1、-数学建模基地系列课件数学建模基地系列课件-数学建模数学建模 人口预报模型人口预报模型华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地1.1.人口预报问题人口预报问题 人口问题是当前世界上人们最关心的问题之人口问题是当前世界上人们最关心的问题之一一.认识人口数量的变化规律，作出较准确的预认识人口数量的变化规律，作出较准确的预报，是有效控制人口增长的前提报，是有效控制人口增长的前提.下面介绍两个下面介绍两个最基本的人口模型，并利用表最基本的人口模型，并利用表1给出的近两百年给出的近两百年的美国人口统计数据，对模型做出检验，最后用的美国人口统计数据，对模型做出检验，最后用它预报它预报2000年、年
2、、2010年美国人口年美国人口华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地表表1 美国人口统计数据美国人口统计数据 华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地2 2 指数增长模型指数增长模型2.2.指数增长模型（马尔萨斯人口模型）指数增长模型（马尔萨斯人口模型）此模型由英国人口学家马尔萨斯于此模型由英国人口学家马尔萨斯于17981798年提出年提出.假设假设：人口增长率：人口增长率r r是常数（或单位时间内人口的是常数（或单位时间内人口的增长量与当时的人口成正比）增长量与当时的人口成正比）.建立模型建立模型：记时刻：记时刻t=0t=0时人口数为时人口数为 ,时刻时刻t t的人的人口为
3、口为 ，由于量大，由于量大，可视为连续、可可视为连续、可微函数微函数.到到 时间内人口的增量为：时间内人口的增量为：tx 华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地2 2 指数增长模型指数增长模型v如下如下v于是于是 满足微分方程：满足微分方程：（1 1）trxttxttx 华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地2 2 指数增长模型指数增长模型v模型求解模型求解：解微分方程（解微分方程（1 1）得）得 （2 2）表明：表明：v模型的参数估计模型的参数估计：要用模型的结果（要用模型的结果（2 2）来预报人口，必须对其）来预报人口，必须对其中的参数中的参数r r进行估计，这可以用表
4、进行估计，这可以用表1 1的数据通过拟的数据通过拟合得到合得到.拟合的具体方法拟合的具体方法.rtextx0t 华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地2 2 指数增长模型指数增长模型 通过表中通过表中1790-1980的数据拟合得：的数据拟合得：r=0.307.模型检验模型检验：将将x0=3.9，r=0.307 代入公式（代入公式（2），求），求出用指数增长模型预测的出用指数增长模型预测的1810-1920的人口数，的人口数，见表见表华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地表表2 2 美国实际人口与按指数增长模型计算的人口比较美国实际人口与按指数增长模型计算的人口比较华中农业
5、大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地2 2 指数增长模型指数增长模型 从表从表2可看出，可看出，1810-1870间的预测间的预测人口数与实际人口数吻合较好，但人口数与实际人口数吻合较好，但1880年以后的误差越来越大年以后的误差越来越大华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地2 2 指数增长模型指数增长模型v分析原因分析原因:该模型的结果说明人口将以指数规律无限增长该模型的结果说明人口将以指数规律无限增长.而事实上，随着人口的增加，而事实上，随着人口的增加，自然资源、环境条自然资源、环境条件等因素件等因素对人口增长的限制作用越来越显著对人口增长的限制作用越来越显著.如如果当人口较
6、少时人口的自然增长率可以看作常数果当人口较少时人口的自然增长率可以看作常数的话，那么当人口增加到一定数量以后，这个增的话，那么当人口增加到一定数量以后，这个增长率就要随着人口增加而减少长率就要随着人口增加而减少.于是应该对指数于是应该对指数增长模型关于人口净增长率是常数的假设进行修增长模型关于人口净增长率是常数的假设进行修改改.下面的模型是在修改的模型中著名的一个下面的模型是在修改的模型中著名的一个华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地3 3 阻滞增长模型（阻滞增长模型（LogisticLogistic模型）模型）3.阻滞增长模型（阻滞增长模型（Logistic模型）模型）假设假设：
7、（a）人口增长率）人口增长率r为人口为人口 的函数的函数 （减函（减函数），最简单假定数），最简单假定 ，r叫做叫做固有增长率固有增长率.（b）自然资源和环境条件年容纳的最大人口容）自然资源和环境条件年容纳的最大人口容量量 .tx 0,srsxrxr 华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地3 3 阻滞增长模型（阻滞增长模型（LogisticLogistic模型）模型）建立模型建立模型：当当 时，增长率应为时，增长率应为0，即，即 ，于，于是是 ，代入，代入 得：得：（3）mxx 0mxrmxrs sxrxr 华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地3 3 阻滞增长模型（阻滞增
8、长模型（LogisticLogistic模型）模型）将（将（3 3）式代入（）式代入（1 1）得：）得：(4)(4)华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地3 3 阻滞增长模型（阻滞增长模型（LogisticLogistic模型）模型）模型的求解模型的求解：解方程组（解方程组（4）得）得 (5)华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地3 3 阻滞增长模型（阻滞增长模型（LogisticLogistic模型）模型）根据方程（根据方程（4 4）作出）作出 曲线图，见图曲线图，见图1-1-1 1，由该图可看出人口增长率随人口数的变化规，由该图可看出人口增长率随人口数的变化规律律.根据
9、结果（根据结果（5 5）作出）作出x-tx-t曲线，见图曲线，见图1-21-2，由该，由该图可看出人口数随时间的变化规律图可看出人口数随时间的变化规律华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地ox图1-1 曲线图 dtdx2mxmxxto图1-2 xt曲线图华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地3 3 阻滞增长模型（阻滞增长模型（LogisticLogistic模型）模型）模型的参数估计模型的参数估计：利用表利用表1中中1790-1980的数据对的数据对r和和xm拟合得：拟合得：r=0.2072,xm=464.模型检验模型检验：将将r=0.2072,xm=464代入公式（代入公
10、式（5），求），求出用指数增长模型预测的出用指数增长模型预测的1800-1990的人口数，的人口数，见表见表3第第3、4列列华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地3 3 阻滞增长模型（阻滞增长模型（LogisticLogistic模型）模型）v也可将方程（也可将方程（4）离散化，得）离散化，得 (6)v用公式（用公式（6）预测）预测1800-1990的人口数，结果的人口数，结果见表见表3第第5、6列列.)()(1()()()1(华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地表表3 3 美国实际人口与按阻滞增长模型计算的人口比较美国实际人口与按阻滞增长模型计算的人口比较 华中农业大学
11、数学建模基地华中农业大学数学建模基地4 4 模型应用模型应用 模型应用模型应用 现应用该模型预测人口现应用该模型预测人口.用表用表1中中1790-1990年的全部数据重新估计参数，可得年的全部数据重新估计参数，可得 r=0.2083,xm=457.6.用公式（用公式（6）作预测得：）作预测得：x(2000)=275;x(2010)=297.9.也可用公式（也可用公式（5）进行预测）进行预测华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学
12、建模基地华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地华中农业大学数学建模基地-数学建模基地系列课件数学建模基地系列课件-
