1、微专题微专题 五大常考全等类型五大常考全等类型类型一平移变换类型一平移变换 例例 1如图，点如图，点B、E、C、F在一条直线上，在一条直线上，ABDE，ABBF，DEBF，BECF.求证：求证：ABCDEF.例1题图证明：证明：ABBF，DEBF.BDEF90，BCBEEC，EFECCF，且且BECF.BCEF.在在ABC和和DEF中中，ABCDEF(SAS).,ABDEBDEFBCEF 【找一找】【找一找】已知已知可以得出的结论可以得出的结论(1)ABBF_(2)DEBF_(3)BECFBEECECCF_ABC90DEF90BCEF类型总结类型总结此类型的特征是有一组边共线或部分重合此类型的
2、特征是有一组边共线或部分重合，另两组边分别平行另两组边分别平行，常要在移动方向常要在移动方向上加上加(减减)公共线段公共线段，构造线段相等构造线段相等，或利用平行线性质找到对应角相等或利用平行线性质找到对应角相等.针对训练针对训练第1题图1.如图，在四边形如图，在四边形ABCD中，中，E是是AB的中点，的中点，ADEC，AEDB.(1)求证：求证：AEDEBC；(2)当当AB6时，求时，求CD的长的长.(1)证明：证明：ADEC，ABEC，E是是AB中点，中点，AEEB，AEDB，AEDEBC(ASA)；(2)解：解：AEDEBC，ADEC，ADEC，四边形四边形AECD是平行四边形，是平行四
3、边形，CDAE，AB6，CD AB3.12类型二轴对称变换类型二轴对称变换 例例 2如图，在如图，在ABC中，中，ABAC，点，点D是三角形内一点，连接是三角形内一点，连接DA，DB，DC，若若12，则，则ABD与与ACD全等吗？请说明理由全等吗？请说明理由.例2题图解：解：ABDACD.理由：理由：12，DBDC.ABAC，ABCACB.ABC1ACB2，ABDACD，在在ABD和和ACD中中，ABDACD(SAS).,ABACABDACDBDCD 【找一找】【找一找】已知已知可以得出的结论可以得出的结论(1)ABAC_(2)12_；_ABCACBDBDCABDACD类型总结类型总结此类型的
4、特征是所给图形可沿某一直线折叠此类型的特征是所给图形可沿某一直线折叠，直线两旁的部分能完全重合直线两旁的部分能完全重合，重重合的顶点就是全等三角形的对应顶点合的顶点就是全等三角形的对应顶点，解题时要注意其隐含条件解题时要注意其隐含条件，即公共边或即公共边或公共角相等公共角相等.共边：共边：共顶点：共顶点：ABCDBEFF由由12得得EABFAC针对训练针对训练第2题图2.如图，点如图，点E、F在线段在线段BC上，上，ABDC，BC，请补充一个条件：，请补充一个条件：_，使，使ABFDCE.3.如图，如图，E是是AOB的平分线上一点，的平分线上一点，ECOA，EDOB，垂足为，垂足为C，D.求证
5、：求证：(1)OCOD；(2)ECFEDF.第3题图 BECF或或BFEC或或AD或或AFBDEC类型三一线三等角型类型三一线三等角型(K(K型型)例例 3如图，如图，B、C、D三点共线，三点共线，BDACE，ABCD.求证：求证：ABCCDE.例3题图证明：证明：如解图如解图，BDACE，2BA180，2ACE1180，A1.在在ABC和和CDE中中，ABCCDE(ASA).,1,BDABCDA 例3题解图类型总结类型总结三个等角在同一直线上三个等角在同一直线上，称一线三等角模型称一线三等角模型(角度有锐角、钝角角度有锐角、钝角，若为直角称一若为直角称一线三垂直线三垂直)，利用三等角关利用三
6、等角关系找全等三角形所需的角相等条件系找全等三角形所需的角相等条件(如：如：12).一线一线三等角的解题理念：有边相等证全等；无边相等证相似三等角的解题理念：有边相等证全等；无边相等证相似.【拓展】【拓展】一线：经过直角顶点的直线一线：经过直角顶点的直线(BE)；三垂直：直角两边互相垂直；三垂直：直角两边互相垂直(ACCD)，过直角的两边向直线作垂直过直角的两边向直线作垂直(ABBC，DECE)，利用利用“同角的余角相等同角的余角相等”转化转化找等角找等角(12).针对训练针对训练4.如图，在如图，在ABC中，中，ABAC，点，点P，D分别是分别是BC，AC边上的点，且边上的点，且BPCD，A
7、PDB，若，若APB120，则，则CDP的度数为的度数为()A.30B.60C.120D.150第4题图C5.如图，在如图，在ABC中，中，ACB90，ACBC.D为为BC边上任一点，连接边上任一点，连接AD，过过D作作DEAD，且，且DEAD.连接连接BE，探究，探究BE与与AB的位置关系，并说明理由的位置关系，并说明理由.第5题图解：解：ABBE，理由：如解图，过点理由：如解图，过点E作作EMBD，交，交DB延长线于点延长线于点M，ACB90，DEAD，ADCEDM90，ADCDAC90.DACEDM，又又DEAD，CM90.EMDDCA(AAS)第5题解图EMCD，MDACBC.MDBD
8、BCBD.BMCDEM.MEBMBE45，ACB90，ACBC，ABC45.ABE180MBEABC180454590.ABBE.第5题解图第6题图6.如图，已知在如图，已知在ABC中，中，BAC90，ABAC，点，点P为为BC边上一动点，边上一动点，(BPCP)，分别过点，分别过点B，C作作BEAP，交，交AP延长线于点延长线于点E，CFAP于点于点F.求证：求证：(1)ABECAF；(2)EFCFBE.证明：证明：(1)BEAP，CFAP，AEBAFC90.FACACF90.BAC90，BAEFAC90，BAEACF.在在ABE和和CAF中，中，ABECAF(AAS)；(2)由由(1)得，
9、得，ABECAF，AECF，BEAF.EFAEAF，EFCFBE.AEBAFCBAEACFABAC ，类型四手拉手型类型四手拉手型例例 4如图，四边形如图，四边形ABCD中，中，E点在点在AD上，上，BAEBCE90，且，且BCCE，ABDE.求证：求证：ABCDEC.例4题图证明：证明：BAEBCE90，BAEC180，AECDEC180，DECB，在在ABC和和DEC中中ABCDEC(SAS)ABDEBDECBCEC ，【找一找】【找一找】已知已知可以得出的结论可以得出的结论(1)BAEBCE90ABCAEC180(2)点点E在在AD上上AECDEC180类型总结类型总结此类型可看成是将三
10、角形绕着公共顶点旋转一定角度所构成的此类型可看成是将三角形绕着公共顶点旋转一定角度所构成的.(1)无重叠：两个三角形有公共顶点无重叠：两个三角形有公共顶点，无重叠部分无重叠部分.一般有一对相等的角隐含在平一般有一对相等的角隐含在平行线、对顶角中行线、对顶角中.(2)有重叠：两个三角形含有一部分公共角有重叠：两个三角形含有一部分公共角，运用角的和差可得到等角运用角的和差可得到等角.针对训练针对训练7.如图，如图，ACBACB，ACB70，ACB100，则，则BCA的的度数为度数为()A.30B.35C.40D.50第7题图C第8题图8.如图，已知如图，已知ABCF，D是是AB上一点，上一点，DF
11、交交AC于点于点E，若，若ABBDCF，求证：求证：ADECFE.证明：证明：ABBDADBDCF，CFAD.ABCF，AACF，ADFF，在在ADE与与CFE中中ADECFE(ASA)AECFCFADADEF ，类型五半角型类型五半角型例例 5在在ABC中，中，BAC90，ABAC，点，点D和点和点E均在边均在边BC上，且上，且DAE45，试猜想，试猜想BD，DE，EC应满足的数量关系，并写出推理过程应满足的数量关系，并写出推理过程.例5题图解：解：BD2CE2DE2，推理过程：推理过程：ABAC，如解图如解图，把把ABD绕点绕点A顺时针旋转顺时针旋转90至至ACG，可使可使AB与与AC重合
12、重合，连接连接EG，ADAG，BDCG，BACG，BADCAG，在在RtBAC中中，BAC90，ABAC，B45，ECGACBACGACBB454590，BAC90，DAE45，例5题解图EAGCAECAGCAEBAD904545，DAEEAG，在在DAE和和GAE中中，DAEGAE(SAS)，DEEG，在在RtECG中中，由勾股定理由勾股定理得：得：EG2CE2CG2，即即BD2CE2DE2.,AEAEDAEGAEADAG 例5题解图类型总结类型总结当一个角包含着这个角的半角当一个角包含着这个角的半角，常将半角两边的三角形通过旋转到一边合并形成常将半角两边的三角形通过旋转到一边合并形成新的三
13、角形新的三角形，从而进行等量代换从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等然后证明与半角形成的三角形全等.结论：结论：DFGDFE；EFFCBE结论：结论：AEFAED；EFED；FCBC结论：结论：AGEAFE；EFDFBE针对训练针对训练9.如图，在如图，在ABC中，中，BAC120，ABAC，点，点M、N在边在边BC上，且上，且MAN60，若，若BM2，CN3，则，则MN的长为的长为()A.B.2C.2D.7352第9题图A10.(2019内江内江)如图，在正方形如图，在正方形ABCD中，点中，点E是是BC上的一点，点上的一点，点F是是CD延长线延长线上的一点，且上的一点，且BEDF，连接，连接AE、AF、EF.(1)求证：求证：ABEADF；(2)若若AE5，请求出，请求出EF的长的长.第10题图证明：证明：四边形四边形ABCD是正方形，是正方形，ABAD，BADC90.BADF90.又又BEDF，ABEADF(SAS)；(2)解：解：由由(1)知知，ABEADF，AFAE5，FADBAE.FAEBAD90.EF .2222555 2AEAF 点击链接至综合训练点击链接至综合训练W
