1、第二十一章 一元二次方程21.2 解一元二次方程21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系情境引入情境引入 一元二次方程的的根与系数的关一元二次方程的的根与系数的关系，常常也称作韦达定理，这是因为系，常常也称作韦达定理，这是因为这个定理是这个定理是1616世纪法国杰出的数学家世纪法国杰出的数学家韦达发现的韦达发现的.聪明的同学们，你能发现聪明的同学们，你能发现这个定理吗？这个定理吗？自主探究自主探究1.思考：思考：从从因式分解法可知因式分解法可知,方程方程(x-x1)(x-x2)=0的两的两根为根为x1和和x2,将方程化为将方程化为x2+px+q=0的形式，你的形式，你能看出能看出x1,x2与
2、与p,q之间的关系吗？之间的关系吗？二二次项系数为次项系数为1的一元二次方程根与系的一元二次方程根与系数的关系：数的关系：x1+x2=-p，x1x2=q.(p为一次项系数为一次项系数,q为常数项为常数项)21212()0 xxx xx x自主探究自主探究 2.探究探究 一般地一般地,一元二次方程一元二次方程 ax 2+bx+c=0（a0）中）中,二次项系数二次项系数a未必是未必是1，它的两根的和、积与系数分别，它的两根的和、积与系数分别有怎样的关系？有怎样的关系？(1)试一试试一试.由由2x2-3x+1=0，得，得x1=，x2=，321212-3-2于是于是x1+x2=,x1x2=.1这说明了
3、什么？这说明了什么？(2)对于一般形式为对于一般形式为ax2+bx+c=0(a0)又有怎又有怎样样 的的关系呢？关系呢？结结论：方程的两个根论：方程的两个根x1，x2和系数和系数a,b,c有如有如下下 关关系：系：12bxxa 12cx xa自主探究自主探究例例4根据一元二次方程的根与系数的关根据一元二次方程的根与系数的关系，系，求下列求下列方程两个根方程两个根 x1，x2 的和与积：的和与积：（1）x 2-6x-15=0 （2）3x 2+7x-9=0 （3）5x-1=4x 2 x1+x2=6x1 x2=-15x1 x2=-3x1+x2=73x1+x2=54x1 x2=14自主探究自主探究 3
4、.典型例题典型例题练练习习1不解方程，求下列方程两个根的和与积：不解方程，求下列方程两个根的和与积：（1）x 2-3x=15（2）3x 2+2=1-4x x1+x2=3x1 x2=-15x1+x2=43巩固练习巩固练习 4.巩固练习巩固练习x1 x2=13一元二次方程的根与系数的关系上课实用课件（PPT优秀课件）一元二次方程的根与系数的关系上课实用课件（PPT优秀课件）练练习习2 小明和小红一起做作业，在解一道小明和小红一起做作业，在解一道一一元元二二次方程时，次方程时，由于粗心由于粗心，在化简时小明写错了在化简时小明写错了常数项常数项，解得两根为解得两根为8和和2，小红写错了一次项系，小红写
5、错了一次项系数数，解得，解得两根为两根为-9和和-1，若二次项系数是，若二次项系数是1，你知，你知道原来的方程是什么吗？道原来的方程是什么吗？21090 xx巩固练习巩固练习一元二次方程的根与系数的关系上课实用课件（PPT优秀课件）一元二次方程的根与系数的关系上课实用课件（PPT优秀课件）巩固练习巩固练习 练练习习3 已知方程已知方程2x24x30的两根分的两根分别为别为x1和和x2，则，则x1x2的值等于的值等于_ 练练习习4 设设a,b是一元二次方程是一元二次方程x2x20160的两个不相等的实数根的两个不相等的实数根,则则a22ab_-22015一元二次方程的根与系数的关系上课实用课件（
6、PPT优秀课件）一元二次方程的根与系数的关系上课实用课件（PPT优秀课件）巩固练习巩固练习 练练习习5 已知已知x4是一元二次方程是一元二次方程x23xc0的一个根，则另一个根为的一个根，则另一个根为_ 练练习习6 方程方程x22kxk22k10的两的两个实数根个实数根x1，x2满足满足x12x224，则，则k的值为的值为_x=-11一元二次方程的根与系数的关系上课实用课件（PPT优秀课件）一元二次方程的根与系数的关系上课实用课件（PPT优秀课件）巩固练习巩固练习 练练习习7 已知已知x1,x2是一元二次方程是一元二次方程2x2+3x-40的两个根，试求下列代数式的值：的两个根，试求下列代数式
7、的值：(2)(x11)(x21)；(3)x1x2.(1)x12x22；2545-2412一元二次方程的根与系数的关系上课实用课件（PPT优秀课件）一元二次方程的根与系数的关系上课实用课件（PPT优秀课件）巩固练习巩固练习 练习练习8 关于关于x的一元二次方程的一元二次方程x2+3x+m-1=0的两个实数根分别为的两个实数根分别为x1，x2.(1)求求m的取值范围的取值范围；(2)若若2(x1x2)x1x2100，求，求m的值的值0，即，即324(m1)0，解得，解得m 134m=-3一元二次方程的根与系数的关系上课实用课件（PPT优秀课件）一元二次方程的根与系数的关系上课实用课件（PPT优秀课
8、件）巩固练习巩固练习 练习练习9 已知关于已知关于x的一元二次方程的一元二次方程x2-2(m+1)xm220.试根据下列条件，求试根据下列条件，求m的值的值 (1)两根互为相反数两根互为相反数；(2)两根之和等于两根之和等于3；(3)两根之积等于两根之积等于1；(4)两根的平方和等于两根的平方和等于8；(5)两根的和的相反数等于两根之积两根的和的相反数等于两根之积m=-1m=12m=3m=0m=0一元二次方程的根与系数的关系上课实用课件（PPT优秀课件）一元二次方程的根与系数的关系上课实用课件（PPT优秀课件）巩固练习巩固练习 练习练习10 已知关于已知关于x的一元二次方程的一元二次方程x2-
9、(m-3)xm20.(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；求证：方程总有两个不相等的实数根；(2)设这个方程的两个实数根分别为设这个方程的两个实数根分别为x1，x2，且且|x1|x2|2，求，求m的值及方程的根的值及方程的根12121,12,125,126,126mxxmxx 或一元二次方程的根与系数的关系上课实用课件（PPT优秀课件）一元二次方程的根与系数的关系上课实用课件（PPT优秀课件）巩固练习巩固练习 练习练习11 如果如果m，n是两个不相等的实数，且是两个不相等的实数，且满足满足m2m3，n2n3，那么代数式，那么代数式2n2mn2m2015_2026 练习练习12 若矩形的长和宽
10、是方程若矩形的长和宽是方程2x2-16x+m=0(0m32)的两根，则矩形的周长为的两根，则矩形的周长为_16一元二次方程的根与系数的关系上课实用课件（PPT优秀课件）一元二次方程的根与系数的关系上课实用课件（PPT优秀课件）巩固练习巩固练习 练练习习13 已知一元二次方程已知一元二次方程mx2-2mx+m-2=0.(1)若该方程有两个实数根，求若该方程有两个实数根，求m的取值范围；的取值范围；(2)设该方程的两个实数根分别为设该方程的两个实数根分别为x1，x2，且且|x1-x2|=1,求求m的的值值.m0m=8一元二次方程的根与系数的关系上课实用课件（PPT优秀课件）一元二次方程的根与系数的
11、关系上课实用课件（PPT优秀课件）师生小结师生小结 (1)通过本节课的学习，你有哪些收获？通过本节课的学习，你有哪些收获？(2)你还有什么疑惑？说给大家听听你还有什么疑惑？说给大家听听.一元二次方程的根与系数的关系上课实用课件（PPT优秀课件）一元二次方程的根与系数的关系上课实用课件（PPT优秀课件）作业布置作业布置 必做题：教材第必做题：教材第17页第页第7题题.选选做题：做题：若某若某一一元元二二次方程的两个根次方程的两个根是是5,-2，你能求出这个方程吗？，你能求出这个方程吗？一元二次方程的根与系数的关系上课实用课件（PPT优秀课件）一元二次方程的根与系数的关系上课实用课件（PPT优秀课件）LOGO一元二次方程的根与系数的关系上课实用课件（PPT优秀课件）一元二次方程的根与系数的关系上课实用课件（PPT优秀课件）
