1、 银川市银川市 2019 年普通高中教学质量检测年普通高中教学质量检测 文科数学文科数学 本试卷分第本试卷分第卷（选择题）和第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，其中第卷（非选择题）两部分，其中第卷第卷第 22222323 题为选考题为选考 题，其它题为必考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。考试结束后，题，其它题为必考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。考试结束后， 将本试卷和答题卡一并交回。将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项：注意事项： 1 1答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓答题前，考生务必先将自己的姓
2、名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓 名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。 2 2选择题答案使用选择题答案使用 2B2B 铅笔填涂铅笔填涂, ,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非 选择题答案使用选择题答案使用 0.50.5 毫米的黑色中性（签字）毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3 3 考生必须按照题号在答题卡各题号相对应的答题区域内 考生必须按照题号在答题卡各题号相对应的答题区域内( (黑色
3、线框黑色线框) )作答作答, ,写在草稿纸上、写在草稿纸上、 超出答题区域或非题号对应的答题区域的答案一律无效。超出答题区域或非题号对应的答题区域的答案一律无效。 4 4保持卡面清洁，不折叠，不破损。保持卡面清洁，不折叠，不破损。 5 5做选考题时，考生按照题目要求作答，并用做选考题时，考生按照题目要求作答，并用 2B2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号 涂黑。涂黑。 第第 I I 卷卷 一、 选择题一、 选择题: :本大题共本大题共 1212 小题小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,共共 6060 分分, ,在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四
4、个选项中, ,只有一项是符只有一项是符 合题目要求的合题目要求的 1.已知集合， ，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 求得集合 B，再根据集合的交集运算，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，集合， 又由，所以，故选 B. 【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，其中解答中正确求解集合 B，再根据集合的运算是解答的关键， 着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 2.若 ，则复数 z 的模是 A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】 根据复数的运算，求得，再根据复数模的运算，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，复数满足，则， 所以，故选 C. 【点睛】
5、本题主要考查了复数的运算，及复数模的求解，其中解答中熟记复数的运算法则，以及复数模的运 算公式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 3.已知是定义在 上奇函数，当 时，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用函数是奇函数，得到，再根据对数的运算性质，即可求解. 【详解】由题意，函数是定义在 上的奇函数，且当时， 则，故选 A. 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的应用，以及对数的运算的性质的应用，其中解答中熟记函数的奇偶 性，以及熟练应用对数的性质运算是解答的关键，着重考查了转化思想，以及运算与求解能力，属于基础题. 4.双曲线的一条渐近线与直线 平行，
6、则双曲线的离心率为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由双曲线的渐近线与直线平行，可得双曲线的渐近线的方程为，得到，再由双曲线的 离心率的定义，即可求解. 【详解】由双曲线的渐近线与直线平行，可得双曲线的渐近线的方程为， 即，所以双曲线的离心率为， 故选 B. 【点睛】本题主要考查了双曲线的离心率的计算，其中解答中根据双曲线的渐近线与直线平行的关系，求得 双曲线的渐近线的方程，得到的关系式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 5.已知等比数列的公比为 ，且 ，则其前 项的和为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由等比数列满足，且，联立
7、方程组，求得，进而可求解前 4 项 的和，得到答案. 【详解】由题意，等比数列满足，且， 则，解得， 所以， 所以则其前 4 项的和为，故选 D. 【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，以及前 n 项和的应用，其中解答中利用等比数列的通项公式， 准确求解公比是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 6.已知实数满足，则 的最大值为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 画出约束条件所表示的平面区域，结合图象，确定目标函数的最优解，即可求解目标函数的最大值，得到答 案。 【详解】由题意，画出约束条件所表示的平面区域，如图所示， 又由目标函数，可化为，当直线过点
8、A 时，此时直线在 y轴上的截距最大， 此时目标函数取得最大值， 由，解得， 所以目标函数的最大值为，故选 B. 【点睛】 本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题 其中解答中正确画出不等式组表示的可行域， 利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计 算能力，属于基础题 7.已知是边长为 的等边三角形， 为 的中点，且，则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 设，则，且 与 的夹角为，由向量的运算法则可得， 利用数量积的公式，即可求解. 【详解】由题意，设，则，且 与 的夹角为， 又由向量的运算法则可得 所以 ，故选
9、 D. 【点睛】 本题主要考查了向量的运算法则和向量的数量积的运算， 其中解答中熟记向量的数量积的运算公式， 以及向量的三角形法则，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 8.已知平面 平面 ，则是的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 根据面面垂直的性质定理，以及充要条件的判定方法，即可作出判定，得到答案. 【详解】由题意知，平面平面 ， 当时，利用面面垂直的性质定理，可得成立， 反之当时，此时 与不一定是垂直的， 所以是的充分不必要条件，故选 A. 【点睛】本题主要考查了充要条件的判定
10、，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理与性质定理，以及充要 条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题. 9.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为，则输入 的值可以为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 执行如图所示的程序框图，逐次循环，计算其运算的结果，根据选项即可得到答案. 【详解】由题意可知，执行如图所示的程序框图，可知： 第一循环：； 第二循环：； 第三循环：， 要使的输出的结果为 48，根据选项可知，故选 C. 【点睛】 本题主要考查了循环结构的计算与输出问题， 其中解答中正确理解循环结构的程序框图的计算功能， 逐次准确计算是解答的关键，着
11、重考查了运算与求解能力，属于基础题. 10.根据党中央关于“精准脱贫”的要求，我市某农业经济部门派 3 位专家对 2 个县区进行调研，每个县区至 少派 1 位专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先求得基本事件的总数，然后求得符合“甲，乙两位专家派遣至同一县区”事件的方法数，根据古典概型概 率计算公式求得概率. 【详解】 个专家分为 组，方法数有种，再排到 个县区，故基本事件的总数有种. “甲， 乙两位专家派遣至同一县区”事件的方法数为种， 故“甲， 乙两位专家派遣至同一县区的概率” 为. 【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，考
12、查分组方法数的计算，属于基础题. 11.已知直三棱柱的底面为直角三角形，且两直角边长分别为 1 和 ，此三棱柱的高为，则该 三棱柱的外接球的体积为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 求得该直三棱柱的底面外接圆直径为，再根据球的性质，求得外接球的直径，利用 球的体积公式，即可求解. 【详解】由题意可得该直三棱柱的底面外接圆直径为， 根据球的性质，可得外接球的直径为，解得， 所以该三棱柱的外接球的体积为，故选 A. 【点睛】本题主要考查了球的体积的计算，以及组合体的性质的应用，其中解答中找出合适的模型，合理利 用球的性质求得外接球的半径是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问
13、题的能力，属于中档试题. 12.已知为定义在 上的偶函数， ，且当时，单调递增，则不等式 的解集为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意， 求得函数为偶函数， 其图象关于 y 轴对称， 又由时，单调递增， 所以当 是函数单调递减，再把不等式等价与，得到不等式 ， 即可求解. 【详解】由题意，函数为定义在 上的偶函数，且， 则， 所以函数为偶函数，其图象关于 y 轴对称， 当时，单调递增，所以当是函数单调递减， 又由 ， 所以不等式等价与， 所以，平方得，解得 即不等式的解集为. 【点睛】本题主要考查了函数的单调性与函数的奇偶性的综合应用，以及不等式的求解，其中解答中
14、把不等 式转化为，再利用函数的性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力， 属于中档试题. 第第 IIII 卷卷 本卷包括必考题和选考题两部分 第本卷包括必考题和选考题两部分 第1313题第题第2121题为必考题， 每个试题考生都必须做答 第题为必考题， 每个试题考生都必须做答 第 2222 题第题第 2323 题为选考题，考生根据要求做答题为选考题，考生根据要求做答 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分分. . 13.函数在(1,1)处切线方程是_ 【答案】 【解析】 【分析】 求得函数的导数，求得，得到切线的斜率为，利用直线的
15、点斜式方程，即可求解切 线的方程. 【详解】由题意，函数，则，则，即在处的切线的斜率为， 由直线的点斜式方程可得，切线的方程为，即. 【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解曲线在某点处的切线方程，其中解答中熟记导数的几何意 义的应用是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 14.设是数列的前 项和，点 在直线上，则=_ 【答案】 【解析】 【分析】 由点在直线上，即，利用等差数列的前 n 项和公式，即可求解. 【详解】由题意，点在直线上，即， 又由等差数列的前 n 项和公式，可得， 所以. 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式和前 n 项和公式的应用，其中解答中熟记等差数
16、列的前 n 项和 公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 15.已知函数 的部分图象如图所示，其中，则 _ 【答案】 【解析】 【分析】 由可求得 ，注意到，其中 2 是函数的最大值，由此可得 ，最后代入计算得. 【详解】函数的部分图象如图所示， ，函数， 故答案为 【点睛】本题考查函数的图象与性质，已知函数的图象时常常与“五点法”联系，即利 用“五点”与函数的周期，最值等建立关系. 16.已知P是抛物线上一动点， 定点 ， 过点P作PQy轴于点Q， 则|PA|+|PQ|的最小值是_ 【答案】 【解析】 【分析】 由抛物线可知，其焦点坐标为，准线，根据抛物线的定义得
17、点 P 到 y 轴的距离为 ，又由，即可求解. 【详解】由抛物线可知，其焦点坐标为，准线， 设点 P 到其准线的距离为 ，根据抛物线的定义可的 则点 P 到 y轴的距离为，且 则（当且仅当三点共线时取等号） ， 所以的最小值为 2. 【点睛】本题主要考查抛物线的定义的应用，其中解答中由抛物线的定义转化为，再借助图形得 到是解答的关键，着重考查了转化思想，以及数形结合的应用，以及运算 与求解能力，属于基础提. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. . 17.在平面四边形中， 已知, . （1）若,求的面积； （2）若,求的长 【答
18、案】 （1） ； （2）. 【解析】 【分析】 （1）在中，由余弦定理，求得,进而利用三角形的面积公式，即可求解； （2）利用三角函数的诱导公式化和恒等变换的公式，求解，再在中，利用正弦定理和余 弦定理，即可求解. 【详解】 （1）在中， 即 ,解得. 所以. （2）因为,所以 ，, . 在中，, . 所以. 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时， 要有意识地考虑用哪个定理更合适，要抓住能够利用某个定理的信息一般地，如果式子中含有角的余弦或 边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，着重考 查
19、了运算与求解能力，属于基础题. 18.如图， 在直三棱柱中，是等腰直角三角形， ,点 是侧棱的中点. （1）证明：； （2）求三棱锥的体积. 【答案】 （1）详见解析； （2） . 【解析】 【分析】 （1）由是矩形,且，D 是棱的中点，得到，又,证得， 利用线面垂直的判定定理，即可证得. （2）由（1）可得，则，利用体积公式，即可求解. 【详解】 （1）证明：是矩形,且，D 是棱的中点. 均为等腰直角三角形，. 又,. 又,， 由线面垂直的判定定理，可得. （2）因为,且，. . 【点睛】本题主要考查了线面垂直的判定与证明，以及利用等体积法求解三棱锥的体积，其中解答中熟记线 面位置关系的判定
20、定理和性质定理是判定和证明的关键，同时注意等体积法的应用，着重考查了转化思想， 以及推理与论证能力，属于基础题. 19.在某市高三教学质量检测中，全市共有名学生参加了本次考试，其中示范性高中参加考试学生人数为 人，非示范性高中参加考试学生人数为人.现从所有参加考试的学生中随机抽取人，作检测成绩 数据分析. （1）设计合理的抽样方案（说明抽样方法和样本构成即可） ； （2）依据人的数学成绩绘制了如图所示的频率分布直方图，据此估计本次检测全市学生数学成绩的平均 分； （3）如果规定成绩不低于分为特别优秀，现已知语文特别优秀占样本人数的，语文、数学两科都特 别优秀的共有 3 人，依据以上样本数据，完
21、成列联表，并分析是否有的把握认为语文特别优秀的同学， 数学也特别优秀. 语文特别优秀 语文不特别优秀 合计 数学特别优秀 数学不特别优秀 合计 参考公式： 参考数据： 【答案】 （1）采用分层抽样，示范性高中抽取人，非示范性高中抽人； （2）； （3）有的把握认 为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀. 【解析】 【分析】 （1）由于总体有明显差异的两部分构成，故采用分层抽样，根据分层抽样的计算方法，即可求解； （2）由频率分布直方图，利用平均数的计算公式，即可求解. （3）由题意，得出的列联表，利用卡方的计算公式，求得卡方值，即可得出结论. 【详解】 （1）由于总体有明显差异的两部分构成，故采
22、用分层抽样， 由题意，从示范性高中抽取人，从示师范性高中抽取人 （2）由频率分布直方图估算样本平均分为 ， 推测估计本次检测全市学生数学平均分为 （3）由题意，语文特别优秀学生有 人 ，数学特别优秀的学生有人 因为语文、数学都特别优秀的共有 人，故列联表如下： 语文特别优秀 语文不特别优秀 合计 数学特别优秀 3 1 4 数学不特别优秀 2 94 96 合计 5 95 100 ， 所以有的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀. 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，以及独立性检验的应用，其中解答中熟记频率分布直方图 的相关知识，以及利用卡方的公式准确计算是解答的关键，着重考查了推理
23、与运算能力，属于基础题. 20.已知点，点A，B分别为椭圆 的左，右顶点，直线BP交C于点Q，ABP是等 腰直角三角形，且 （1）求C的方程； （2）设过点P的动直线l与C相交于M，N两点，O为坐标原点.当MON为直角时，求直线l的斜率. 【答案】 （1）； （2）. 【解析】 【分析】 （1）由题意知，求得，再由，代入椭圆方程，解得，即可得到椭圆的方程； （2）设 l 的方程为 y=kx+2，与椭圆的方程联立方程组，利用二次方程中根与系数的关系，求得 ，又由MON 能为直角时，利用列出方程，即可求解. 【详解】 （1）由题意知，a=2，B(2，0)，设 Q（x0，y0） ，由，得， 代入椭圆
24、方程，解得 b 2=1. 椭圆方程为 . （2）由题意可知，直线 l 的斜率存在，令 l 的方程为 y=kx+2，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则整理得：(1+4k 2)x2+16kx+12=0， 由直线 l 与 E 有两个不同的交点，则0， 即(16k) 2412(1+4k2)0，解得 . 由韦达定理可知：. 当MON 能为直角时，即， 则 x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+2)(kx2+2)=(1+k 2)x 1x2+2k(x1+x2)+4 ,解得 k 2=4，即 . 综上可知，直线 l 的斜率时，MON 为直角 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位
25、置关系的应用问题,解答此类题目，通 常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题 易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问 题解决问题的能力等. 21.已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）当时，证明：（其中 为自然对数的底数） 【答案】 （1）单调递增区间是，；单调递减区间是； （2）详见解析. 【解析】 【分析】 （1）当时，求得函数的导数，根据导数的符号，即可求解函数的单调区间，得到答 案. （2）由,转化为只需证明，令 ，求得函数的单调性与 最值，即可作出判定. 【详解】
26、 （1）由题意，函数的定义域为, 当时， 则 . 由解得或；由解得. 所以的单调递增区间是，；单调递减区间是. （2）当时，由,只需证明. 令 ，. 设，则. 当时，单调递减; 当时，单调递增, 当时，取得唯一的极小值，也是最小值. 的最小值是 成立. 故成立. 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨 论、及逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出 最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转 化为函数的最值问题 请考生在第请考生在第 222
27、2- -2323 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为( 为参数） ，以坐标原点 为极点， 轴正半轴为 极轴建立极坐标系， 点 为曲线上的动点， 点 在线段的延长线上， 且满足， 点 的轨迹为. （1）求的极坐标方程； （2）设点 的极坐标为，求面积的最小值. 【答案】 （1）曲线的极坐标方程为，的极坐标方程为； （2） . 【解析】 【分析】 （1）消去参数，得到曲线的普通方程，进而根据极坐标方程与直角坐标方程的互化，即可得到曲线的极 坐标方程，设点 的极坐标为,点 的极坐标为，根据极径的几何
28、意义，利用，即可得 到的极坐标方程. （2）由题设知,利用，即可求解. 【详解】 （1）曲线的参数方程为为参数） ， 曲线的普通方程为，曲线的极坐标方程为， 设点 的极坐标为,点 的极坐标为 则,， ,，即， 的极坐标方程为 （2）由题设知, 所以， 当时，取得最小值为 【点睛】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程，以及参数方程与普通方程的互化，以及曲线的极坐标 方程的应用，其中解答中熟记互化公式，合理应用极径的几何意义是解答本题的关键，着重考查了推理与运 算能力，属于基础题. 23.已知函数的最小值为 （1）求实数的值； (2)若，设且满足，求证： 【答案】 （1）； （2）详见解析. 【解析】 【分析】 （1）由题意，去掉绝对值号，得到分段函数，进而得到函数的单调性，即可求解其最小值. （2）由题意，利用绝对值的三角不等式，求得，再利用基本不等式，即可求解其最小值，进而作 出证明. 【详解】 （1）由题意，可得 显然，在单调递减，在单调递增， 所以， 所以 （2）由 所以， 由于 ， 当且仅当，即当时取 故 【点睛】本题主要考查了含绝对值函数，以及绝对值三角不等式的应用，其中解答中合理去掉绝对值，得到 分段函数，以及合理应用绝对值的三角不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
