1、1第三节 偏 导 数与全微分偏导数偏导数全微分全微分连续性与可微性连续性与可微性,偏导数偏导数与可微性与可微性小结小结 思考题思考题 作业作业partial derivative第八章第八章 多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用total differentiation2一、偏导数1.定义定义),(yxfz 设函数设函数,0yy固定为固定为将将),(),(0000yxfyxxfzx xzxx0lim存在存在,处处在点在点),(),(00yxyxfz 的某邻域的某邻域在点在点),(00yx内有定义，内有定义，,0时时处有增量处有增量在在而而xxx 函数有相应的增量函数有相应的增量如果极限
2、如果极限xyxfyxxfx ),(),(lim00000则称此极限为函数则称此极限为函数偏导数与全微分偏导数与全微分(称为称为关于关于x的偏增量的偏增量).记为记为对对x的偏导数的偏导数,3记为记为,00yyxxxz ,00yyxxxf ,00yyxxxz 或或).,(00yxfx同理同理,可定义函数可定义函数处处在点在点),(),(00yxyxfz 为为 yzyy0limyyxfyyxfy ),(),(lim00000记为记为,00yyxxyz ,00yyxxyf ,00yyxxyz 或或).,(00yxfyxyxfyxxfxzxxx ),(),(limlim000000对对x的偏导数的偏导
3、数,对对y的偏导数的偏导数,偏导数与全微分偏导数与全微分4那么这个偏导数那么这个偏导数仍是仍是yx、的二元函数的二元函数,它就称为函数它就称为函数如果函数如果函数对自变量对自变量x的偏导函数的偏导函数(简称偏导数简称偏导数),记作记作,xz ,xf xz或或).,(yxfx同理同理,可定义函数可定义函数),(yxfz 对自变量对自变量y的的偏导函数偏导函数(简称偏导数简称偏导数),记作记作,yz ,yf yz或或).,(yxfy在区域在区域D内任一点内任一点(x,y)处对处对x的偏导数都存在的偏导数都存在,(,)zf x y(,)zf x y偏导数与全微分偏导数与全微分5结论结论:000000
4、000000(,)(,)(,);(,)(,)(,)xxxxyyxxxxyyyyyydf x yfxyfx ydxdf xyfxyfx ydy偏导数与全微分偏导数与全微分6偏导数的概念可以偏导数的概念可以推广到二元以上函数推广到二元以上函数设设12(,),nuf x xx1111110(,)(,)limiiiniiinxif xx xxxxf xx x xxuxx则则求多元函数求多元函数12(,)nuf x xx对某个变元对某个变元ix的偏导数时的偏导数时,作关于该变元的一元函数来求导即可作关于该变元的一元函数来求导即可.只要把其他变元当作常量只要把其他变元当作常量,而把函数当而把函数当偏导数与
5、全微分偏导数与全微分7求多元函数的偏导数求多元函数的偏导数 例例 求求 的偏导数的偏导数.lntanyzx利用一元函数利用一元函数),(yxfx如求如求只需将只需将y的的求导法对求导法对x求导即可求导即可.看作常量看作常量,并不需要新的方法并不需要新的方法,例例 求求 的偏导数的偏导数.(0)yzuxx偏导数与全微分偏导数与全微分8三个偏导数三个偏导数.2lnsin)(),(xazzyxfxy 求求解解 求某一点的偏导数时求某一点的偏导数时,12lnsin xx)2,0,1(yf)2,0,1(zf)2,0,1(xf12lncos2 xxx2,000 y002 z例例变为一元函数变为一元函数,代
6、入代入,在点在点(1,0,2)处的处的可将其它变量的值可将其它变量的值再求导再求导,常常较简单常常较简单.偏导数与全微分偏导数与全微分9 证证 VRTp;2VRTVp pRTV;pRTV RpVT;RVpT pTTVVp2VRT pR RV.1 pVRT 1:pTTVVp求证求证,为为常常数数为为温温度度为为体体积积为为压压强强RTVp 偏导数的记号只是一个整体记号偏导数的记号只是一个整体记号,不能像一元函数的导数那样不能像一元函数的导数那样可看成是分子与分母的微分的商可看成是分子与分母的微分的商.例例,pVRT已知理想气体的状态方程其中偏导数与全微分偏导数与全微分102 2、偏导数的几何意义
7、、偏导数的几何意义),(yxfz 设二元函数设二元函数),(,(00000yxfyxM设设在点在点),(000yxM有有如图如图,),(yxfz 为曲面为曲面偏导数偏导数.上的一点上的一点,0M),(yxfz yxzO过点过点0M作作平面平面,0yy 此平面此平面与曲面相交得一曲线与曲面相交得一曲线,曲线的曲线的方程为方程为 ),(yxfz .0yy ),(0yxfz 由于偏导数由于偏导数),(00yxfx等于一元函数等于一元函数),(0yxf的的导数导数),(0yxf ,0 xx 故由故由一元函数导数的几何意义一元函数导数的几何意义0 x0y偏导数与全微分偏导数与全微分11可知可知:0 xy
8、TxT0y),(yxfz yxzO),(0yxfz 0M偏导数偏导数),(00yxfx在几何上表示在几何上表示曲线曲线 ),(yxfz 0yy 在点在点),(,(00000yxfyxM处的切线对处的切线对x轴轴的斜率的斜率;偏导数偏导数),(00yxfy在几何上表示在几何上表示曲线曲线 ),(yxfz 0 xx 在点在点),(,(00000yxfyxM处的切线对处的切线对y轴轴的斜率的斜率.),(0yxfz 偏导数与全微分偏导数与全微分12 曲线曲线在点在点(2,4,5)处的处的切线切线与与x轴正向所成的倾角是多少轴正向所成的倾角是多少?解解,21),(xyxfx tan1)4,2(xf4 在
9、点在点(2,4,5)处的处的切线切线与与y轴正向所成的倾角是多少轴正向所成的倾角是多少?,2422 xyxz 曲线曲线22,44xyzy偏导数与全微分偏导数与全微分13 ).0,0(),(0),0,0(),(),(22yxyxyxxyyxf当当当当解解例例.),(的偏导数的偏导数求求yxf,)0,0(),(时时当当 yx),(yxfxy222)(yx )(22yx xxy 2 ,)()(22222yxxyy ),(yxfy222)(yx )(22yx xyxy 2 .)()(22222yxxyx ,)0,0(),(时时当当 yx按按定义定义得得偏导数与全微分偏导数与全微分14)0,0(xf00
10、lim0 xx)0,0(yf00lim0 yy注注 但前面已证但前面已证,此函数在点此函数在点(0,0)是是不连续不连续的的.xfxfx)0,0()0,0(lim0 yfyfy)0,0()0,0(lim0,)0,0(),(时时当当 yx按按定义定义得得 ).0,0(),(0),0,0(),(),(22yxyxyxxyyxf当当当当.),(的偏导数的偏导数求求yxf 由以上计算可知由以上计算可知,),(yxf 在点在点)0,0(处处可偏导可偏导,偏导数与全微分偏导数与全微分15偏导数存在与连续的关系偏导数存在与连续的关系一元函数中在某点可导一元函数中在某点可导 连续连续多元函数中在某点偏导数存在
11、多元函数中在某点偏导数存在 连续连续不了连续性不了连续性.偏导数都存在偏导数都存在,函数未必有极限函数未必有极限,更保证更保证偏导数与全微分偏导数与全微分16 x=x0上的值有关上的值有关,而而与与(x0,y0)邻域内其他点上邻域内其他点上所以偏导数存在不能保证函数所以偏导数存在不能保证函数说明说明因偏导数因偏导数fx(x0,y0)仅与仅与函数函数 f(x,y)在在y=y0上的值有关上的值有关,偏导数偏导数 f y(x0,y0)仅与仅与函数函数 f(x,y)在在的函数值无关的函数值无关,有极限有极限.偏导数与全微分偏导数与全微分17 二元函数二元函数f(x,y)在点在点(x0,y0)处两个偏导
12、数处两个偏导数 fx(x0,y0),f y(x0,y0)存在是存在是 f(x,y)在该点连续的在该点连续的().A.充分条件而非必要条件充分条件而非必要条件B.必要条件而非充分条件必要条件而非充分条件C.充分必要条件充分必要条件D.既非既非充分条件又非必要条件充分条件又非必要条件D偏导数与全微分偏导数与全微分18二、全微分函数的变化情况函数的变化情况.偏导数讨论的只是某一自变量变化时偏导数讨论的只是某一自变量变化时函数的变化率函数的变化率.现在来讨论当各个自变量同时变化时现在来讨论当各个自变量同时变化时偏导数与全微分偏导数与全微分19先来介绍先来介绍全增量全增量的概念的概念),(yxfz 设设
13、二二元元函函数数,时时、增增量量yx ),(),(yxfyyxxfz 的的在点在点称为称为),(),(yxyxf为了引进全微分的定义为了引进全微分的定义,全增量全增量.处分别有处分别有在点在点、当变量当变量),(yxyx域内有定义域内有定义,函数取得的增量函数取得的增量全增量全增量.(,)P x y在点的某邻偏导数与全微分偏导数与全微分20全微分的定义全微分的定义的的全全增增量量在在点点如如果果函函数数),(),(yxyxfz ),(oyBxAz ,有有关关、仅仅与与、其其中中yxBA,)()(22yx yBxA ,yx 、处处),(yx处的处的全微分全微分.可表示为可表示为),(yxfz 可
14、微分可微分,在点在点),(yx则称函数则称函数称为函数称为函数记作记作,dz即即.dyBxAz 函数若在某平面区域函数若在某平面区域D内处处可微时内处处可微时,则称则称可微函数可微函数.这函数在这函数在D内的内的而不依赖于而不依赖于(,)zf x y在点偏导数与全微分偏导数与全微分21 可微与偏导数存在有何关系呢？可微与偏导数存在有何关系呢？微分系数微分系数注注yxz 与与是是d.1 之差是比之差是比与与 zzd.2yBxAz d全微分全微分有类似一元函数微分的有类似一元函数微分的)(oyBxAz A=?B=?两个性质两个性质:全微分的定义可推广到三元及三元以上函数全微分的定义可推广到三元及三
15、元以上函数.的的线性函数线性函数;高阶无穷小高阶无穷小.偏导数与全微分偏导数与全微分22类似一元函数的局部线性化,有二元函数的局部线性化.设函数00(,)(,),f x yxy在点可微0000,(,)(,)f x yf xyA xxB yy则表示一个平面即,二元函数00(,)(,)f x yxy在点附近可以局部线性化.偏导数与全微分偏导数与全微分23三、连续性与可微性,偏导数与可微性 多元函数多元函数在某点在某点可微可微是否保证是否保证 事实上事实上,)(oyBxAz 显然显然,结论结论:由全微分的定义有由全微分的定义有可得可得 z0lim 0 多元函数可微必连续多元函数可微必连续 连续的定义
16、连续的定义不连续不连续的函数的函数函数在该点连续函数在该点连续如果函数如果函数),(),(yxyxfz在点在点 可微分可微分,则函数在该点连续则函数在该点连续.)(lim0 oyBxA 一定是一定是不可微不可微的的.1.可微与连续偏导数与全微分偏导数与全微分24(1).可微分的必要条件可微分的必要条件由下面的定理来回答：由下面的定理来回答：.dyyzxxzz (可微必偏导存在可微必偏导存在).定理定理1 1(可微必要条件可微必要条件)如果函数如果函数在点在点),(yxfz 的的则该函数在点则该函数在点),(yx可微分可微分,),(yx,必存在必存在且函数且函数),(yxfz ),(yx在点在点
17、的全微分为的全微分为yzxz 、偏导数偏导数2、可微的条件、可微的条件偏导数与全微分偏导数与全微分25证证)(oyBxAz 总成立总成立,),()0,(yxfyxxf|),(|xoxA Axyxfyxxfx ),(),(lim0 xz同理可得同理可得.yzB 时，时，当当0 y上式仍成立上式仍成立,此时此时|,|x PyyxxP ),(的某个邻域的某个邻域如果函数如果函数),(),(yxPyxfz在点在点 可微分可微分,yyzxxzz d),(),(yxyxfz在点在点如果函数如果函数 则则该该函函数数可微分可微分,),(yxfz 且函数且函数,必存在必存在、偏导数偏导数yzxz 的的在在点点
18、),(yx的的全全微微分分为为在在点点),(yx偏导数与全微分偏导数与全微分26多元函数的各偏导数存在多元函数的各偏导数存在 全微分存在全微分存在下面举例说明下面举例说明二元函数可微一定存在两个偏导数二元函数可微一定存在两个偏导数.一元函数在某点的导数存在一元函数在某点的导数存在 微分存在微分存在回忆回忆:一元函数的可导与可微的关系一元函数的可导与可微的关系?由定理由定理1知知偏导数与全微分偏导数与全微分结论：00(,)(,)zf x yxy当在点的偏导数存在时，00(,)(,)zf x yxy则在点可微00002200(,)(,)lim0 xyxyzfxyxfxyyxy 27如，如，.000
19、),(222222 yxyxyxxyyxf但两个偏导数都存在函数却不一定可微但两个偏导数都存在函数却不一定可微.(由偏导数定义可求得由偏导数定义可求得)0)0,0()0,0(yxff,)0,0(处有处有在点在点偏导数与全微分偏导数与全微分28)0,0()0,0(yfxfzyx ,)()(22yxyx 则则22)()(yxyx 22)()(xxxx ,21)0,0()0,0(yfxfzyx 处有处有在点在点)0,0(说明它不能随着说明它不能随着0 而趋于而趋于0,0时时当当 因此因此,.)0,0(处不可微处不可微函数在点函数在点如果考虑点如果考虑点),(yxP 沿直线沿直线xy 趋近于趋近于),
20、0,0(),(o .000),(222222 yxyxyxxyyxf偏导数与全微分偏导数与全微分29说明说明 各偏导数存在只是全微分存在的必要条件而不是充各偏导数存在只是全微分存在的必要条件而不是充分条件分条件.这也是这也是一元函数一元函数推广到推广到多元函数多元函数出现的又出现的又函数是函数是可微分可微分的的.多元函数的各偏导数存在并不能保证多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在全微分存在.一个原则一个原则区别区别.现再假定函数的现再假定函数的则可证明则可证明各个偏导数连续各个偏导数连续,偏导数与全微分偏导数与全微分30),(),(yxfyyxxfz ),(),(yyxfyyxxf (2
21、).可微分的充分条件可微分的充分条件*证证),(),(yxfyyxf 在该点的某一邻域内必存在在该点的某一邻域内必存在的意思的意思.定理定理2 2的的如果函数如果函数),(yxfz ,),(连续连续在在、yxyzxz .可微分可微分(今后常这样理解今后常这样理解).用拉氏定理用拉氏定理(微分充分条件微分充分条件)假定偏导数在点假定偏导数在点P(x,y)连续连续,就含有就含有偏导数偏导数),(yx则该函数在点则该函数在点偏导数偏导数偏导数与全微分偏导数与全微分31),(),(yyxfyyxxf xyyxxfx ),(1)10(1 xxyxfx 1),(11),(),(.),(),(yxfyyxx
22、fyxyxfxxx令令连续连续在点在点由由)0,0(01 yx 其其中中偏导数与全微分偏导数与全微分32xxyxfx 1),(yyyxfy 2),(z yx21,00 故函数故函数),(yxfz 在点在点),(yx处可微处可微.同理同理),(),(yxfyyxf ,),(2yyyxfy xyxfx ),(x 1 yyxfy ),(y 2 21 ,0,02 时时当当 y),(),(yyxfxyxfzyx yx21 偏导数与全微分偏导数与全微分33在原点在原点(0,0)可微可微.yzxz ,并非必要条件并非必要条件.如如 0,00,1sin)(),(22222222yxyxyxyxyxf函数函数x
23、fxffxx )0,0()0,0(lim)0,0(0 xxxx 220)(1sin)(lim事实上事实上,注注定理定理2的条件的条件(即两个偏导数即两个偏导数在点在点连续连续)可微的充分可微的充分0),(yx仅是函数仅是函数在点在点),(yx),(yxfz 条件条件,同样同样,0)0,0(yf偏导数与全微分偏导数与全微分34)0,0()0,0(fyxfz 2222)()(1sin)()(yxyx 0lim)()(22yx 在原点在原点(0,0)可微可微.0,00,1sin)(),(22222222yxyxyxyxyxf函数函数0)0,0(yf0)0,0(xf201sinlim z 0 0)0,
24、0()0,0(yfxfyx 于是于是,)0,0()0,0(yfxfzyx )(o偏导数与全微分偏导数与全微分35即函数即函数f(x,y)在原点在原点(0,0)可微可微.但是但是,yfxfzyx)0,0()0,0(d事实上事实上,2222221cos21sin2),(yxyxxyxxyxfx )(0)(0yx 0,00,1sin)(),(22222222yxyxyxyxyxf函数函数偏导数在原点偏导数在原点(0,0)不连续不连续.所以所以,0)0,0(yf0)0,0(xf特别是特别是),(lim0 xxfxx 不存在不存在.即即fx(x,y)在原点在原点(0,0)不连续不连续.极限极限,时时当当
25、xy )21cos121sin2(lim220 xxxxx fy(x,y)在原点在原点(0,0)也不连续也不连续.同理可证同理可证,022时时当当 yx函数在一点可微函数在一点可微,此题说明此题说明:在这点偏导数不一定连续在这点偏导数不一定连续.偏导数与全微分偏导数与全微分36特别,当 时,(,)zf x yxdzdxx 同样当 时(,)zf x yydzdyy 因此,如果函数的微分存在,常写成.dddyyzxxzz 偏导数与全微分偏导数与全微分37记全微分为记全微分为.dddyyzxxzz .ddddzzuyyuxxuu 通常把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和通常把二元函数的全微分等于
26、它的两个偏微分之和叠加原理也适用于二元以上函数的情况叠加原理也适用于二元以上函数的情况.习惯上习惯上,称为二元函数的微分符合称为二元函数的微分符合),(zyxfu 如三元函数如三元函数则则偏导数与全微分偏导数与全微分38解解,2xyyexxz ,xyxeyz yyzxxzzyxyxddd2121 例例计算函数计算函数xyexz 2在点在点)2,1(的全微分的全微分.所以所以.d)d1(222yexe 偏导数与全微分偏导数与全微分39答案答案.的全微分的全微分求求zyxu udyyxyzzd xyxyzzd1 zyxyxzdln 偏导数与全微分偏导数与全微分40解解例例计算计算02.2)04.1
27、(的近似值的近似值.),(yxfz设设利用函数利用函数yxyxf),(在点在点),(00yx处的可微性处的可微性,可得可得 02.2)04.1()02.2,04.1(f )2,1(f02.0004.021 .08.1,yx)2,1(04.0 x02.0 yzf )2,1()2,1(fzdyfxfyx )2,1()2,1(偏导数与全微分偏导数与全微分41考虑二元函数考虑二元函数 f(x,y)的下面的下面4条性质条性质:选择题选择题 f(x,y)在点在点(x0,y0)处连续处连续,f(x,y)在点在点(x0,y0)处的两个偏导数连续处的两个偏导数连续,f(x,y)在点在点(x0,y0)处可微处可微
28、,f(x,y)在点在点(x0,y0)处的两个偏导数存在处的两个偏导数存在.若用若用“”QP 表示可由性质表示可由性质P推出性质推出性质Q,则有则有(A).(B).(C).(D).偏导数与全微分偏导数与全微分42下下列列处处可可微微在在点点设设二二元元函函数数,),(),(yxyxfz ),(),(),(),()(yxfyxfyxyxfByx处处两两个个偏偏导导数数在在点点),(),(),(),()(yxfyxfyxyxfDyx处处两两个个偏偏导导数数在在点点连续连续.D结论结论不正确不正确的是的是().都存在都存在,()(,)(,),A f x yx y在点处连续()(,)(,),C f x
29、yx y在点某邻域内有界偏导数与全微分偏导数与全微分43 )0,0(),(0)0,0(),(),(222yxyxyxyxyxf设函数设函数).()0,0(点点在在,)(极极限限不不存存在在A,)(不不连连续续B,)(可可微微分分C.)0,0(),0,0(.存存在在yxffDD偏导数与全微分偏导数与全微分44是非题是非题,0)0,0(,0)0,0(,|),(yxffxyyxf则则可可得得设设函函数数.)0,0(),(的的全全微微分分是是零零在在点点从从而而yxf(非非)事实上事实上,由由偏偏导导数数定定义义可可求求得得设设函函数数,|xyz 在在点点)0,0(处处有有,0)0,0(,0)0,0(
30、yxff)0,0()0,0(yfxfzyx|yx yx 0lim22200)()()(limxxxxyx|2|lim0 xxx 021 偏导数与全微分偏导数与全微分45偏导数的定义偏导数的定义偏导数的计算偏导数的计算(偏增量比的极限偏增量比的极限)偏导数的几何意义偏导数的几何意义偏导数存在与连续、极限的关系偏导数存在与连续、极限的关系四、小结四、小结偏导数与全微分偏导数与全微分46全微分的定义全微分的定义全微分的计算全微分的计算多元函数极限、连续、偏导、可微的关系多元函数极限、连续、偏导、可微的关系(注意：与一元函数有很大的区别注意：与一元函数有很大的区别)可微分的必要条件、可微分的必要条件、
31、可微分的充分条件可微分的充分条件偏导数与全微分偏导数与全微分47 对对一元函数一元函数的极限、连续、可导、可微间的关系：的极限、连续、可导、可微间的关系：可微可微 可导可导 连续连续 有极限有极限 对对多元函数多元函数的极限、连续、可导、可微的关系：的极限、连续、可导、可微的关系：偏导连续偏导连续 可微可微 连续连续 有极限有极限 有偏导有偏导偏导数与全微分偏导数与全微分48思考题思考题1全微分公式全微分公式yyzxxzzddd 恒成立吗恒成立吗?不一定不一定.0,00,),(222222yxyxyxxyyxf.)0,0(的情形的情形在点在点考虑函数考虑函数偏导数与全微分偏导数与全微分49 ).()0,0()0,0(),(0)0,0(),(),(22处处在点在点yxyxyxxyyxfA.连续连续,偏导数存在偏导数存在;B.连续连续,偏导数偏导数不不存在存在;C.不连续不连续,偏导数存在偏导数存在;D.不不连续连续,偏导数不存在偏导数不存在.C思考题思考题2偏导数与全微分偏导数与全微分50作业作业 习题习题7.3 (637.3 (63页页)(A）2.(11)3.(4)4.(A）6.(6)8.（B）4.5.偏导数与全微分偏导数与全微分
