1、第十三章第十三章 对称轴对称轴全章热门考点整合应用全章热门考点整合应用习题课习题课 本章内容在中考试题中一直占有重要的地位，本章内容在中考试题中一直占有重要的地位，属必考内容，多以选择题，填空题的形式出现，其属必考内容，多以选择题，填空题的形式出现，其考查内容主要有考查内容主要有轴对称轴对称和和轴对称图形轴对称图形的识别，的识别，最短最短距离距离问题，与问题，与翻折翻折有关的计算和证明题等有关的计算和证明题等1考点考点两个概念两个概念1【中考中考赤峰赤峰】下列图形是由我们熟悉的一些下列图形是由我们熟悉的一些 基本数学图形组成的，其中是轴对称图形的基本数学图形组成的，其中是轴对称图形的 是是_(
2、填序号填序号)概念概念1 轴对称图形轴对称图形2【中考中考北京北京】甲骨文是我国的一种古代文字，甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对 称的是称的是()同类变式同类变式D3观察图中的左右两个图形，它们是否成轴对称？观察图中的左右两个图形，它们是否成轴对称？如果是，请画出其对称轴如果是，请画出其对称轴概念概念2 轴对称轴对称点点题图中的左右两个图形成轴对称，题图中的左右两个图形成轴对称，题图中的左右两个图形不成轴对称题题图中的左右两个图形不成轴对称题图中成轴对称的两个图形的对称轴图中成轴对称的两个图形的对称轴如图所示如图所示解
3、：解：点点判断两个图形是否成轴对称，关键是理解、应判断两个图形是否成轴对称，关键是理解、应用两个图形成轴对称的定义，即看两个图形能用两个图形成轴对称的定义，即看两个图形能否沿一条直线折叠后重合若重合，则两个图否沿一条直线折叠后重合若重合，则两个图形关于这条直线成轴对称，否则不成轴对称形关于这条直线成轴对称，否则不成轴对称2考点考点五个性质五个性质4如图，将四边形纸片如图，将四边形纸片ABCD沿沿AE向上折叠，向上折叠，使点使点B落在落在DC边上的点边上的点F处若处若AFD的周的周 长为长为24 cm，ECF的周长为的周长为8 cm，求四边形，求四边形 纸片纸片ABCD的周长的周长性质性质1轴对
4、称的性质轴对称的性质点点由题意可知，由题意可知，ABE和和AFE关于直线关于直线AE成轴成轴对称，所以对称，所以ABAF，BEFE.因为因为AFD的周长为的周长为24 cm，ECF的周长为的周长为8 cm，即即ADDFAF24 cm，FCCEFE8 cm，所以四边形纸片所以四边形纸片ABCD的周长为的周长为 ADDCBCABADDFFCCEBEAB(ADDFAF)(FCCEFE)24832(cm)解：解：5.如图，如图，ABC内有一点内有一点D，且，且DADBDC.若若DAB20，DAC30，则，则BDC 的度数是的度数是()A100 B80 C70 D50性质性质2等腰三角形的性质等腰三角形
5、的性质A点点(方法一方法一)因为因为DADB，所以所以DBADAB20.因为因为DADC，所，所以以DCADAC30.在在ABC中，有中，有DBCDCB18022023080.所以所以BDC180(DBCDCB)18080100.点点(方法二方法二)在在ADB中，由方法一可得中，由方法一可得ADB18022018040140.同理同理ADC180230120.所以所以BDC360140120100.故选故选A.6如图，已知如图，已知ABC和和BDE均为等边三角形，均为等边三角形，试说明：试说明：BDCDAD.性质性质3等边三角形的性质等边三角形的性质点点因为因为ABC，BDE均为等边三角形，均
6、为等边三角形，所以所以BEBDDE，ABBC，ABCEBD60.所以所以ABEEBCDBCEBC.所以所以ABEDBC.在在ABE和和CBD中，中，ABCB，ABECBD，BEBD，解：解：点点所以所以ABE CBD(SAS)所以所以AECD.又因为又因为ADAEED，EDBD，所以所以BDCDAD.7如图，直线如图，直线PG为为ABC的边的边BC的垂直平分线，的垂直平分线，PBC A，BP，CP的延长线分别交的延长线分别交AC，AB于点于点D，E.试说明：试说明：BECD.性质性质4线段垂直平分线的性质线段垂直平分线的性质12如图，在如图，在BD上截取上截取BE，使，使BECE，连接，连接C
7、E.因为直线因为直线PG为为BC的垂直平分线，的垂直平分线，所以所以PBPC.所以所以PBCPCB，PEPE.又因为又因为BPECPE，所以所以BPE CPE(SAS)所以所以BECE，EBPECP.因为因为CDEAABP，CEDEBCBCE2PBCECPAECP，所以所以CDECED.所以所以CDCE.所以所以BECD.解：解：8如图，在如图，在RtABD中，中，ADB90，A60，作，作DCAB，且，且DBCBDC，DC与与BC交于点交于点C，CD4.求：求：(1)CBD的度数；的度数；(2)AB的长的长性质性质5含含30角的直角三角形的性质角的直角三角形的性质在在RtADB中，中，A60
8、，ADB90，ABD30.ABCD，CDBABD30.又又DBCBDC，CBDCDB30.如图，过点如图，过点C作作CMBD于点于点M，交，交AB于点于点E，连接连接DE，DBCBDC，BCCD，又又CMBD，DMMB.解：解：(1)(2)CE为线段为线段BD的垂直平分线，的垂直平分线，DEEB，EDBEBD30.CDM30，CMD90，CM CD 42.又又EBMCBM30，EMBCMB90，BMBM，EBM CBM，EMCM2.EDM30，EMD90，DE2EM4.1212DEAEDBEBD60，A60，DEAA.ADDE4.又又ADB90，ABD30，AB2AD8.含含30角的直角三角形
9、的性质常与直角三角形角的直角三角形的性质常与直角三角形的两个锐角互余同时运用，此性质是求线段长的两个锐角互余同时运用，此性质是求线段长度和证明线段倍分问题的重要依据度和证明线段倍分问题的重要依据3三个判定三个判定考点考点9如图，已知等腰三角形如图，已知等腰三角形ABC中，中，ABAC，AE EM MB1 2 1，AD DN NC1 2 1，连接连接MD，NE交于点交于点O，求证：求证：OMN是等腰三角形是等腰三角形判定判定1 等腰三角形的判定等腰三角形的判定在在ABC中，因为中，因为ABAC，且且AE EM MB1 2 1，AD DN NC1 2 1，所以所以AD AC，AE AB AC，所以
10、所以AEAD.同理同理AMAN.在在ADM与与AEN中，中，ADAE，MADNAE，AMAN，证明：证明：141414所以所以ADM AEN，所以所以AMDANE.又因为又因为AMAN，所以，所以AMNANM，所以所以AMNAMDANMANE，即即OMNONM，所以所以OMON，所以，所以OMN是等腰三角形是等腰三角形10如图，设在一个宽度如图，设在一个宽度ABa的小巷内，一个梯的小巷内，一个梯 子的长度为子的长度为b，梯子的脚位于，梯子的脚位于P点，将该梯子的点，将该梯子的 顶端放于一面墙上的顶端放于一面墙上的Q点时，点时，Q点离地面的高点离地面的高 为为c，梯子与地面的夹角为，梯子与地面的
11、夹角为45，将梯子顶端放于另一面墙上的将梯子顶端放于另一面墙上的R 点时，离地面的高度为点时，离地面的高度为d，此时，此时 梯子与地面的夹角为梯子与地面的夹角为75，则，则d a，为什么？，为什么？判定判定2 等边三角形的判定等边三角形的判定连接连接RQ，RB，设，设BR与与PQ交于点交于点M.RPA75，QPB45，RPQ180754560.又又PRPQ，PRQ为等边三角形为等边三角形RPRQ.在在RtBPQ中，中，BPQ45，BQP904545，解：解：BPQBQP，BPBQ.点点R，B在在PQ的垂直平分线上，的垂直平分线上，BMPQ.在在RtBMP中，中，BPQ45，RBA45.在在Rt
12、RAB中，中，ARB90RBA45，ARBRBA，ARAB，即，即da.点点若两个点到线段两端点的距离相等，则这两点若两个点到线段两端点的距离相等，则这两点确定的直线是该线段的垂直平分线确定的直线是该线段的垂直平分线11如图，如图，AD为为ABC的角平分线，的角平分线，DEAC于点于点E，DFAB于点于点F，EF交交AD于点于点M，试说明：，试说明：AD垂垂 直平分直平分EF.判定判定3 线段垂直平分线的判定线段垂直平分线的判定因为因为AD为为ABC的角平分线，的角平分线，DEAC，DFAB，所以，所以DEDF.所以点所以点D在线段在线段EF的垂直平分线上的垂直平分线上因为因为FADEAD，A
13、FDAED90，ADAD，所以，所以AFD AED.所以所以AFAE.所以点所以点A在线段在线段EF的垂直平分线上的垂直平分线上根据两点确定一条直线可知，根据两点确定一条直线可知，AD即为即为EF的垂的垂直平分线，即直平分线，即AD垂直平分垂直平分EF.解：解：4两个应用两个应用考点考点12如图，如图，A，B，C三点表示三个村庄，为了解三点表示三个村庄，为了解 决村民子女就近入学的问题，计划新建一所决村民子女就近入学的问题，计划新建一所 小学，要使学校到三个村庄距离相等，请你小学，要使学校到三个村庄距离相等，请你 在图中确定学校的位置在图中确定学校的位置应用应用1 线段垂直平分线的应用线段垂直
14、平分线的应用作法：作法：(1)连接连接AB，BC；(2)分别作分别作AB，BC的垂直平分线交于点的垂直平分线交于点P，则点，则点P就是所要确定的学校的位置，如图就是所要确定的学校的位置，如图解：解：点点三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这点三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这点到三个顶点的距离相等找三角形中到三个顶到三个顶点的距离相等找三角形中到三个顶点距离相等的点的方法就是找任意两边的垂直点距离相等的点的方法就是找任意两边的垂直平分线的交点平分线的交点13如图，如图，A，B两点在直线两点在直线l的两侧，在的两侧，在l上找一点上找一点 C，使点，使点C到点到点A，B的距离之差最大，并说明的
15、距离之差最大，并说明 理由理由应用应用2 最短与最长路径的应用最短与最长路径的应用如图，以直线如图，以直线l为对称轴，作点为对称轴，作点A关于直线关于直线l的对的对称点称点A，连接，连接AB并延长交并延长交l于点于点C，则点，则点C即为即为所求所求理由：在直线理由：在直线l上任找一点上任找一点C(异于点异于点C)，连接，连接CA，CA，CA，CB.解：解：因为点因为点A，A关于直线关于直线l对称，对称，所以所以l为线段为线段AA的垂直平分线则有的垂直平分线则有CACA，所以所以CACBCACBAB.又因为点又因为点C在在l上，所以上，所以CACA.在在ABC中，中，CACBAB，所以所以CAC
16、BCACB.5两种思想两种思想考点考点14如图，如图，ABC是等腰三角形，是等腰三角形，ABAC，在，在 ABC外部分别作等边三角形外部分别作等边三角形ADB和等边三和等边三 角形角形ACE.若若DAEDBC，求，求ABC三个三个 内角的度数内角的度数思想思想1 方程思想方程思想因为因为ADB和和ACE都是等边三角形，都是等边三角形，所以所以DAEDABBACCAE60BAC60120BAC，DBC60ABC.又因为又因为DAEDBC，所以所以120BAC60ABC，即即ABC60BAC.又因为又因为ABC是等腰三角形，是等腰三角形，所以所以ACBABC60BAC.解：解：设设BACx，因为，
17、因为BAC2ABC180，则则x2(x60)180，解得，解得x20.所以所以ACBABC 60BAC6020 80.所以所以ABC三个内角的度数分别为三个内角的度数分别为20，80，80.15在等腰三角形在等腰三角形ABC中，中，A比比B的的2倍少倍少50，求求B的度数的度数思想思想2 分类思想分类思想设设Bx.因为因为A比比B的的2倍少倍少50，所以所以A2x50.因为因为ABC180，所以所以C180(2x50)x 2303x.解：解：当当ABAC时时(如图如图)，此时有此时有BC，则则x2303x.解得解得x57.5.当当ABBC时时(如图如图)，此时有此时有AC，则则2x502303x.解得解得x56.当当ACBC时时(如图如图)，此时有，此时有AB，则则2x50 x.解得解得x50.综上所述，综上所述，B为为57.5或或56或或50.点点本题要求的是等腰三角形的内角，这类问题通本题要求的是等腰三角形的内角，这类问题通常要分类讨论怎样讨论是解题的重点和难常要分类讨论怎样讨论是解题的重点和难点本题巧妙地采用设未知数的方法，使得三点本题巧妙地采用设未知数的方法，使得三个角都能用含未知数的式子来表示，再根据等个角都能用含未知数的式子来表示，再根据等腰三角形顶角、底角的情况进行分类腰三角形顶角、底角的情况进行分类
