1、随机信号的时域统计分析随机信号的时域统计分析信号的相关分析信号的相关分析测试信号的分析与处理测试信号的分析与处理数字信号处理数字信号处理2022-12-1随机信号的时域统计分析随机信号的时域统计分析随机信号随机信号：不能用确定的数学关系式来描述，不能预测其不能用确定的数学关系式来描述，不能预测其未来任何瞬时值，任何一次观测值只代表在其变动范围中未来任何瞬时值，任何一次观测值只代表在其变动范围中可能产生的结果之一，但其值的变动服从统计规律。可能产生的结果之一，但其值的变动服从统计规律。几个相关概念：几个相关概念：1、样本函数、样本函数 xi(t)2、样本记录、样本记录 xi(t)t=0T3、随机
2、过程、随机过程 xi(t)=x1(t)，x2(t)，xi(t)，随机信号的描述采用概率论与数理统计的方法随机信号的描述采用概率论与数理统计的方法一、概述一、概述2022-12-1（一）均值、方差和均方值均值、方差和均方值1、均值表示信号的常值量的大小。2、方差描述随机信号的波动量的大小，它是相对于均值偏离值的平方的均值，即二二、随机信号的主要统计特征、随机信号的主要统计特征2022-12-13、均方值描述随机信号的强度，它是随机信号平方的均值，即均方值的正平方根称为均方根值 xrms，又称为有效值。表示了信号的平均能量（功率）。当均值也就是信号的常值分量为0时：均值、方差、和均方值之间存在如下
3、关系：2022-12-1（二）概率密度函数概率密度函数随机信号的概率密度函数是表示信号幅值落在指定区间内的概率。当样本函数的记录时间T趋于无穷大时，Tx/T 的比值就是幅值落在区间内的概率，记为：概率密度函数概率密度函数提供了随机信号幅值分布的信息，是随机信号的主要特征参数之一定义幅值概率密度函数为：2022-12-1三、随机信号分类三、随机信号分类三个概念：统计特征参数、集合平均、时间平均三个概念：统计特征参数、集合平均、时间平均分类：分类：随机过程随机过程平稳随机过程平稳随机过程非平稳随机过程非平稳随机过程各态历经随机过程各态历经随机过程2022-12-1信号的相关分析信号的相关分析l在测
4、试工作中，有时需要就两个以上的信号研究其相互关在测试工作中，有时需要就两个以上的信号研究其相互关系，因此我们引入一个很重要的概念系，因此我们引入一个很重要的概念相关。信号的相相关。信号的相关性反映了一个信号在不同时刻，或两个信号之间的线性关性反映了一个信号在不同时刻，或两个信号之间的线性关系或相似程度。关系或相似程度。l对信号做相关分析在振动测试、雷达测距、声发射探伤、对信号做相关分析在振动测试、雷达测距、声发射探伤、以及通信，甚至控制系统中都得到了广泛应用。以及通信，甚至控制系统中都得到了广泛应用。l例如：利用已知的发射端信号与接收端信号做相关分析，例如：利用已知的发射端信号与接收端信号做相
5、关分析，以确定接收端是否接收到了发射端发出的信号。以确定接收端是否接收到了发射端发出的信号。一、概述一、概述2022-12-1为研究时间轴上平移了为研究时间轴上平移了单位后的各态历经随机信号单位后的各态历经随机信号x(t+)与原信号与原信号x(t)之间的相关特性，引入了自相关函数之间的相关特性，引入了自相关函数：TTxxdttxtxTR0)()(1lim)(对于周期信号，自相关函数表达为对于周期信号，自相关函数表达为：TxxdttxtxTR0)()(1)(二、自相关函数二、自相关函数（一）概念（一）概念2022-12-1（二）相关系数（二）相关系数yxyxyxExy)(自相关系数的绝对值介于小
6、于自相关系数的绝对值介于小于1，其绝对值越趋近于，其绝对值越趋近于1，表明两变量线性相关程度越大；若为负值，则表明，表明两变量线性相关程度越大；若为负值，则表明一变量随着另一变量的增加而减小；若趋近于零，则一变量随着另一变量的增加而减小；若趋近于零，则表明两变量之间是完全无关的，但可能存在着某种非表明两变量之间是完全无关的，但可能存在着某种非线性的相关关系或者函数关系。线性的相关关系或者函数关系。22)(xxxxRxx自相关系数自相关系数:2022-12-1（三）自相关函数基本性质（三）自相关函数基本性质1、自相关函数是偶函数。即、自相关函数是偶函数。即Rxx()=Rxx(-)()()()(1
7、lim)()(1lim)(00 xxTTTTxxRtdtxtxTdttxtxTR2、值不同，Rxx()不同，当不同，当=0时，Rxx()的值最大。的值最大。22202)(1lim)0(xxxTTxxdttxTR1)0(22)(xxxxRxx2022-12-13、周期函数的自相关函数仍为同频率的周期函数、周期函数的自相关函数仍为同频率的周期函数若有一函数若有一函数x(t)为周期函数为周期函数,则则x(t)=x(t+nT),其自相关函数为：其自相关函数为：)()()(1)()()(1)(00 xxTTxxRdttxtxTnTtdnTtxnTtxTnTR正弦信号的自相关函数是同频率的余弦信号，且保留
8、了幅正弦信号的自相关函数是同频率的余弦信号，且保留了幅值和频率信息，但丢失了相位信息值和频率信息，但丢失了相位信息(见教材见教材P23例例3)。由此：。由此：若信号中含有周期成分，其自相关函数也必定含有同频率若信号中含有周期成分，其自相关函数也必定含有同频率的周期成分。此性质可用来鉴别随机信号中的周期成分。的周期成分。此性质可用来鉴别随机信号中的周期成分。2022-12-14、随机信号的频带越宽，、随机信号的频带越宽，Rxx()衰减越快，且近似于集中衰减越快，且近似于集中在原点的在原点的函数。频带越窄，函数。频带越窄，Rxx()衰减越慢。衰减越慢。2022-12-15、当、当 时，时，x(t)
9、与与x(t+)之间不存在内在联系，彼此无之间不存在内在联系，彼此无关。即：关。即：0)(xx2)(xxxR6、如果信号是纯随机噪声，其自相关函数将随、如果信号是纯随机噪声，其自相关函数将随 的增大快的增大快速衰减。速衰减。2022-12-1（四）自相关函数的物理意义（四）自相关函数的物理意义1、表达了信号现在与时间坐标移动了、表达了信号现在与时间坐标移动了时间后的信号之时间后的信号之 间的相似程度。间的相似程度。2、建立了随机信号一个时刻的幅值与另一个时刻幅值、建立了随机信号一个时刻的幅值与另一个时刻幅值之间的依赖关系。之间的依赖关系。3、描述了在观测时间、描述了在观测时间T内两个幅值乘积的集
10、合平均。内两个幅值乘积的集合平均。4、从自相关函数的图形可分析信号的构成性质，从噪、从自相关函数的图形可分析信号的构成性质，从噪声背景下提取有用信号。声背景下提取有用信号。2022-12-1（五）自相关函数的工程应用（五）自相关函数的工程应用自相关分析主要用来检测混淆在随机信号中的确定性信号。自相关分析主要用来检测混淆在随机信号中的确定性信号。因为周期信号或任何确定性信号在所有时差因为周期信号或任何确定性信号在所有时差值上都有自值上都有自相关函数值，而随机信号在相关函数值，而随机信号在值足够大时其自相关函数趋值足够大时其自相关函数趋于零。于零。案例：案例：机械加工表面粗糙度自相关分析机械加工表
11、面粗糙度自相关分析 被测工件被测工件相关分析相关分析提取出回转误差等周期性的故障源。提取出回转误差等周期性的故障源。2022-12-1案例案例2：自相关测转速自相关测转速理想信号理想信号干扰信号干扰信号实测信号实测信号自相关系数自相关系数提取周期性转速成分。提取周期性转速成分。2022-12-1算法：算法：令令x(t)x(t)、y(t)y(t)二个信号之间产生时差二个信号之间产生时差，再，再相乘和积分，就可以得到相乘和积分，就可以得到时刻二个信号的相关性。时刻二个信号的相关性。x(t)y(t)时时延延器器 乘乘法法器器 y(t-)X(t)y(t-)积积分分 器器 Rxy()*图例图例自相关函数
12、：自相关函数：x(t)=y(t)x(t)=y(t)2022-12-1三、互相关函数三、互相关函数(一一)互相关函数概念互相关函数概念两个随机信号样本两个随机信号样本x(t)和和y(t),y(t+)是是y(t)时移时移后的样后的样本，则，其互相关函数定义为：本，则，其互相关函数定义为：TTxydttytxTR0)()(1lim)(同样地，以有限长样本作互相关函数的估计：同样地，以有限长样本作互相关函数的估计：TxydttytxTR0)()(1)(2022-12-1(二二)互相关函数的基本性质互相关函数的基本性质1、互相关函数并非偶函数，也并非奇函数，而是、互相关函数并非偶函数，也并非奇函数，而是
13、:Rxy()=Ryx(-)2、互相关函数不一定在、互相关函数不一定在=0处为峰值，其峰值点偏离原点的处为峰值，其峰值点偏离原点的距离反映了两个信号最大相关时的时间间隔距离反映了两个信号最大相关时的时间间隔d。3、同频率的两个周期信号的互相关函数也是具有同频率的周、同频率的两个周期信号的互相关函数也是具有同频率的周期信号，而且保留了原信号的相位信息。期信号，而且保留了原信号的相位信息。（见（见P25 例例4）0001()lim()()11lim()()lim()()()TxyTTTyxTTRx t y tdtTx ty t dty t x tdtRTT2022-12-16、两个统计独立的随机信号
14、，当均值为零时，、两个统计独立的随机信号，当均值为零时，Rxy()=0。7、两个同频率的正余弦函数不相关。、两个同频率的正余弦函数不相关。TTxydtttTdttytxTRtytytxtx00000)(cossin1)()(1)(cos)(sin)(8、周期信号与随机信号的互相关函数为、周期信号与随机信号的互相关函数为0。4、不同频率的周期信号互不相关，、不同频率的周期信号互不相关，Rxy()=05、两信号之间的相关程度总是小于或等于信号自身的相关程、两信号之间的相关程度总是小于或等于信号自身的相关程度。度。2022-12-1(三三)互相关函数的应用互相关函数的应用工程上互相关函数被广泛应用于
15、传播问题。工程上互相关函数被广泛应用于传播问题。案例案例1：地下输油管道漏损位置的探测：地下输油管道漏损位置的探测tX1X2t2022-12-1案例案例2：光电信号互相关分析测速：光电信号互相关分析测速2022-12-1案例案例3：地震位置测量：地震位置测量2022-12-1数字信号处理数字信号处理 目前测试技术中所采用的传感器等装置输出的大多仍目前测试技术中所采用的传感器等装置输出的大多仍是模拟信号，而输出信号中往往夹杂了很多干扰噪声。我是模拟信号，而输出信号中往往夹杂了很多干扰噪声。我们利用相关分析或功率谱分析等方法可以消除噪声影响来们利用相关分析或功率谱分析等方法可以消除噪声影响来提取信
16、号特征，但利用模拟信号来做这样的处理往往不便提取信号特征，但利用模拟信号来做这样的处理往往不便或难以实现。或难以实现。数字方法处理信号可以在专用的信号处理仪上进行，数字方法处理信号可以在专用的信号处理仪上进行，也可以在通用计算机上通过编程来实现。计算机的迅猛发也可以在通用计算机上通过编程来实现。计算机的迅猛发展为我们用数字方法处理信号提供了极大的便利并显示出展为我们用数字方法处理信号提供了极大的便利并显示出了很大的优越性。了很大的优越性。两方面问题；模拟信号的数字化；数字方法处理数字序列两方面问题；模拟信号的数字化；数字方法处理数字序列1、概述、概述2022-12-12 2、测试信号数字化处理
17、的基本步骤、测试信号数字化处理的基本步骤 物理信号物理信号对象对象传传感感器器电信号电信号放放大大调调制制电信号电信号A/D转换转换数字信号数字信号计计算算机机显显示示D/A转换转换电信号电信号控制控制物理信号物理信号2022-12-13 3、数字信号处理的优势、数字信号处理的优势 1)1)用数学计算和计算机显示代替复杂的电路用数学计算和计算机显示代替复杂的电路 和机械结构和机械结构2022-12-12)2)计算机软硬件技术发展的有力推动计算机软硬件技术发展的有力推动a)a)多种多样的工业用计算机。多种多样的工业用计算机。2022-12-1b)b)灵活、方便的计算机虚拟仪器开发系统灵活、方便的
18、计算机虚拟仪器开发系统2022-12-1一、信号的数字化一、信号的数字化(一一)信号的采样信号的采样 采样是将采样脉冲序列采样是将采样脉冲序列p(t)p(t)与信号与信号x(t)x(t)相乘，取相乘，取离散点离散点x(nt)x(nt)的值的过程。的值的过程。2022-12-1X(0),X(1),X(2),X(n)X(0),X(1),X(2),X(n)2022-12-1每周期应该有多少采样点每周期应该有多少采样点？最少最少2 2点点:2022-12-12022-12-1xs(t)由一系列冲激函数构成，每一个冲激函数的强度等于由一系列冲激函数构成，每一个冲激函数的强度等于连续信号在该时刻的抽样值连
19、续信号在该时刻的抽样值x(nTs)()()()()()()()ssssnnx tx t p tx ttnTx nTtnT2022-12-1(二二)采样过程的频谱及采样定理采样过程的频谱及采样定理信号的采样可以通过采样周期为信号的采样可以通过采样周期为Ts，采样频率为，采样频率为fs=1/Ts的的单位周期脉冲信号单位周期脉冲信号p(t)与连续信号与连续信号x(t)相乘得到相乘得到,我们关注三我们关注三个问题：采样与频谱、混频现象、采样定理个问题：采样与频谱、混频现象、采样定理1、采样与频谱、采样与频谱2022-12-1 信号信号x(t)与单位周期脉冲信号相乘后，其频谱发生了周期与单位周期脉冲信号
20、相乘后，其频谱发生了周期延拓，即延拓，即X(f)分别延拓到分别延拓到1/Ts为中心的频谱。为中心的频谱。频谱的幅度乘了一个因子频谱的幅度乘了一个因子1/Ts。2022-12-12、混频现象、混频现象模拟信号在时域中按时隔模拟信号在时域中按时隔Ts离散化，在频域中按离散化，在频域中按1/Ts周期化。周期化。采样间隔太小，需处理的数字序列很长，计算工作量猛增。采样间隔太小，需处理的数字序列很长，计算工作量猛增。2022-12-13、采样定理、采样定理 很显然，采样间隔过大很显然，采样间隔过大(采样频率过低采样频率过低)或采样间隔过或采样间隔过小小(采样频率过高采样频率过高)都不好。间隔过大，则平移
21、距离都不好。间隔过大，则平移距离 1/Ts过小那么移至各采样脉冲所在处的过小那么移至各采样脉冲所在处的X(f)就会发生混叠。就会发生混叠。若要求不发生频率混叠，首先需要使被采样的模拟信若要求不发生频率混叠，首先需要使被采样的模拟信号号x(t)称为有限带宽信号。不满足此要求的信号，在采样称为有限带宽信号。不满足此要求的信号，在采样之前使其先通过模拟低通滤波器滤去高频成分，使其成之前使其先通过模拟低通滤波器滤去高频成分，使其成为带限信号，称为抗混叠滤波预处理。为带限信号，称为抗混叠滤波预处理。然后使得采样频率然后使得采样频率fs大于带限信号最高频率大于带限信号最高频率fh的两的两倍，即：倍，即：f
22、s=1/Ts2fh,把该频谱通过一个中心频率为零，把该频谱通过一个中心频率为零，带宽为带宽为(fs/2)的理想低通滤波器就可能准确恢复的理想低通滤波器就可能准确恢复x(t)。这就是采样定理。这就是采样定理。2022-12-1 需注意，满足采样定理，只保证不发生频率需注意，满足采样定理，只保证不发生频率混叠，而不能保证此时的采样信号能真实地反映混叠，而不能保证此时的采样信号能真实地反映原信号原信号x(t)x(t)。工程实际中采样频率通常大于信号。工程实际中采样频率通常大于信号中最高频率成分的中最高频率成分的3 3到到5 5倍。倍。2022-12-1(三三)量化和量化误差量化和量化误差 将采样所得
23、信号的电平幅值分为一组有限个离散电将采样所得信号的电平幅值分为一组有限个离散电平，每个量化电平对应一个二进制数码，使离散信号进平，每个量化电平对应一个二进制数码，使离散信号进一步变成数字信号，称为量化。一步变成数字信号，称为量化。当采样信号的实际电平落在两个相邻量化电平之间当采样信号的实际电平落在两个相邻量化电平之间时，就要舍入到相近的一个量化电平上，该量化电平与时，就要舍入到相近的一个量化电平上，该量化电平与实际电平的差值称为量化误差实际电平的差值称为量化误差(n)。A/D转换器的位数越高，则量化误差越小，但我们需转换器的位数越高，则量化误差越小，但我们需要依需求的精度而定。位数越高，则成本
24、显著增加，转要依需求的精度而定。位数越高，则成本显著增加，转换速率也会明显下降。换速率也会明显下降。2022-12-14 4位位A/D:XXXXA/D:XXXXX(1)0101X(2)0011X(3)0000信号的6等分量化过程2022-12-1 A/DA/D转换器量化时的技术指标转换器量化时的技术指标 (3)(3)模拟信号的输入范围模拟信号的输入范围;如，如，5V5V，+/-5V+/-5V，10V10V，+/-10V+/-10V等。等。(1)(1)分辨率分辨率;用输出二进制数码的位数表示。位数越多，用输出二进制数码的位数表示。位数越多，量化误差越小，分辨力越高。常用有量化误差越小，分辨力越高
25、。常用有8 8位、位、1010位、位、1212位、位、1616位等。位等。(2)(2)转换速度转换速度;指完成一次转换所用的时间，如指完成一次转换所用的时间，如:1ms(1KHz):1ms(1KHz)；10us(100kHz)10us(100kHz)2022-12-1(四四)信号截断、能量泄漏及窗函数信号截断、能量泄漏及窗函数1、截断与泄漏、截断与泄漏 数字处理需要截断过长的信号时间历程，而只对有数字处理需要截断过长的信号时间历程，而只对有限长信号进行处理。信号乘以有限宽的窗函数就实现了限长信号进行处理。信号乘以有限宽的窗函数就实现了截断。截断。窗函数就是在模数转换过程中或数据处理过程中对窗函
26、数就是在模数转换过程中或数据处理过程中对时域信号取样时所采用的截断函数。图示为时域余弦函时域信号取样时所采用的截断函数。图示为时域余弦函数被矩形窗函数截断后其时频域变化情况。数被矩形窗函数截断后其时频域变化情况。由于信号在时域上被截断而在频域上出现附加频率由于信号在时域上被截断而在频域上出现附加频率的现象称为泄漏。的现象称为泄漏。2022-12-12、几种常用的窗函数简介、几种常用的窗函数简介 由窗函数的频谱可见，在由窗函数的频谱可见，在-2/2/之间的部分称为主瓣，其余两旁的部分，即附加频率分之间的部分称为主瓣，其余两旁的部分，即附加频率分量称为旁瓣。量称为旁瓣。当窗宽当窗宽增大时，主瓣和旁
27、瓣的宽度都变窄，主瓣增大时，主瓣和旁瓣的宽度都变窄，主瓣高度恒等于窗宽。高度恒等于窗宽。时，时，G()(),那么无限那么无限加大窗宽可实现无泄漏，但信号无截断则无意义。加大窗宽可实现无泄漏，但信号无截断则无意义。因此，对时间窗函数的要求是：其频谱的主瓣尽量因此，对时间窗函数的要求是：其频谱的主瓣尽量窄，以提高频率分辨率；旁瓣要尽量低，以减少泄漏。窄，以提高频率分辨率；旁瓣要尽量低，以减少泄漏。但往往鱼和熊掌不可兼得。需根据不同需要进行选择。但往往鱼和熊掌不可兼得。需根据不同需要进行选择。2022-12-1常用的窗函数之一：矩形窗函数常用的窗函数之一：矩形窗函数1,2()0,2tw tt矩形窗使
28、用最普遍，习惯上信号的不加窗处理就相当于使矩形窗使用最普遍，习惯上信号的不加窗处理就相当于使用了窗宽无限大的矩形窗，而此时它的主瓣是最窄的脉冲。用了窗宽无限大的矩形窗，而此时它的主瓣是最窄的脉冲。其优点是主瓣比较集中，缺点是旁瓣较高，并有负旁瓣，其优点是主瓣比较集中，缺点是旁瓣较高，并有负旁瓣，导致变换中带进了高频干扰和泄漏。导致变换中带进了高频干扰和泄漏。2022-12-1常用的窗函数之二：汉宁窗常用的窗函数之二：汉宁窗常用的窗函数之三：海明窗常用的窗函数之三：海明窗2022-12-1二、离散傅立叶变换二、离散傅立叶变换1、时域采样、时域采样2022-12-12、时域截断、时域截断2022-12-13、频域采样、频域采样2022-12-12022-12-12022-12-12022-12-12022-12-1
