知识的。一、二次函数和反比例函数的地位和作用一、二次函数和反比例函数的地位和作用(二二)从实际应用角度看从实际应用角度看实际问题实际问题二次函数二次函数利用二次函数的利用二次函数的图象与性质求解图象与性质求解实际问题的答案实际问题的答案目标目标本章知识结构本章知识结构二、二次函数学习内容二、二次函数学习内容本章主要内容本章主要内容二、二次函数学习内容二、二次函数学习内容函数函数二次函数二次函数反比例函数反比例函数概念概念图象图象性质性质概念概念图象图象性质性质定义定义表达式表达式表达式的确定表达式的确定自变量的取值范围自变量的取值范围函数值的范围函数值的
4、范围定义定义表达式表达式表达式的确定表达式的确定自变量的取值范围自变量的取值范围抛物线的开口方向抛物线的开口方向抛物线的抛物线的平移平移、翻折、旋转、翻折、旋转抛物线的顶点坐标和对称轴抛物线的顶点坐标和对称轴增减性增减性最大值、最小值最大值、最小值增减性增减性二次函数的应用二次函数的应用反比例函数的应用反比例函数的应用 三、二次函数教学建议三、二次函数教学建议课时的安排课时的安排 19.1 二次函数二次函数 约约 2课时课时 19.2 二次函数二次函数 （a 0）的图象）的图象 约约10课时课时 19.3 二次函数的性质二次函数的性质 约约3课时课时 19.4 二次函数的应用二次函数的应用 约
5、约4课时课时 19.5反比例函数反比例函数 约约1课时课时 19.6反比例函数的图象、性质、应用反比例函数的图象、性质、应用 约约3课时课时 总结与总结与 复习复习 约约3课时课时cbxaxy2三、二次函数教学建议三、二次函数教学建议（一）二次函数的教学教什么？（一）二次函数的教学教什么？1.二次函数的教育价值二次函数的教育价值初中函数内容展开的线路与顺序初中函数内容展开的线路与顺序函数概念函数概念函数模型函数模型一次函数一次函数反比例函数反比例函数二次函数二次函数模型的学习和研究深化对函数概念的理解，深化研究函数模型的学习和研究深化对函数概念的理解，深化研究函数的一般思路与方法。的一般思路与
6、方法。标准标准中对于函数的定位是中对于函数的定位是“函数是描述客观世界变化规律函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型的重要数学模型”函数的作用在于函数的作用在于“为各种数量变为各种数量变化提供数学模型化提供数学模型”.三、二次函数教学建议三、二次函数教学建议三、二次函数教学建议三、二次函数教学建议二次函数是在函数概念的基础上，具体研究的第二个函二次函数是在函数概念的基础上，具体研究的第二个函数模型，是应用研究函数性质的一般方法去研究函数的数模型，是应用研究函数性质的一般方法去研究函数的第二次实践，对学生而言，即学习了新的函数模型，又第二次实践，对学生而言，即学习了新的函数模型，又增强了对函数
7、研究方法的掌握，为后续研究其他函数积增强了对函数研究方法的掌握，为后续研究其他函数积累宝贵经验。累宝贵经验。二次函数的学习过程充满着二次函数的学习过程充满着观察、分析、抽象、概括等观察、分析、抽象、概括等方法方法，蕴含着从，蕴含着从特殊到一般，数形结合、函数的思想特殊到一般，数形结合、函数的思想，因此学习二次函数是学生认识函数的又一次飞跃。因此学习二次函数是学生认识函数的又一次飞跃。更为重要的是，让学生深入理解科学研究的一般方更为重要的是，让学生深入理解科学研究的一般方法，这对提高学生的科学素养，实现教育要关注法，这对提高学生的科学素养，实现教育要关注“人的发展人的发展”十分有意义。十分有意义
8、。三、二次函数教学建议三、二次函数教学建议2.二次函数教学教什么？二次函数教学教什么？首先，教学生提出问题首先，教学生提出问题学生的疑问：既然已经学习了函数的概念，为什么还要学生的疑问：既然已经学习了函数的概念，为什么还要研究具体的函数，函数有千千万万，为何要专门研究二研究具体的函数，函数有千千万万，为何要专门研究二次函数？次函数？建议：新课引入要给学生强刺激建议：新课引入要给学生强刺激（1）形式新）形式新（2）有用）有用 问题均来自现实背景，而且在现实生活中大量问题均来自现实背景，而且在现实生活中大量存在，让他产生研究二次函数的必要性存在，让他产生研究二次函数的必要性思索这一类函数的共同本质
9、属性。思索这一类函数的共同本质属性。三、二次函数教学建议三、二次函数教学建议其次，让学生学习寻找一般科学研究方法其次，让学生学习寻找一般科学研究方法应问学生，研究完概念后，接下来干什么？应问学生，研究完概念后，接下来干什么？在学生明确要研究二次函数的性质后，再问怎在学生明确要研究二次函数的性质后，再问怎么研究二次函数的性质？即通过什么途径，用么研究二次函数的性质？即通过什么途径，用什么方法研究它的性质，研究那些性质？什么方法研究它的性质，研究那些性质？三、二次函数教学建议三、二次函数教学建议另外，二次函数的概念、图像和性质，当然是重要知识，另外，二次函数的概念、图像和性质，当然是重要知识，是本
10、章的重点，是学生要努力学习掌握的。但是，教学是本章的重点，是学生要努力学习掌握的。但是，教学紧抓知识的落实是不够的，比知识更重要的是发展学生紧抓知识的落实是不够的，比知识更重要的是发展学生的认识力。的认识力。三、二次函数教学建议三、二次函数教学建议（二）（二）三个节点的教学构想三个节点的教学构想（1）概念引入要突出过程概念引入要突出过程1.二次函数的概念、图象和性质二次函数的概念、图象和性质努力让学生感悟到：努力让学生感悟到：1.这是一组函数关系式这是一组函数关系式它符合函数的定义；它符合函数的定义；2.这样的函数关系很有用，值得关注这样的函数关系很有用，值得关注他们来自数学与生活；他们来自数
11、学与生活；3.这样的函数关系式从未见过，是新兴事物。这样的函数关系式从未见过，是新兴事物。这样的函数关系式有什么共同特点？概念的建立水到渠成。这样的函数关系式有什么共同特点？概念的建立水到渠成。在整个建立概念的过程中，一是要给学生充分地在整个建立概念的过程中，一是要给学生充分地观察、比观察、比较、分析、概括的时间和空间较、分析、概括的时间和空间，特别是概括事物的本质属，特别是概括事物的本质属性，要给学生充分的思考时间，让学生举类似的例子。性，要给学生充分的思考时间，让学生举类似的例子。注重全体学生的动手参与注重全体学生的动手参与,要让学生会用描点法作图要让学生会用描点法作图,明确过程，明确过程
12、，作图规范作图规范.培养学生观察及抽象概括能力培养学生观察及抽象概括能力,要引导学生不断总结图象特征要引导学生不断总结图象特征和性质和性质,加深认识加深认识.注重由简到繁注重由简到繁,从特殊到一般的探索过程从特殊到一般的探索过程.2cbxaxy2axy 2khxay-2)(kaxyhxay-2)(三、二次函数教学建议三、二次函数教学建议（2）图象、性质的学习要注意探究）图象、性质的学习要注意探究动手画动手画观察形观察形分析数分析数两对比两对比再归纳再归纳三、二次函数教学建议三、二次函数教学建议重视描点法画图重视描点法画图描点法描点法画图画图给学生创造给学生创造进一步体会函数意义的进一步体会函数
13、意义的机会机会.对于二次函数图象、性质的探讨，建议教师留对于二次函数图象、性质的探讨，建议教师留出一段时间与学生共同列表、画图，在探索的出一段时间与学生共同列表、画图，在探索的过程中，会有许多疑问过程中，会有许多疑问.而这恰是而这恰是学习学习新新知识的知识的开始开始.三、二次函数教学建议三、二次函数教学建议 函数图象画法函数图象画法列表列表描点描点连线连线 xy=x2y=-x2.0-2-1.5-1-0.511.50.5200.2512.2540.2512.2540-0.25-1-2.25-4-0.25-1-2.25-42xy2xy-二次函数二次函数 的图象与性质的图象与性质 )0(2aaxy1
14、9.2.1 让学生体会让学生体会 1 1、图象方面图象方面画图画图是学生应具备的是学生应具备的基本技能基本技能,图象图象是学生研究性质的重要是学生研究性质的重要媒介媒介,（1 1）画函数图象的）画函数图象的方法方法：（2 2）画函数图象的）画函数图象的步骤步骤：（3 3）画）画函数图象函数图象的的注意事项注意事项：2、性质方面性质方面了解研究函数性质的了解研究函数性质的一般方法一般方法.(1)(1)二次函数二次函数图象特征图象特征:开口方向，开口大小开口方向，开口大小,对称轴，顶点坐标对称轴，顶点坐标 (2)(2)性质性质:最值、增减性最值、增减性注意纠正学生错误，从一开始就训练学生注意纠正学
15、生错误，从一开始就训练学生规范作图规范作图的能力的能力.y yaxax2 2a0a0a0a0a0a0时开口向上，并向上无限延伸；时开口向上，并向上无限延伸；当当a0时开口向下，并向下无限延伸时开口向下，并向下无限延伸.(0,0)(0,c)(h,0)(h,k)44,2(2abacab-abx2-直线直线y轴轴在对称轴左侧，在对称轴左侧，y随随x的增大而减小的增大而减小在对称轴右侧，在对称轴右侧，y随随x的增大而增大的增大而增大在对称轴左侧，在对称轴左侧，y随随x的增大而增大的增大而增大在对称轴右侧，在对称轴右侧，y随随x的增大而减小的增大而减小xyxy00minyx时，00maxyx时cyxmi
16、n0时，cyxmax0时abacyabx4422min-时，abacyabx4422max-时，y轴轴2)(hxay-khxay-2)(直线直线x=h直线直线x=hx=h时ymin=0 x=h时ymax=0 x=h时ymin=kx=h时ymax=k二次函数二次函数 的图象特征与的图象特征与a a、b b、c c的关系的关系 )0(2acbxaxya a决定图象的开口方向；决定图象的开口方向；c c决定图象与决定图象与y y轴交点的位置；轴交点的位置；a a、b b共同决定图象的对称轴位置（共同决定图象的对称轴位置（左同右异左同右异）b=0 b=0 对称轴对称轴 y y轴轴 2.2.二次函数解析
17、式的确定二次函数解析式的确定-待定系数法待定系数法0)a x)(xxa(xy0)k(ah)a(xy0)c(abxaxy2122-（）双根式：顶点式：一般式：（已知三点坐标）（已知三点坐标）（已知对称轴、顶点）（已知对称轴、顶点）（已知抛物线与（已知抛物线与x轴轴 的交点）的交点）必须落实必须落实人人落实人人落实三、二次函数教学建议三、二次函数教学建议三、二次函数教学建议三、二次函数教学建议3.3.用函数观点看一元二次方程用函数观点看一元二次方程要让学生明确二次函数、一元二次方程、一元二次不等要让学生明确二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的联系与区别。式之间的联系与区别。三、二次函数教学
18、建议三、二次函数教学建议4.4.实际问题与二次函数实际问题与二次函数体现模型化思想体现模型化思想重点是数量关系的构建重点是数量关系的构建试题选取要精，要有典型性、代表性试题选取要精，要有典型性、代表性三、二次函数教学建议三、二次函数教学建议5.5.解题的教学要体现方法解题的教学要体现方法2016北京中考试题北京中考试题27.在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOy中，抛物线中，抛物线与与x轴的交点为轴的交点为A,B.(1)(1)求抛物线的顶点坐标；求抛物线的顶点坐标；（2 2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点。）横、纵坐标都是整数的点叫做整点。当当m m1 1时，求线段时，求线段ABAB上整点的个
19、数；上整点的个数；若抛物线在点若抛物线在点A,BA,B之间的部分与线段之间的部分与线段ABAB所围成所围成的区域内（包括边界）恰有的区域内（包括边界）恰有6 6个整点，结合函数个整点，结合函数的图象，求的图象，求m m的取值范围。的取值范围。考点：考点：二次函数的图象和性质；二次函数的图象和性质；三、二次函数教学建议三、二次函数教学建议2015北京中考试题北京中考试题（7分）（分）（2015北京）在平面直角坐标系北京）在平面直角坐标系xOy中，过点（中，过点（0，2）且平行于）且平行于x轴的直线，与直线轴的直线，与直线y=x1交于点交于点A，点，点A关于直线关于直线x=1的对称点为的对称点为B，抛，抛物线物线C1：y=x2+bx+c经过点经过点A，B(1）求点）求点A，B的坐标；的坐标；(2）求抛物线）求抛物线C1的表达式及顶点坐标；的表达式及顶点坐标；(3）若抛物线）若抛物线C2：y=ax2（a0）与线段）与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图恰有一个公共点，结合函数的图象，求象，求a的取值范围的取值范围考点：考点：二次函数的图象和性质；二次函数的图象和性质；待定系数法求二次函数表达式待定系数法求二次函数表达式1299912999数学数学网网
