1、5.6函数函数y yAsinAsin（x+x+）第五章高中数学高中数学 必修第一册 RJA学习目标1.了解匀速圆周运动的数学模型.2.了解yAsin（x+）的实际意义；能借助图象理解参数A，的实际意义，了解参数的变化对函数图象的影响.核心素养：数学抽象、数学建模、逻辑推理、数学运算高中数学高中数学 必修第一册 RJA新知学习匀速圆周运动的数学模型【解读教材】我们知道，单位圆上的点，以(1，0)为起点，以单位速度按逆时针方 向运动，其运动规律可用三角函数加以刻画。对于一个一般的匀速圆周运动可以 怎样用数学模型刻画呢？【问题】筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图.假定筒车做的是匀速圆周运动，
2、你能用一个函数模型来刻画盛水筒距离水面的高度和时间的关系吗？高中数学高中数学 必修第一册 RJA匀速圆周运动的数学模型【思考】因为筒车上的盛水筒运动具有周期性，可以考虑用三角函数来刻画.如图，把筒车抽象成数学模型，设经过t秒后，盛水筒M从点P0运动到点P，易知它距离水面的高度H由以下量决定：筒车转轮的中心O到水面的距离h，筒车的半径r，筒车转动的角速度 ，盛水筒的初始位置P0，以及时间t.水面 以O为原点，建立坐标系如图.设t=0时，盛水筒M位于点P0，以 为始边，OP0为终边的角为 ，经过t秒后运动到点 ，于是，以 为始边，OP为终边的角为 ，并且有：所以，盛水筒M距离水面的高度H与时间t的
3、关系是 函数就是要建立的数学模型，而h是常量，所以只要研究即可高中数学高中数学 必修第一册 RJA(2)函数 含有三个参数，该进行什么样的思路来研究？函数 的图像 刚才我们利用三角函数的知识构建了一个形如 的函数.显然，这个函数由参数 ，所确定.因此，只要了解了这些参数的意义，知道它们的变化对于函数图像的影响，就可以搞清楚这个函数的性质.从解析式看，函数 就是函数 在 时的特殊情况.(1)能否借助我们熟悉的函数 的图像与性质研究参数 对 函数 的影响？高中数学高中数学 必修第一册 RJA 函数 的图像探究 对 图像的影响 如图，取 ，动点M在单位圆O1上以单位角速度按逆时针方向运动.如果点M以
4、Q0为起点，(此时 )，经过 秒后运动到点P，那么点P的纵坐标 就等于 .以 为坐标描点，可得正弦函数 的图像.高中数学高中数学 必修第一册 RJA函数 的图像在单位圆上拖动起点Q0，使点Q0绕点O1旋转 到Q1，图像有什么变化？【图像向左平移 个长度】如果使点Q0绕点O1旋转 个长度，又会得到什么图像呢？【分别能得到函数 ,的图像】高中数学高中数学 必修第一册 RJA函数 的图像 在一般地，当动点M的起点位置Q所对应的角为 时，对应的函数是 ，把正弦曲线 上的所有点向左平移 个长度，就得到函数 的图像(左加右减/作家有钱)总结是的，我有钱！注意【1】的变化只改变图像的左右变化，形状、大小完全
5、不变【2】左右平移改变的是 ，若 前面的系数不是1，则要先提取系数在再平移【3】这种变化引起的是初始位置的变换，一般称为相位变换.向左平移 个单位向右平移 个单位也可以是任意一个函数高中数学高中数学 必修第一册 RJA探索 对 图像的影响 我们通过数学实验来探索.如图，取圆的半径A=1，为了研究方便，我们令 ，当 时得到 的图像.导学取 时，得到函数 的图像.取 时，得到函数 的图像.高中数学高中数学 必修第一册 RJA探索 对 图像的影响 一般地，函数 的周期是 ，把 图像上所有点的横坐标缩短(当 时)或伸长(当 时)到原来的倍(纵坐标不变)，就得到 的图像.结论注意 的作用：引起周期 的改
6、变，这种变换叫做横向伸缩 的变化引起的横向伸缩，会导致图像形状改变(被横向拉长或缩短)时，函数 的图像相比函数 横向缩短，周期变小；时，函数 的图像相比函数 横向伸长，周期变大；高中数学高中数学 必修第一册 RJA探索 对 图像的影响 老规矩，还是通过数学实验来探索.如图，令 ，当A=1时，可得 的图像.导学的图像的图像横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍 一般地，函数 的图像,可以看做是把图像上所有点的纵坐标伸长(当 时)或缩短(当 时)到原来的A倍而得到(横坐标不变)，所以函数 的值域是-A,A结论高中数学高中数学 必修第一册 RJA探索 对 图像的影响注意若A0，则函数 的值域为-A，A若A
7、0，则函数 的值域为A，-AA的作用：引起值域的改变，这种变换叫做纵向伸缩A的变化引起的纵向伸缩，会导致图像形状改变(被纵向拉长或缩短)推广到一般情况：函数 的图像，可以看做是把函 数 的图像上所有点的纵坐标伸长(A1)或缩短(0A1)到原来的A 倍(横坐标不变)二得到的，即：的图像的图像横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍高中数学高中数学 必修第一册 RJA函数 总结 一般地，函数 的图像，可以先画出函数 的图像，再把这个正弦曲线向左(或者向右)平移 个长度，得到函数的图像；然后把曲线上各点的横坐标变为原来的 倍(纵坐标不变)，得到函数 的图像；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的 倍(横坐标不变
8、)，这时的曲线就是函数 的图像.画出正弦曲线横向移动 个长度横坐标变为 倍横坐标变为 倍高中数学高中数学 必修第一册 RJA【例1】画出函数 的简图.【解】先画出函数 的图像，再把这个曲线向右平移 个长度，得到 函数 的图像；然后把曲线上各点的横坐标变为原来的 得到函数 的图像；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来 的3倍，就可以得到 的图像。即时巩固高中数学高中数学 必修第一册 RJA【例2】画出下列函数的简图.【解】如图即时巩固高中数学高中数学 必修第一册 RJA随堂小测高中数学高中数学 必修第一册 RJA高中数学高中数学 必修第一册 RJA高中数学高中数学 必修第一册 RJAycos 2x高
9、中数学高中数学 必修第一册 RJA高中数学高中数学 必修第一册 RJA课堂小结1.由ysin x的图象，通过变换可得到函数yAsin(x)(A0，0)的图象，其变化途径有两条：(1)ysin x ysin(x)ysin(x)yAsin(x).(2)ysin x ysin xysin(x )sin(x)yAsin(x).高中数学高中数学 必修第一册 RJA注意两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：(1)是先相位变换后周期变换，平移|个单位.(2)是先周期变换后相位变换，平移 个单位，这是很易出错的地方，应特别注意.2.类似地，yAcos(x)(A0，0)的图象也可由ycos x的图象变换得到.
