1、 东台创新高级中学东台创新高级中学 2018-2019 学年度第二学期学年度第二学期 2017 级数学级数学 4 月份检测试卷（理科）月份检测试卷（理科） （考试时间：（考试时间：120120 分钟分钟 满分：满分：160160 分）分） 一、填空题： （本大题共一、填空题： （本大题共 1414 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，计分，计 7070 分分. .请把答案填写在请把答案填写在答题纸的指定位置上答题纸的指定位置上 ） ） 1已知集合2 3A，1 1Ba，若2AB ，则实数a的值为 2已知复数z满足i1iz （i为虚数单位） ，则复数iz 的模为 3.设实数，x y满足 0 1
2、21 ， ， ， xy xy xy 则32xy的最大值为 4.工人甲在某周五天的时间内，每天加工零件的个数用茎叶图表示如下图(左边一列的 数字表示零件个数的十位数，右边的数字表示零件个数的个位数)，则该组数据的 方差 2 s的值为 5函数 1 ( )28 x f x 的定义域为 6.根据如图所示的伪代码，当输出y的值为 1 2 时，则输入的x的值为 7.已知函数 2 23f xxx，若在区间4,4上任取一个实数 0 x，则使 0 0f x成立的概率 为 8.函数lnyxx的单调增区间是 1 87 2 212 （第 4 题） Read x If 0x Then 1 2 xy Else 2 1 x
3、 y End If Print y （第 6 题） 9.已 9.已知函数 ax x xf )(，若函数1)2(xfy为奇函数，则实数a . 10.已知双曲线，则点到双曲线 的渐近线的距离为_. 11.设命题；命题，那么 是 的_条件（选填“充分不必要”、“必要不充分”、 “充要”、“既不充分也不必要”） 12. 在中，角所对的边分别为，若，则_. 13.已知函数与函数的图象交于三点，则的面积为_. 14.已知实数0a，若曲线 2 1 ( )ln(2) +1 2 f xxaxax上存在某点处的切线斜率不大于5，则a的最小 值为 二、解答题：二、解答题：( (本大题共本大题共 6 6 小题，共计小
4、题，共计 9090 分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤程或演算步骤) ) 15.（本题 14 分） 已知数列an满足an11 2a 2 n1 2na n1(nN N *)，且 a13. (1)计算a2，a3，a4的值， (2)由此猜想数列an的通项公式，并给出证明； (3) 求证：当n2 时，a n n4n n. 16. （本题 14 分） 设点()x y，在矩阵M对应变换作用下得到点(23 )xy， （1）求矩阵M的逆矩阵 1 M； （2）若曲线C在矩阵 1 M对应变换作用下得到曲线 22 1C
5、xy：，求曲线C的 方程 17如图，在直三棱柱 111 ABCABC中，已知ABAC，2AB ，4AC ， 1 3AA . D是线段BC的中点. （1）求直线 1 DB与平面 11 AC D所成角的正弦值； （2）求二面角 111 BADC的大小的余弦值. 18.（本题 16 分） 某小组共 10 人，利用寒假参加义工活动，已知参加义工活动次数为 1，2，3 的人数分别为 3，3，4现 从这 10 人中选出 2 人作为该组代表参加座谈会 （1）记“选出 2 人参加义工活动的次数之和为 4”为事件A，求事件A发生的概率； （2）设X为选出 2 人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列
6、和数学期望 19.（本小题满分 16 分） A B C D A1 B1 C1 （第 17 题） 已知椭圆的左右焦点坐标为 ，且椭圆 经过点。 (1)求椭圆 的标准方程； (2)设点是椭圆 上位于第一象限内的动点，分别为椭圆 的左顶点和下顶点，直线与 轴交于点 ， 直线与 轴交于点 ，求四边形的面积。 20.（本小题满分 16 分） 已知函数( )e(1) x f xa x，其中e为自然对数的底数，aR （1）讨论函数( )f x的单调性，并写出相应的单调区间； （2）已知0a ，bR，若( )f xb对任意xR都成立，求ab的最大值； （3）设( )(e)g xax，若存在 0 x R，使得
7、00 ()()f xg x成立，求a的取值范围 高二数学高二数学 4 4 月份月考答案月份月考答案( (理科理科) ) 一、一、填空题填空题 1. 1. -1 2.2. 5 3. 3 43. 3 4 22 5 5. ), 4 6. 6. 4 7 7 2 1 8. 8. _), 1 ( _ 9. 9. -2 10. 10. 11. 11. 充分不必要 12. 12. 13. 13. 1414 9 二、二、解答题解答题 1515 ：(1)解 a24，a35，a46，猜想：ann2(nN N *) 当n1 时，a13，结论成立； 5 假设当nk(k1，kN N *)时，结论成立，即 akk2， 则当
8、nk1 时，ak11 2a 2 k1 2ka k11 2(k2) 21 2k(k2)1k3(k1)2， 即当nk1 时，结论也成立 由，得数列an的通项公式为ann2(nN N *) 10 (2)证明 原不等式等价于 12 n n4. 显然，当n2 时，等号成立 当n2 时， 12 n nC0 nC 1 n2 nC 2 n 2 n 2Cn n 2 n nC0 nC 1 n2 nC 2 n 2 n 252 n4. 综上所述，当n2 时，a n n4n n. 16.16.（1） 20 03 M，det()6M，所以 1 31 00 62 12 00 36 M （2）设曲线C上任意一点()x y，在
9、矩阵 1 M对应变换作用下得到点()xy， 则 1 0 2 1 0 3 xx yy ，所以 1 2 1 3 xx yy ， 又点()xy，在曲线 C 上，所以 22 ( )( )1xy，即 2 2 1 49 y x 所以曲线C的方程为 2 2 1 49 y x 17,解：因为在直三棱柱 111 ABCABC中，ABAC，所以分别以AB、AC、 1 AA所在的直线 为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系， 则 111 (0,0,0), (2,0,0),(0,4,0),(0,0,3),(2,0,3),(0,4,3)ABCABC 因为D是BC的中点，所以(1,2,0)D， 2 分 （1）因为 111
10、 (0,4,0),(1,2, 3)ACAD，设平面 11 AC D的法向量 1111 ( ,)nx y z， 则 111 11 0 0 nAC nAD ，即 1 111 40 230 y xyz ，取 1 1 1 3 0 1 x y z ， 所以平面 11 AC D的法向量 1 (3,0,1)n ，而 1 (1, 2,3)DB ， 所以 11 11 11 3 35 cos, 35 nDB n DB nDB ， 所以直线 1 DB与平面 11 AC D所成角的正弦值为 3 35 35 7 分 （2） 11 (2,0,0)AB ， 1 (1, 2,3)DB ，设平面 11 B AD的法向量 222
11、2 (,)nxyz， 则 211 21 0 0 nAB nDB ，即 2 222 20 230 x xyz ，取 2 2 2 0 3 2 x y z ，平面 11 B AD的法向量 2 (0,3,2)n ， 所以 12 12 12 130 cos, 65 nn n n nn ， 二面角 111 BADC的大小的余弦值 130 65 14 分 18.18.解： （1）由已知有 112 343 2 10 1 ( ) 3 C CC P A C ，所以事件 A 的发生的概率为 1 3 5 分 （2）随机变量X的所有可能的取值为 0，1，2 222 334 2 10 4 (0) 15 CCC P X C
12、 ； 1111 3334 2 10 7 (1) 15 C CC C P X C ； 11 34 2 10 4 (2) 15 C C P X C 10 分 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P 4 15 7 15 4 15 分 数学期望()1E X 16 分 19.19.【答案】 （1）； （2）。 【解析】 【分析】 （1）利用椭圆定义可得 a 值，结合 c 值即可得出； （2）设，由三点共线可得， 同理得，进而 ，结合点在椭圆上可得结果. 【详解】(1)因为椭圆焦点坐标为 ，且过点， 所以，所以， 从而， 故椭圆的方程为。 6 (2)设点， 因为，且三点共线，所以，解得， 所以， 同
13、理得， 因此 ， ， 因为点在椭圆上，所以，即， 代入上式得：。 16 20 20 解： （1）由( )e(1) x f xa x，知( )exfxa 若0a，则( )0fx恒成立，所以( )f x在() ，上单调递增； 若0a ，令( )0fx，得lnxa， 当lnxa时，( )0fx，当lnxa时，( )0fx， 所以( )f x在(ln )a，上单调递减；在(ln)a ，上单调递增 6 （2）由（1）知，当0a 时， min( ) (ln )lnfxfaaa 因为( )f xb对任意xR都成立，所以lnbaa， 所以 2 lnabaa 设 2 ( )lnt aaa， （0a ） ，由 2
14、1 ( )(2 ln)(2ln1)t aaaaaa a ， 令( )0t a，得 1 2 ea ， 当 1 2 0ea 时，( )0t a，所以( )t a在 1 2 0e ，上单调递增； 当 1 2 ea 时，( )0t a，所以( )t a在 1 2 e ，+上单调递减， 所以( )t a在 1 2 ea 处取最大值，且最大值为 1 2e 所以 21 ln 2e abaa，当且仅当 1 2 ea ， 1 2 1e 2 b 时，ab取得最大值为 1 2e 10 （3）设( )( )( )F xf xg x，即( )ee2 x F xxaxa 题设等价于函数( )F x有零点时的a的取值范围 当0a时，由(1)30Fa ， 1 ( 1)ee0Fa ，所以( )F x有零点 当 e 0 2 a时，若0x，由e20a，得( )e(e2 )0 x F xa xa； 若0x ，由（1）知，( )(21)0F xax ，所以( )F x无零点 当 e 2 a 时，(0)10Fa ， 又存在 0 1 0 e2 a x a ， 00 ()1(e2 )0F xa xa ，所以( )F x有零点 16
