1、12/1/202212/1/20221第四章第四章 傅里叶变换傅里叶变换4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数4.2 周期信号的频谱分析周期信号的频谱分析4.3 典型周期信号的频谱典型周期信号的频谱4.4 非周期信号的频谱分析非周期信号的频谱分析4.5 典型非周期信号的频谱典型非周期信号的频谱12/1/2022212/1/202212/1/20222频域分析从本章开始由时域转入变换域分析，首先讨论傅里叶变换。从本章开始由时域转入变换域分析，首先讨论傅里叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基础上发展而产生的，傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基础上发展而产生的，这方面的问题也
2、称为傅里叶分析（频域分析）。将信号进行正交这方面的问题也称为傅里叶分析（频域分析）。将信号进行正交分解，即分解为三角函数或复指数函数的组合。分解，即分解为三角函数或复指数函数的组合。频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信号内在的频频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信号内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的密切关系，从而导率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、调制和频分复用等重要概念。出了信号的频谱、带宽以及滤波、调制和频分复用等重要概念。12/1/2022312/1/202212/1/20223发展历史1822年，法国数学家傅
3、里叶年，法国数学家傅里叶(J.Fourier,1768-1830)在研究热传导理论时发表了在研究热传导理论时发表了“热的分析理论热的分析理论”，提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了，提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理论基础。傅里叶级数的理论基础。泊松泊松(Poisson)、高斯、高斯(Guass)等人把这一成果应用到电学中去，得到广泛应用。等人把这一成果应用到电学中去，得到广泛应用。19世纪末，人们制造出用于工程实际的电容器。世纪末，人们制造出用于工程实际的电容器。进入进入20世纪以后，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等一系列具体问题的解决世纪以后，谐振
4、电路、滤波器、正弦振荡器等一系列具体问题的解决为正弦函数与傅里叶分析的进一步应用开辟了广阔的前景。为正弦函数与傅里叶分析的进一步应用开辟了广阔的前景。在通信与控制系统的理论研究和工程实际应用中，傅里叶变换法具有很多的在通信与控制系统的理论研究和工程实际应用中，傅里叶变换法具有很多的优点。优点。“FFT”快速傅里叶变换为傅里叶分析法赋予了新的生命力。快速傅里叶变换为傅里叶分析法赋予了新的生命力。12/1/2022412/1/202212/1/20224主要内容本章从傅里叶级数正交函数展开问题开始讨论，引出傅本章从傅里叶级数正交函数展开问题开始讨论，引出傅里叶变换，建立信号频谱的概念。里叶变换，建
5、立信号频谱的概念。通过典型信号频谱以及傅里叶变换性质的研究，初步掌通过典型信号频谱以及傅里叶变换性质的研究，初步掌握傅里叶分析方法的应用。握傅里叶分析方法的应用。对于周期信号而言，在进行频谱分析时，可以利用傅里对于周期信号而言，在进行频谱分析时，可以利用傅里叶级数，也可以利用傅里叶变换，傅里叶级数相当于傅叶级数，也可以利用傅里叶变换，傅里叶级数相当于傅里叶变换的一种特殊表达形式。里叶变换的一种特殊表达形式。本章最后研究抽样信号的傅里叶变换，引入抽样定理。本章最后研究抽样信号的傅里叶变换，引入抽样定理。12/1/2022512/1/202212/1/20225傅里叶生平傅里叶生平1768年生于法
6、国年生于法国1807年提出年提出“任何周任何周期信号都可用正弦函数期信号都可用正弦函数级数表示级数表示”1829年狄里赫利第一年狄里赫利第一个给出收敛条件个给出收敛条件拉格朗日反对发表拉格朗日反对发表1822年首次发表在年首次发表在“热的分析理论热的分析理论”一书一书中中12/1/2022612/1/202212/1/20226傅里叶傅里叶(Jean Baptise Joseph Fourier17681830)法国数学家。1768年3月21日生于奥塞尔，1830年5月16日卒于巴黎。1795年曾在巴黎综合工科学校任讲师。1798年随拿破仑远征埃及，当过埃及学院的秘书。1801年回法国，又任伊
7、泽尔地区的行政长官。1817年傅里叶被选为科学院院士，并于1822年成为科学院的终身秘书。1827年又当选为法兰西学院院士。在十八世纪中期,是否有用信号都能用复指数的线性组合来表示这个问题曾是激烈争论的主题。1753年,D.伯努利曾声称一根弦的实际运动都可以用正弦振荡模的线性组合来表示,但他没有继续从数学上深入探求下去;后来欧拉本人也抛弃了三角级数的想法。12/1/2022712/1/202212/1/20227在1759年拉格朗日(J.L.Lagrange)表示不可能用三角级数来表示一个具有间断点的函数,因此三角级数的应用非常有限。正是在这种多少有些敌对和怀疑的处境下,傅里叶约于半个世纪后提
8、出了他自己的想法。傅里叶很早就开始并一生坚持不渝地从事热学研究，1807年他在向法国科学院呈交一篇关于热传导问题的论文中宣布了任一函数都能够展成三角函数的无穷级数任一函数都能够展成三角函数的无穷级数。这篇论文经J.-L.拉格朗日,P.-S.拉普拉斯,A.-M.勒让德等著名数学家审查，由于文中初始温度展开为三角级数的提法与拉格朗日关于三角级数的观点相矛盾，而遭拒绝。由于拉格朗日的强烈反对,傅里叶的论文从未公开露面过。为了使他的研究成果能让法兰西研究院接受并发表,在经过了几次其他的尝试以后,傅里叶才把他的成果以另一种方式出现在热的分析理论这本书中。这本书出版于1822年,也即比他首次在法兰西研究院
9、宣读他的研究成果时晚十五年。这本书已成为数学史上一部经典性的文献，其中基本上包括了他的数学思想和数学成就。12/1/2022812/1/202212/1/20228 书中处理了各种边界条件下的热传导问题，以系统地运用三角级数和三角积分而著称，他的学生以后把它们称为傅里叶级数和傅里叶积分，这个名称一直沿用至今。傅里叶在书中断言：“任意”函数（实际上要满足 一定的条件,例如分段单调）都可以展开成三角级数,他列举大量函数并运用图形来说明函数的这种级数表示的普遍性，但是没有给出明确的条件和完整的证明。傅里叶的创造性工作为偏微分方程的边值问题提供了基本的求解方法-傅里叶级数法,从而极大地推动了微分方程理
10、论的发展，特别是数学物理等应用数学的发展；其次，傅里叶级数拓广了函数概念，从而极大地推动了函数论的研究，其影响还扩及纯粹数学的其他领域。傅里叶深信数学是解决实际问题的最卓越的工具，并且认为“对自然界的深刻研究是数学最富饶的源泉。”这一见解已成为数学史上强调通过实际应用发展数学的一种代表性的观点。12/1/2022912/1/202212/1/20229傅立叶的两个最主要的贡献傅立叶的两个最主要的贡献“周期信号都可表示为谐波关系周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和的正弦信号的加权和”傅里叶的第一个主要论点傅里叶的第一个主要论点“非周期信号都可用正弦信号的非周期信号都可用正弦信号的加权积分
11、表示加权积分表示”傅里叶的第二个主要论点傅里叶的第二个主要论点12/1/20221012/1/202212/1/202210频域分析：傅里叶变换频域分析：傅里叶变换自变量为自变量为 j 复频域分析：拉氏变换复频域分析：拉氏变换自变量为自变量为 S=+j Z域分析：域分析：Z 变换变换自变量为自变量为z TjsTeez)(变换域分析变换域分析：12/1/20221112/1/202212/1/2022114.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数正交矢量正交矢量正交函数正交函数正交函数集正交函数集用完备正交集表示信号用完备正交集表示信号12/1/20221212/1/202212/1/2022
12、12一、正交矢量一、正交矢量矢量：矢量：V1 和和 V2 参加如下运算，参加如下运算，Ve 是它们的差，是它们的差，如下式：如下式：ecVVV21211V2VeV212Vc1V2VeV212Vc1V2VeV212Vc12/1/20221312/1/202212/1/2022132212211212.coscosVVVVVVcVV222112.VcVV表示和互相接近的程度1V2V12c当V1、V2完全重合，则随夹角增大，c12减小；当，V1和V2相互垂直1,012c0,9012co12/1/20221412/1/202212/1/202214yxVVVzyxVVVVVxVyVzV二维正交集VyV
13、xV三维正交集12/1/20221512/1/202212/1/202215 二、正交函数令令 ，则误差能量，则误差能量 最小最小)()()(212121ttttfctf dttfctftttt22121122)()()(1210122c2 12/1/20221612/1/202212/1/2022160)()(122121121221 dttfctfttctt dttftfdttfctttttt)()(2)(1212112122210)(2212212 ttdttfc解得 2121)()()(222112ttttdttfdttftfc12/1/20221712/1/202212/1/2022
14、17正交条件若c12=0，则f1(t)不包含f2(t)的分量，则称正交。正交的条件：0)()(2121 ttdttftf12/1/20221812/1/202212/1/202218例：试用试用sint 在区间（在区间（0，2）来近似）来近似 f(t)。)2(1)0(1)(tttf12c 211tf(t)012/1/20221912/1/202212/1/202219解：tdttdttfc2022012sinsin)()sin(sin120dtttdt4ttfsin4)(所以：12c 211tf(t)012/1/20222012/1/202212/1/202220200sincostdtt例：
15、试用正弦例：试用正弦sint 在（在（0，2）区间内来表示余）区间内来表示余弦弦cost.所以所以012 c说明说明cost 中不包含中不包含 sint 分量，分量，因此因此cost 和和 sint 正交。正交。显然显然12/1/20222112/1/202212/1/202221三、三、正交函数集正交函数集n个函数 构成一函数集，如在区间 内满足正交特性，即)(),(),(21tgtgtgn),(21tt)(0)()(21jidttgtgttji21)(2ttiiKdttg则此函数集称为正交函数集12/1/20222212/1/202212/1/202222在（在（t1,t2）区间，任意函数
16、）区间，任意函数f(t)可由可由n个正交的函数的个正交的函数的线性组合近似线性组合近似)()()()()(12211tgctgctgctgctfnrrrnn ic 212121)()(1)()()(2tttiittitiidttgtfKdttgdttgtfc由最小均方误差准则，要求系数由最小均方误差准则，要求系数 满足满足12/1/20222312/1/202212/1/202223在最佳逼近时的误差能量在最佳逼近时的误差能量21122122)(1ttrnrrKcdttftt 211)(2ttidttgdttgtfcttii)()(21 21122122)(1ttnrrcdttftt 归一化正
17、交函数集：归一化正交函数集：12/1/20222412/1/202212/1/202224复变函数的正交特性复变函数的正交特性)()(2121tfctf 2121)()()()(*22*2112ttttdttftfdttftfc0)()()()(21212*1*21 ttttdttftfdttftf两复变函数正交的条件是两复变函数正交的条件是12/1/20222512/1/202212/1/202225四四 用完备正交集表示信号用完备正交集表示信号)()(1tgctfrrr 21122122)(1ttrnrrKcdttftt 0lim2 n 21122)(ttrnrrKcdttf帕斯瓦尔帕斯瓦
18、尔(Parseval)方程方程21)(2ttrrKdttg12/1/20222612/1/202212/1/202226另一种定义：在正交集 之外再没有一有限能量的x(t)满足以下条件三角函数集 复指数函数集 )(tgi 210)()(ttidttgtx ntn1cos ntn1sin ntjne112/1/20222712/1/202212/1/202227其它正交函数系沃尔什函数集沃尔什函数集勒让德多项式勒让德多项式切比雪夫多项式切比雪夫多项式12/1/20222812/1/202212/1/2022284.2 周期信号的频谱分析周期信号的频谱分析周期信号可展开成正交函数线性组合的周期信号
19、可展开成正交函数线性组合的无穷级数：无穷级数：.三角函数式的三角函数式的 傅立里叶级数傅立里叶级数 cosn 1t,sinn 1t.复指数函数式的傅里叶级数复指数函数式的傅里叶级数 e j n 1t 12/1/20222912/1/202212/1/202229一、三角函数的傅里叶级数一、三角函数的傅里叶级数:T 21)sincos()(1110tnbtnaatfnnn 直流分量n=1基波分量n1谐波分量1n12/1/20223012/1/202212/1/202230直流系数直流系数余弦分量系数余弦分量系数正弦分量系数正弦分量系数 TttttfTa00d)(10 TttntntfTa00t)
20、dcos()(21 TttntntfTb00t)dsin()(21 12/1/20223112/1/202212/1/202231狄利赫利条件：狄利赫利条件：在一个周期内只有有限个间断点；在一个周期内只有有限个间断点；在一个周期内有有限个极值点；在一个周期内有有限个极值点；在一个周期内函数绝对可积，即在一个周期内函数绝对可积，即 一般周期信号都满足这些条件一般周期信号都满足这些条件.dttfTtt00)(12/1/20223212/1/202212/1/202232三角函数是正交函数0t)d(int)cos(0011Ttttmsn nmnmTtmsnTtt02t)d(int)sin(0011
21、nmnmTttmtnTtt02)d(cos)(cos001112/1/20223312/1/202212/1/202233周期信号的另一种三角函数正交集表示011()sin()nnnf tddnt)cos()(110nnntnCCtf 12/1/20223412/1/202212/1/202234比较几种系数的关系nnnnndCa sincos 000dCa 22nnnnbadC nnnbatg nnnabtg nnnnndCb cossin 12/1/20223512/1/202212/1/202235 周期函数的频谱：周期函数的频谱：周期信号的谱线只出现在基波频率的整数倍的频率处。直观看出
22、：各分量的大小，各分量的相移，)(n11nnC11n12/1/20223612/1/202212/1/202236二、周期函数的复指数级数二、周期函数的复指数级数由前知由欧拉公式其中)sincos()(1110tnbtnaatfnnn tjnnenFtf1)()(1 )(21)(1nnjbanF )(21)(1nnjbanF 0)0(aF 引入了负频率)cos(110nnntnCC nnnabtg 12/1/20223712/1/202212/1/202237指数形式的傅里叶级数的系数nFnF)(1 TtttjnndtetfTF001)(1 0000adcF)(21nnjnnjbaeFFn)(
23、21nnjnnjbaeFFn两种傅氏级数的系数间的关系12/1/20223812/1/202212/1/202238两种傅氏级数的系数间的关系22212121nnnnnnbadcFFnnncFFnnnaFFnnnbFFj)(nnnnnnFFbadc4222212/1/20223912/1/202212/1/202239周期复指数信号的频谱图nnFnF111n1n1n0010-12/1/20224012/1/202212/1/202240周期复指数信号的频谱图的特点l引入了负频率变量，没有物理意义，只是数学推导；l Cn 是实函数，Fn 一般是复函数，l 当 Fn 是实函数时，可用Fn的正负表示
24、0和相位，幅度谱和相位谱合一；12/1/20224112/1/202212/1/202241三、周期信号的功率特性P为周期信号的平均功率符合帕斯瓦尔定理2nnFP TttttfTtfP00d)(1)(2212/1/20224212/1/202212/1/202242四、对称信号的傅里叶级数三种对称：三种对称：偶函数偶函数：f(t)=f(-t)奇函数奇函数：f(t)=-f(-t)奇谐函数奇谐函数：半周期对称：半周期对称任意周期函数任意周期函数有：有：)2()(Ttftf )sincos()(11101tnbtnaatfnnn 偶函数项奇函数项12/1/20224312/1/202212/1/20
25、2243周期偶函数Fn是实数011()c o s2nnaftant2nnnaFF tjnnenFtf1)()(1 TttnttntfTa00dcos)(21 TttnttntfTb00dsin)(21 0dsin)(22/2/1 TTttntfT 2/01dcos)(4TttntfT 2/2/1d)(1)(1TTtjntetfTnF 2/2/12/2/11dsin)(dcos)(1TTTTttntfTjttntfT 2/01dcos)(2TttntfT 只含直流和余弦分量12/1/20224412/1/202212/1/202244例如:周期三角函数是偶函数.)5cos2513cos91(co
26、s42)(1112tttEEtfEf(t)T1/2-T1/2t12/1/20224512/1/202212/1/202245周期奇函数只含正弦项tnbtfnn11sin)(000naaFn为虚数2nnnbFFj TnttntfTb01d)sin()(2 12/1/20224612/1/202212/1/202246例如周期锯齿波是奇函数.)3sin312sin21(sin)(111tttEtfE/2-E/2T/2-T/2f(t)t012/1/20224712/1/202212/1/202247奇谐函数：)2()(1Ttftfl 沿时间轴平移半个周期；沿时间轴平移半个周期；l 反相；反相；l 波
27、形不变；波形不变；l 半波对称半波对称12/1/20224812/1/202212/1/202248奇谐函数 的波形：T1/2-T1/20tf(t)12/1/20224912/1/202212/1/202249奇谐函数的傅氏级数奇谐函数的偶次谐波的系数为02nnnjbaF a20,b20 2/011d)sin()(4TttntfTb 2/011d)cos()(4TttntfTa 12/1/20225012/1/202212/1/202250例：利用傅立叶级数的对称性判断所含有的频率分量周期偶函数，奇谐函数周期偶函数，奇谐函数周期奇函数，奇谐函数周期奇函数，奇谐函数-T/2T/2-T/2T/2E
28、/2-E/2只含基波和奇次谐波的余弦分量只含基波和奇次谐波的余弦分量只含基波和奇次谐波的正弦分量只含基波和奇次谐波的正弦分量E-Ef(t)t12/1/20225112/1/202212/1/202251含有直流分量和正弦分量含有直流分量和正弦分量只含有正弦分量只含有正弦分量含有直流分量和余弦分量含有直流分量和余弦分量-TTTT含有直流分量和偶次谐波余含有直流分量和偶次谐波余弦分量弦分量12/1/20225212/1/202212/1/202252五、傅里叶有限级数如果完全逼近，则 n;实际应用中，n=N,N是有限整数。N愈趋近 ，则其均方误差愈小若用2N1项逼近，则)sincos()(1110
29、tnbtnaatSnNnnN12/1/20225312/1/202212/1/202253误差函数和均方误差误差函数均方误差)()()(tStftNN )(21)()(2122022nNnnNNbaatftE 12/1/20225412/1/202212/1/202254例如:对称方波,是偶函数且奇谐函数只有奇次谐波的余弦项。2sin2nnEan)5cos3cos(cos)(15113112ttttfEE/2-E/2T1/4-T1/4t12/1/20225512/1/202212/1/202255对称方波有限项的傅里叶级数N=1%94.9/3 PE)(cos211tES)5cos513cos3
30、1(cos21115tttES%69.6/5 PE%9.18/1PE)3cos31(cos2113ttES N=3 N=5-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.8112/1/20225612/1/202212/1/202256项数N越大，误差越小例如:N=11)11cos1115cos513cos31(cos2111111ttttES-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.8112/1/20225712/1/2
31、02212/1/202257由以上可见：N越大，越接近方波快变信号，高频分量，主要影响跳变沿；慢变信号，低频分量，主要影响顶部；任一分量的幅度或相位发生相对变化时，波形将会失真有吉伯斯现象发生)(limtfSNN12/1/202212/1/2022584.3 典型周期信号的频谱典型周期信号的频谱周期矩形脉冲信号周期矩形脉冲信号周期锯齿脉冲信号周期锯齿脉冲信号周期三角脉冲信号周期三角脉冲信号周期半波脉冲信号周期半波脉冲信号周期全波脉冲信号周期全波脉冲信号12/1/20225912/1/202212/1/202259一、一、周期矩形脉冲信号的频谱周期矩形脉冲信号的频谱22)2(0)2()(1ttE
32、tf12/1/20226012/1/202212/1/202260 ntjnneFtf1)(dtEeTFtjnn 22111 )(1TnSa)()(/221111 jnjneejnTE 22111 nnTE)sin(2212/1/20226112/1/202212/1/202261n242422112T)(,1110TnSaTEFTEFn 12/1/20226212/1/202212/1/202262频谱分析表明频谱分析表明 离散频谱，谱线间隔为基波频率，脉冲周期越大，谱线越密；离散频谱，谱线间隔为基波频率，脉冲周期越大，谱线越密；各分量的大小与脉幅成正比，与脉宽成正比，与周期成反比；各分量的
33、大小与脉幅成正比，与脉宽成正比，与周期成反比；各谱线的幅度按各谱线的幅度按 包络线变化。过零点为：包络线变化。过零点为：主要能量在第一过零点内。主带宽度为：主要能量在第一过零点内。主带宽度为：)(1TnSa m2 2 B)(,1110TnSaTEFTEFn 2412/1/20226312/1/2022周期信号的功率例4.31 T=1s,=0.2s,E=1 222201/.)(TTdttfTP ntjnneFtf1)().Sa(.Sa nTnTEFn2020 1806025122010.nnFFP%.39010 PP 221 T12/1/20226412/1/2022周期矩形的频谱变化规律：2
34、若若T不变，在改变不变，在改变的情况的情况 若若不变，在改变不变，在改变T时的情况时的情况112 T21212/1/20226512/1/202212/1/202265)(tf .coscoscos)(tttEtf1115513312 )(TnSaTEFn ntjnneFtf1)(12/1/20226612/1/202212/1/202266对称方波的频谱变化规律对称方波的频谱变化规律113151513113nnana)(tf1711512/1/20226712/1/202212/1/202267 ntjnneFtf1)(tetfTFtjnnd)(1221傅立叶级数的系数T信号的周期脉宽基波频
35、率1傅立叶级数小结傅立叶级数小结tetfTFTTtjnnd)(122112/1/20226812/1/202212/1/202268当周期信号的周期T无限大时,就演变成了非周期信号的单脉冲信号 TdT021 1n频率也变成连续变量4.4非周期信号的频谱分析12/1/20226912/1/202212/1/202269频谱演变的定性观察频谱演变的定性观察)(1nF11)(nF)(1nF22T21112/1/20227012/1/202212/1/2022701.从周期信号从周期信号FS推导非周期信号的推导非周期信号的FT ntjnneFtf1)(tetfTFTTtjnnd)(1221 tetfF
36、tjnnd)(211 tetfFtjd)()(=F f(t)12/1/20227112/1/202212/1/2022712.傅立叶的逆变换傅立叶的逆变换 ntjnneFtf1)(111)(tjnnneFtf)(.)(1112 neFtjnn d)(0111 nnTn)()(1 FnF d)(21)(tjeFtf =F-1 F()fFTFFnn )(12/1/20227212/1/2022F()=F f(t)F(j)f(t)=F-1F()f(t)F()12/1/20227312/1/202212/1/2022733.从物理意义来讨论从物理意义来讨论FT (a)F()是一个是一个密度函数密度函数
37、的概念的概念 (b)F()是一个是一个连续谱连续谱 (c)F()包含了从零到无限高频的包含了从零到无限高频的所有频所有频率分量率分量 (d)各频率分量的频率各频率分量的频率不成谐波关系不成谐波关系12/1/20227412/1/202212/1/202274傅立叶变换一般为复数傅立叶变换一般为复数FT一般为复函数一般为复函数)()()(jeFF d)(d)()()(tjtjeFeFtf2121若若f(t)为实数，则幅频为偶函数为实数，则幅频为偶函数,相频为奇函数相频为奇函数 d)(cos)()(tFtf2112/1/20227512/1/202212/1/2022754.傅立叶变换存在的充分条
38、件傅立叶变换存在的充分条件 ttfd)(12/1/20227612/1/202212/1/2022764.5典型非周期信号的频谱 单边指数信号单边指数信号 双边指数信号双边指数信号 矩形脉冲信号矩形脉冲信号 符号函数符号函数 冲激函数信号冲激函数信号 冲激偶函数信号冲激偶函数信号 阶跃函数信号阶跃函数信号12/1/20227712/1/202212/1/2022771.单边指数信号 信号表达式 幅频 相频)0(0)0()(ttetft)(d)()(01 jtetfFtj221 )(F)()(arctg 12/1/20227812/1/202212/1/202278f(t)t0)(F1213)(
39、00221.单边指数信号221 )(F)()(arctg 12/1/20227912/1/202212/1/2022792.双边指数信号),()(tetft0 teeFtjtd)(tetetjtjdd)()(00 jj 11222 12/1/20228012/1/202212/1/2022802.双边指数信号222)(F0)()(F 00f(t)t12/1/20228112/1/202212/1/202281 )()()(220 ttEtf)()sin()sin()(/2222222 SaEEdtEeFEtj )()(2SaEF)()(0)()1(4)12(2)12(24nnnn3.矩形脉冲信
40、号12/1/20228212/1/202212/1/202282t0)(F2622)(EE412/1/20228312/1/2022奇异信号的傅氏变换符号函数冲激函数冲激偶函数阶跃函数12/1/20228412/1/202212/1/202284 )()()sgn()(0101ttttf)sgn(lim)(lim)(010tettftfteetFtjtd)sgn()(14.符号函数符号函数teeteetjattjatdd 00 jj 11222j不满足绝对可积条件不满足绝对可积条件12/1/20228512/1/202212/1/202285jjFF22lim)(lim)(220102)(F
41、)()()(0022 4.符号函数)sgn(lim)(lim)(010tettftf12/1/20228612/1/202212/1/202286)(1F-0Sgn(t)+1-1)(F)(22 f1(t)10tte012/1/20228712/1/202212/1/2022875.冲激函数傅立叶变换冲激函数傅立叶变换 1dtetFtj )()(F (t)=11 1、由定义、由定义2、由极限概念、由极限概念F(1/)g(t)=(1/)Sa(/2)F (t)=lim Sa(/2)=1 012/1/20228812/1/202212/1/2022885.冲激函数傅立叶变换冲激函数傅立叶变换 1tet
42、Ftjd)()(1t0)(t)(F 0F (t)=112/1/20228912/1/20226、直流信号傅氏变换、直流信号傅氏变换 21)(21 detjF-1()1)(tf10t2)()(20F 1=2 ()12/1/20229012/1/202212/1/2022907.冲激偶的傅立叶变换 dettj21)(dejtdtdtj)()(21F (t)=1F jt)(nnjt)()()(F12/1/20229112/1/202212/1/2022918.阶跃信号的傅立叶变换)(F(t)0t0 jt1 )()(F)sgn()(tt2121 12/1/202292其它信号三角形脉冲 E(1-2|t|/t)|t|t/2-/2O/2tf(t)E12/1/202293dtetfFtj)()(4Sa2)(2EF20200202d21211d21211tejEetjEtejEetjEtjtjtjtj11211222jjejjEjEejjEjE2cos142E4sin2422E第二部分-/2 0 /2 tf(t)E2002d21d21tetEtetEtjtj
