1、第六章第六章 层合平板的弯曲、层合平板的弯曲、屈曲与振动屈曲与振动 6.2 6.1 6.3 6.4 6.5 本章研究的层合平板是各种复合材料本章研究的层合平板是各种复合材料层合板中最简单又应用最广泛的一种，其层合板中最简单又应用最广泛的一种，其限制是限制是：6.1 引引 言言d)与层合板理论的假设相同，对于薄层合与层合板理论的假设相同，对于薄层合板有下列基体假设：板有下列基体假设：(1)即近似为平面应力状态，只即近似为平面应力状态，只考虑考虑 和和 。,xy,xy,xy,zxzyz xy,xzyz,xyxy0zz(2)采用直法线假设，横向剪应变采用直法线假设，横向剪应变 以以及及 近似为零近似
2、为零,即固有的中面法线不变即固有的中面法线不变形。这与形。这与 有矛盾，但通常忽略不有矛盾，但通常忽略不计。计。以及以及 是是 的线性函数。的线性函数。,u vz(3)位移位移 和和 与板厚相比较很小，应变与板厚相比较很小，应变 与与1相比很小相比很小,且略去转动惯量。且略去转动惯量。,u vw,xyxy 这些假设表明：讨论的是小应变和小挠这些假设表明：讨论的是小应变和小挠度问题；另外假设限于正交各向异性材料，度问题；另外假设限于正交各向异性材料，只分析经典层合板理论而不考虑层间应力和只分析经典层合板理论而不考虑层间应力和横向剪切影响。横向剪切影响。(,)q x y6.2 层合平板的弯曲层合平
3、板的弯曲问题是在横向载荷问题是在横向载荷 作用下求解作用下求解合板的合板的挠度、变形和应力挠度、变形和应力。,z w,x u,y vabtxyNxNyQ(,)q x yyxNyNxQxM(,)q x yyxMyMxyMzyx000 xxxyijyijyxyxyxyNKNABKNK层合板的合力和合力矩与中应变与曲率有下列关系层合板的合力和合力矩与中应变与曲率有下列关系000 xxxyijyijyxyxyxyMKMBDKMK式中有式中有0000000 xyxyuxvxuvyx22222xyxywxKwKyKwzx y(6.1)d d,xy t从从层层合合板板中中取取一一元元素素xyMdxxNNxx
4、yQyNxyNxQ(,)q x ydxyxyNNxxdxyxxxQQdxyxyMMxxxyNxNxMdxxMMxxyMxyMdyyyMMydyyyNNydyyyyQQdyxyxyNNy其上作用合力和其上作用合力和合力矩，如图合力矩，如图6-3,dxdyt从层合板中取一板元素从层合板中取一板元素不计体积力，用合力和合力矩表示的平衡方程为不计体积力，用合力和合力矩表示的平衡方程为0,xyxNNxyx方向平衡方向平衡0,xyyNNxyy方向平衡方向平衡0,xyyNNxyz方向平衡方向平衡0,xyyqxyQQ,xyxxMMQxy,xyyyMMQxy绕绕y轴力矩平衡轴力矩平衡绕绕x轴力矩平衡轴力矩平衡(
5、6.2)由上式后三式综合得由上式后三式综合得2222220 xyyxMMMqxx yy 将第四章的刚度矩阵和将第四章的刚度矩阵和(6.1)代入代入(6.2)和和(6.3)可得到可得到用用 表示的平衡方程表示的平衡方程(6.3)00,u v w11,16,66,16,1216,2()xxyyyyxxxyA uA uA uA vAAv26,11,16,3yyxxxxxyA vB wB w1226,26,(2)0 xyyyyyBBwB w16,1266,26,66,26,()2xxxyyyxxxyA uAAuA uA vA v22,16,1266,(2)yyxxxxxyA vB wBBw26,22,
6、30 xyyyyyB wB w(6.4)(6.5)11,16,1266,26,42(2)4xxxxxxxyxxyyxyyyD wD wDDwD w22,11,16,1266,3(2)yyyyxxxxxyxxyD wB uB uBBu26,16,1226,(2)yyyxxxxxyB uB vBBv26,22,3(,)xyyyyyB vB vq x y上述三个方程是相互耦合的,必须联立求解22211111666222LAAAxx yy,u v w引进下列算子222121612662622()LAAAAxx yy(6.6)22222662622222LAAAxx yy 444331116126643
7、2242(2)LDDDDxx yx y 442622344DDx yy 333313111612662632233(2)LBBBBBxx yx yy 33332316126626223223(2)3LBBBBBxx yx yy 其中算子其中算子 和和 含有系数含有系数 ，反映拉伸、，反映拉伸、弯曲的耦合效应；弯曲的耦合效应；分别反分别反映拉伸、剪切耦合和弯曲、扭转耦合。映拉伸、剪切耦合和弯曲、扭转耦合。13L23LijB162616261626,AABBDD这时平衡方程式这时平衡方程式(6.4),(6.5),(6.6)可简单表示为可简单表示为1112130L uL vL w1222230L u
8、L vL w132333L uL vL wq(6.7)当层合板对称于中面时，当层合板对称于中面时，则式则式(6.4)、0ijB 式式(6.5)与式与式(6.6)相互独立，由式相互独立，由式(6.6)得出得出对称层合板弯曲的平衡方程为对称层合板弯曲的平衡方程为11,16,1266,42(2)xxxxxxxyxxyyD wD wDDw26,22,4(,)xyyyyyyyD wD wq x y(6.8)用式用式(6.7)表示，则为表示，则为11120L uL v1323(,0)LL 12220L uL v(6.9)330L w 与与 的方程相互独立，可分别求解。的方程相互独立，可分别求解。,u vw
9、ijD 式式(6.9)表示，它与均匀材料各向异性板表示，它与均匀材料各向异性板的方程形式一样，只是在的方程形式一样，只是在 时有所不同。时有所不同。如果是特殊正交各向异性层合板，由于如果是特殊正交各向异性层合板，由于16260DD，平衡方程简化为，平衡方程简化为11,1266,22,2(2)xxxxxxyyyyyyD wDDwD wq(6.10)此式与正交各向异性均匀材料板方程形此式与正交各向异性均匀材料板方程形式一样。式一样。11221266(2),DDDDD，平衡方程为，平衡方程为,2/xxxxxxyyyyyywwwq D 如果各层均为各向同性材料，但每层材如果各层均为各向同性材料，但每层
10、材料不一定相同，则料不一定相同，则16260,DD这与各向同性板方程形式完全一样。这与各向同性板方程形式完全一样。非对称层合板的一般情况，需要联合求非对称层合板的一般情况，需要联合求解平面问题和弯曲问题。相应地，在边界条解平面问题和弯曲问题。相应地，在边界条件中也要同时规定平面边界条件和弯曲边界件中也要同时规定平面边界条件和弯曲边界条件，对于四阶微分方程，每边需要有条件，对于四阶微分方程，每边需要有4个边个边界条件。界条件。8种可能类型的简支和固支边界条件种可能类型的简支和固支边界条件一般分类如下：一般分类如下：1.简支边界条件简支边界条件(用用s表示表示)1:s0,0,nnnttwMuu u
11、u2:s0,0,nnnttwMNN uu3:s0,0,nnnntntwMuu NN4:s0,0,nnnntntwMNNNN 式中符号意义见图式中符号意义见图6-4，n,t分别表示分别表示法线和切线。法线和切线。2.固支边界条件固支边界条件(用用c表示表示)1:c,0,0,nnnttwwuu uu2:c,0,0,nnnttwwNN uu3:c,0,0,nnnntntwwuu NN4:c,0,0,nnnntntwwNNNN 矩形板的矩形板的4边，每边可用上述边，每边可用上述8种边界种边界条件的任一种表示，因此可能范围很大，条件的任一种表示，因此可能范围很大，如果再考虑自由边界条件，则每边有如果再考
12、虑自由边界条件，则每边有12种种可能的边界条件，这里只讨论四边简支的可能的边界条件，这里只讨论四边简支的矩形层合板。矩形层合板。nNtuxntNntNnNnutunuy 考虑一四边简支并承受分布横向载荷考虑一四边简支并承受分布横向载荷作用的矩形层合板，如果作用的矩形层合板，如果6-5所示：所示：zxyab(,)q x y(,)q x y 用双三角级数解，将横向载荷用双三角级数解，将横向载荷 展开展开为：为：(,)q x y11(,)sinsinmnmnm xn xq x yqab(6.11)一般来说一般来说 ，为任意正整数，为任意正整数，可由下可由下式求出式求出,m nmnq0(,)q x y
13、q0 04(,)sinsind da bmnm xnyqq x yx yabab 对于均布载荷对于均布载荷 ，可得出，可得出下面分别讨论几个特殊层合板情况的解下面分别讨论几个特殊层合板情况的解0021,3,51,3,516(,)sinsinmnqm xn xq x yqmnab(6.12)0,ijB 1.特殊正交各向异性层合板特殊正交各向异性层合板 这里指特殊正交各向异性材料单层板或对称于这里指特殊正交各向异性材料单层板或对称于中面的多层特殊正交各向异性层合板，由于中面的多层特殊正交各向异性层合板，由于 又又 162616260,AADD既不存在拉既不存在拉-弯耦合，弯耦合，也不存在拉剪和弯扭
14、耦合，板的挠度也不存在拉剪和弯扭耦合，板的挠度 只由下面只由下面的平衡方程描述的平衡方程描述 w0021,3,51,3,516(,)sinsinmnqm xn xq x yqmnab 这里指特殊正交各向异性材料单层板或对称于这里指特殊正交各向异性材料单层板或对称于中面的多层特殊正交各向异性层合板，由于中面的多层特殊正交各向异性层合板，由于 0021,3,51,3,516(,)sinsinmnqm xn xq x yqmnab 162616260,AADD 这里指特殊正交各向异性材料单层板或对称于这里指特殊正交各向异性材料单层板或对称于中面的多层特殊正交各向异性层合板，由于中面的多层特殊正交各向
15、异性层合板，由于 0021,3,51,3,516(,)sinsinmnqm xn xq x yqmnab 162616260,AADD0021,3,51,3,516(,)sinsinmnqm xn xq x yqmnab 11,1266,22,2(2)(,)xxxxxxyyyyyyD wDDwD wq x y0,xa简支边界条件为简支边界条件为11,12,0,0 xxxyywMD wD w,u v由于由于 在微分方程中不出现，故边界条件很简单。在微分方程中不出现，故边界条件很简单。0,yb12,22,0,0yxxyywMD wD w设挠度设挠度 为为w(6.14)(6.13)w w11sins
16、inmnmnm xnywaab满足上述边界条件，将此式代入方程满足上述边界条件，将此式代入方程 可得可得w4422411126622/2(2)mnmnqammnnDDDDaabb 代入式代入式 可得可得 的精确解，对于均布载荷的精确解，对于均布载荷 有解有解0q(6.14)4422411126622/2(2)mnmnqammnnDDDDaabb 代入式代入式 可得可得 的精确解，对于均布载荷的精确解，对于均布载荷 有解有解4422411126622/2(2)mnmnqammnnDDDDaabb 4422411126622/2(2)mnmnqammnnDDDDaabb 1,3,51,3,5042
17、246111266221sinsin162(2)mnm xm ymnabqwmmnnDDDDaabb (6.15)由由 可求应变和应力，注意式可求应变和应力，注意式 中只用中只用w(6.15)11,D122266,DDD表示层合板的刚度。表示层合板的刚度。2.对称角铺设层合板对称角铺设层合板 层合板对称，层合板对称，。这类层合板。这类层合板 不不为零，其基本方程为为零，其基本方程为(6.8)0ijB 1626,DD11,16,1266,42(2)xxxxxxxyxxyyD wD wDDw26,22,4(,)xyyyyyyyD wD wq x y0,xa边界条件为边界条件为11,12,16,0,
18、20 xxxyyxywMD wD wD w0,xb12,22,26,0,20yxxyyxywMD wD wD w(6.16)由于由于 存在，挠度存在，挠度 的表达式不的表达式不能象能象 那样用双三角级数展开，那样用双三角级数展开，1626,DDw(6.14)否则否则,xxxyw和和 将出现正弦和余弦奇次函数，变量不将出现正弦和余弦奇次函数，变量不能分离，此外挠度展开式也不能满足边界条能分离，此外挠度展开式也不能满足边界条件，因此只能用近似解法件，因此只能用近似解法瑞利瑞利-利茨法利茨法(Rayleigh-Ritz),xyyyw0,xa11,12,16,0,20 xxxyyxywMD wD wD
19、 w应变能应变能1()d d2xxyyxyxyUM KM KM Kx y(6.17)将第四章刚度表达式第二式代入上式将第四章刚度表达式第二式代入上式1112161()2xyxyxUD KD KD KK122226()xyxyyD KD KD KK162666()d dxyxyxyD KD KD KKx y2211,12,22,1()2()2xxxxyyyyDwD w wDw266,16,26,4()44d dxyxxyyyyxyDwD w wD w wx yd dWqw x y外力所做的功为外力所做的功为层合板总势能为层合板总势能为211,12,1()+22xxxxyyUWDwD w w222
20、2,66,16,()+4()4yyxyxxxyDwDwD w w26,42d dyyxyD w wqw x y(6.18)仍选取仍选取(6.14)的表达式，它满足位移边界条件，即的表达式，它满足位移边界条件，即0,:xaw0;w0,:yb0w。但不满足力的边界条件，即但不满足力的边界条件，即0,:xa0;xM 0,:yb0;yM 这时可用最小势能原理，将这时可用最小势能原理，将 表达式代入表达式代入 表达表达式，由最小势能原理式，由最小势能原理0mna 如果选取如果选取 则由上式则由上式得到得到49个线性代数方程，可解得个线性代数方程，可解得49个未知量个未知量 。0,:xa1,2,.,7,1
21、,2,.7,mnmna2211/1,DD 126611(2)/1.5,DDD16112611/0.5,DDDD40max110.00452a qwD40max110.00425a qwD26D16D40max110.00452a qwD40max110.00425a qwD40max110.00452a qwD3.反对称正交铺设层合板反对称正交铺设层合板1266,;AA1122,AA11221266,DDD D112211,B BB126611(2)/1.5DDD2211/1,DD 16260,DD40max110.00324a qwD1122,B B11,66,1266,11,()0 xxy
22、yxyxxxA uA uAAvB w11,1266,()2(2)xxxxyyyyxxyyDwwDDw11,()(,)xxxyyyB uvq x y1266,66,11,()0 xyyyyyyAAuA vB w(6.19)0,xa11,11,12,0,0 xxxxyywMB uD wD w11,12,11,0,0 xxyxxvNA uA vB w(6.20)0,yb11,12,22,0,0yyxxyywMB uD wD w12,11,11,0,0yxyyyuNA uA vB w11cossinmnmnm xnyuaab11scosmnmnm xnyvbinab11ssinmnmnm xnywci
23、nab(6.21)0cossinxyqqab4.反对称角铺设层合板反对称角铺设层合板162616260,AADD1626,BB11,66,1266,()xxyyxyA uA uAAv16,26,30 xxyyyyB wB w1266,66,22,()xyxxyyAAuA vA v(6.20)16,26,20 xxxxyyB wB w11,1266,2(2)xxxxxxyyD wDDw22,16,(3)yyyyxxyxxxD wBuv26,(3)(,)yyyxyyBuvq x y(6.20)3:s0,0,nnnntntwMuu NN0,xa16,11,0,()xyxxxwMBuvD w66,16
24、,0,()xyyxxxuNAuvB w(6.21)0,yb26,12,0,()yyxxxwMBuvD w66,11,0,()xyyxxxvNAuvB w12,0yyD w26,0yyB w22,0yyD w26,0yyB w11sincosmnmnm xnyuaab11cossmnmnm xnyvbinab11ssinmnmnm xnywcinab(6.22)11cossmnmnm xnyvbinab11ssinmnmnm xnywcinab11cossmnmnm xnyvbinab6.3 层合平板的屈曲层合平板的屈曲,xyxyN N N,0 x xxy yNN,0y yxy xNN(6.23
25、),2x xxxy xyy yyxxxMMMNw,20 xyxyyyyNwNw,xxNMw011121611121602122262122260162666162666xxxyyyxyxyxyMBBBDDDKMBBBDDDKBBBDDDKM011121611121602122262122260162666162666xxxyyyxyxyxyNAAABBBKNAAABBBKAAABBBKN4:s0,0,0,0nnnntwMNN1:s0,0,0,0nnntwMuu2:s0,0,0,0nnntwMNu3:s0,0,0,0nnnntwMuN1:s,0,0,0,0nnntwwuu2:s,0,0,0,0n
26、nntwwNu3:s,0,0,0,0nnnntwwuN4:s,0,0,0,0nnnntwwNN(6.24)(6.25)6.3.2.在平面载荷作用下四边简支层合板的屈在平面载荷作用下四边简支层合板的屈曲曲xNxxNxyxNxbazxNx1.特殊正交各向异性层合板特殊正交各向异性层合板16260,AA0ijB 0ijB 16260,AA0ijB 16260,DD11,1226,2(2)xxxxxxyyDwDDw22,0yyyyxxxDwNw(6.26)0,:xa0,w11,12,20 xxxyyMDwDw0,:yb0,w12,22,20yxxyyMDwDwmnsinsinmnm xn ywaabx
27、22422111266222(2)xmnnaNDDDDabbm y(6.27)(6.28)1n xN2242211126622112(2)xnaNDDDDabbm mxN/a b2.对称角铺设层合板对称角铺设层合板0ijB 11,16,1266,22(2)xxxxxxxyxxyyDwDwDDw26,22,40 xyyyyyyyxxxDwDwNw(6.29)0,:xa0,w11,12,16,20 xxxyyxyMD wD wD w0,:yb0,w12,22,26,20yxxyyxyMD wD wD w1626,D D11sinsinmnmnm xn ywaab1626,D D11sinsinmn
28、mnm xn ywaab3.反对称正交铺设层合板反对称正交铺设层合板1122,AA2211,BB1122,DD11,66,1266,11,()0 xxyyxyxxxAuAuAAvBw1266,66,11,11,()0 xyxxyyyyyAAuAvAvBw(6.30)11,1266,()2(2)xxxxyyyyxxyyDwwDDw11,()0 xxxyyyxxxBuvNw0,:xa0,w11,11,12,0 xxxxyyMBuDwDw0,:yb0,w0,v11,12,11,0 xxyxxNAuAvBw11,12,22,0yxxxyyMBvDwDw12,11,11,0yxyyyNAuAvBw(6.
29、31)(6.32)0cossinm xn yu uab0sincosm xn yv vab0sinsm xn yw winab22212 23 1322 1311 2333211 22122xT T TT TT TaNTmT TT22111166mnTAAab121266mnTAAab31311mTBa 22221166nmTAAba32311nTBb 44223311126622mnmnTDDDabab (6.33)110B13230,TT1122,DD2,n 1,1,2,3.;nm,m nmn1,2,3.;mxNmn6.4 层合平板的振动层合平板的振动,0 x xxy yNN,0 xy x
30、y yNN(6.34),2x xxxy xyy yyttMMMw,x yw,ttwq,xyxyNNN11,1266,222(2)xxxxxxyyyyyyDwDDwDw16,16,26,4440 xxxyxxxyxyyyttDwDwDww(6.35)1.特殊正交各向异性层合板特殊正交各向异性层合板0,ijB 162616260,AADD11,1266,22,2(2)0 xxxxxxyyyyyyttDwDDwDww(6.36)0,:xa0,w11,12,0 xxxyyMDwDw0,:yb0,w11,22,0yxyyMDvDw(6.36)(,)(cossin)(,)w x y tAtBtw x y(
31、6.38)(6.37)(,)sinsinm xn xw x yab(,)(cossin)sinsinm xn xw x y tAtBtab(6.39)4224421112662222mmnnDDDDaabb 1,1mn1122126622/10,2/1DDDDDKnmKnm111212313.605555.8309510.4403113.001122121225582222,DKa4224102Kmm nn112212666612,2DDDDDDDxyxyxyxyxyxyxyxy6.5 层合板中耦合影响的简单讨论层合板中耦合影响的简单讨论 从以上讨论的各种层合板弯曲、屈曲和振动从以上讨论的各种
32、层合板弯曲、屈曲和振动问题可以看出耦合效应的影响。问题可以看出耦合效应的影响。层合板中拉伸弯曲耦合效应一般会增加挠度层合板中拉伸弯曲耦合效应一般会增加挠度-降低屈曲载荷和振动频率，因此可以得出耦合效降低屈曲载荷和振动频率，因此可以得出耦合效应减小层合板有效刚度的结论。应减小层合板有效刚度的结论。同样，存在扭转弯曲耦合刚度同样，存在扭转弯曲耦合刚度 使层合使层合板挠度增加，屈曲载荷和频率减小，在拉弯和弯板挠度增加，屈曲载荷和频率减小，在拉弯和弯扭两种耦合都存在时，对于一定厚度的反对成或扭两种耦合都存在时，对于一定厚度的反对成或对称层合板挠度、屈曲载荷和振动频率的影响随对称层合板挠度、屈曲载荷和振动频率的影响随着层数增加而迅速衰减。着层数增加而迅速衰减。1626,DD 为消除耦合效应，理论上可采用对称铺设，为消除耦合效应，理论上可采用对称铺设，此外，对非对称层合板可按一定规则增加铺设层此外，对非对称层合板可按一定规则增加铺设层层数以减小耦合效应。层数以减小耦合效应。
