1、第四章第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析域分析 肖娟肖娟 4.1 4.1 引言引言 4.2 4.2 拉普拉斯变换的定义、收敛域拉普拉斯变换的定义、收敛域 4.3 4.3 拉氏变换的基本性质拉氏变换的基本性质 4.4 4.4 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换 4.5 4.5 用拉普拉斯变换法分析电路、用拉普拉斯变换法分析电路、s 域元件模型域元件模型 4.6 4.6 系统函数（网络函数）系统函数（网络函数）H(s)4.7 4.7 由系统函数零、极点分布决定时域特性由系统函数零、极点分布决定时域特性 4.8 4.8 由系统函数零、极点分布决定频响特性由系统函数
2、零、极点分布决定频响特性 4.9 4.9 二阶谐振系统的二阶谐振系统的 s 平面分析平面分析 4.10 4.10 全统函数与最小相移函数的零、极点分布全统函数与最小相移函数的零、极点分布 4.11 4.11 线性系统的稳定性线性系统的稳定性 4.12 4.12 双边拉氏变换双边拉氏变换 4.13 4.13 拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系第第四四章章 拉普拉斯变换、连续时间系统的拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析域分析第四章第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析域分析 肖娟肖娟4.1 4.1 引言引言拉氏变换是求解常系数线
3、性微分方程的工具，优点如下：拉氏变换是求解常系数线性微分方程的工具，优点如下：（1）求解步骤得到简化）求解步骤得到简化,可以把初始条件包含到变换式里，可以把初始条件包含到变换式里，直接求得全响应直接求得全响应s（2）拉氏变换分别将时域的）拉氏变换分别将时域的“微分微分”与与“积分积分”运算转换为运算转换为 域的域的 “乘法乘法”和和“除法除法”运算，也即把微积分方程转化为代数方运算，也即把微积分方程转化为代数方程；程；（3）将指数函数、超越函数等复杂函数转化为简单的初等函数；）将指数函数、超越函数等复杂函数转化为简单的初等函数；（4）将时域中的卷积运算转化为）将时域中的卷积运算转化为 s 域中
4、的乘法运算，由此建立域中的乘法运算，由此建立 起系统函数起系统函数 H(s)的概念；的概念；（5）利用系统函数零、极点分布可以简明、直观地表达系统）利用系统函数零、极点分布可以简明、直观地表达系统 性能的许多规律。性能的许多规律。第四章第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析域分析 肖娟肖娟4.2 4.2 拉普拉斯变换的定义、收敛域拉普拉斯变换的定义、收敛域（一）从傅里叶变换到拉普拉斯变换（一）从傅里叶变换到拉普拉斯变换当当 满足绝对可积条件时，存在傅里叶变换满足绝对可积条件时，存在傅里叶变换()()j tFf t edt)(tf1.拉氏变换是傅里叶变换的推
5、广拉氏变换是傅里叶变换的推广（1）系统求解中的激励）系统求解中的激励 、响应、响应 的非零取值往往是从的非零取值往往是从 时刻开始的。时刻开始的。()e t()r t0t 0dtdt下限取下限取 是为了把是为了把 、等也包含到积分区间中。等也包含到积分区间中。0()t()t第四章第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析域分析 肖娟肖娟（2）由于绝对可积条件限制了某些增长信号傅里叶变换的存在。）由于绝对可积条件限制了某些增长信号傅里叶变换的存在。1()()tf tf t e110()()j tFf t edt若若 绝对可积，则存在傅里叶变换绝对可积，则存在傅里
6、叶变换1()f t0()tj tf t eedt()0()jtf t edt0()stf t e dtsj0()()stF sf t e dt单边拉氏变换单边拉氏变换()()stBF sf t e dt双边拉氏变换双边拉氏变换()f tte考虑在考虑在 上乘以收敛因子上乘以收敛因子 。0在在 上，上，只有在只有在 时才起收敛作用，且时才起收敛作用，且 越大，收敛效果越明显。越大，收敛效果越明显。te0t 第四章第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析域分析 肖娟肖娟111()()()2tj tf tf t eFed2.拉氏逆变换拉氏逆变换1()()tf tf
7、 t e0101()()()()stj tF sf t e dtf t edtF()11()()2jtf tFed()11()()2jjtjFedjj 1()2jstjF s e dsj 0-1()()()1()()()2stjstjF sf tf t e dtf tF sF s e dsj LL()F s象函数象函数)(tf原函数原函数第四章第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析域分析 肖娟肖娟（二）从算子符号法的概念说明拉氏变换的定义（二）从算子符号法的概念说明拉氏变换的定义()()df tpf tdt1()()tfdf tp()()f tF s()(
8、)df tsF sdt1()()tfdF ss(0)f01()fds 在算子符号法中，由于未能表示出初始条件的作用，只在算子符号法中，由于未能表示出初始条件的作用，只好在运算过程中作出一些规定，限制某些因子相消。而拉氏好在运算过程中作出一些规定，限制某些因子相消。而拉氏变换法可以把初始条件的作用计入，这就避免了算子法分析变换法可以把初始条件的作用计入，这就避免了算子法分析过程中的一些禁忌，便于过程中的一些禁忌，便于把微积分方程转化为代数方程把微积分方程转化为代数方程，使，使求解过程简化。求解过程简化。第四章第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析域分析 肖娟
9、肖娟（三）单边拉氏变换的收敛域（三）单边拉氏变换的收敛域lim()0ttf t e00若存在若存在 ，使得，使得 时，时，成立。成立。lim()0ttf t e要使要使 的拉氏变换存在，必须有的拉氏变换存在，必须有()f ts0则则 平面上平面上 的区域称为的区域称为 的的收敛域收敛域。()F s0j收收敛敛域域0（1）对仅在有限时间范围内取非零值的能量有限信号对仅在有限时间范围内取非零值的能量有限信号（2）对幅度既不增长也不衰减而等于稳定值的信号对幅度既不增长也不衰减而等于稳定值的信号0，收敛域为，收敛域为整个整个 平面平面s00，收敛域为，收敛域为 右半平面右半平面s第四章第四章 拉普拉斯
10、变换、连续时间系统的拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析域分析 肖娟肖娟（3）随时间）随时间 成正比增长或随成正比增长或随 成正比增长的信号成正比增长的信号nttlim0,ttte0必须有必须有lim0,nttt e（4）按指数阶规律）按指数阶规律 增长的信号增长的信号te()limlim0ttttte ee（5）对于一些比指数函数增长更快的函数，如）对于一些比指数函数增长更快的函数，如 ，不能进，不能进 行拉氏变换。行拉氏变换。2te00，收敛域为，收敛域为 右半平面右半平面s0，收敛域为，收敛域为第四章第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析域分析
11、肖娟肖娟（四）常用函数的拉氏变换（四）常用函数的拉氏变换()t1s整个整个 平面平面()u t1s0()teu t1s()tu t21s00sin()()t u t0220s00cos()()t u t220ss00sin()()tet u t0220()s 0cos()()tet u t220()ss 第四章第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析域分析 肖娟肖娟aseasdtedteesFtuetastasstatat1|1)()(0)()(0022221121)()(21)(cos1121)()(21)(sinssjsjstueettusjsjsjtu
12、eejttutjtjtjtj3222)(,1)(stutsttustudtettLst1)(,1)()(0第四章第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析域分析 肖娟肖娟4.3 4.3 拉氏变换的基本性质拉氏变换的基本性质（一）线性（一）线性1122()(),()()f tF sf tF s若若1 1221122()()()()K f tK f tK F sK F s则则（二）时域微分特性（二）时域微分特性()()f tF s若若222()()(0)(0)df ts F ssffdt()()(0)df tsF sfdt则则dttdiLtvLL)()()()(0
13、)LLLVssLIsLi例例1：sL-+IL(s)VL(s)0(LLi_22)11(21)()(21)(cosssjsjstueettutjtj例：第四章第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析域分析 肖娟肖娟（三）时域积分特性（三）时域积分特性()()f tF s若若011()()()tfdF sfdss则则例：例：tCCdiCtv)(1)(011()()()CCCVsIsidsCsC11()()(0)CCCVsIsvsCs+-Ic(s)Vc(s)+-)0(1CvssC1例例2：求：求)(cos,cos),(cos,cos0000tutdtdtdtdtut
14、t的拉氏变换。的拉氏变换。第四章第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析域分析 肖娟肖娟例例1：求求 的的 拉氏变换。拉氏变换。10()sin()f ttt10()sin()f ttt100222211cos()sin()()sF sss011221()stF ses1100()sin()()f tttu tt0101cos()sin()sin()cos()tt()f tt01()f t0t0t（四）延时特性（时域平移）（四）延时特性（时域平移）()()()f t u tF s若若000()()()stf tt u tteF s则则10sin()t01 0t
15、第四章第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析域分析 肖娟肖娟（五）（五）s s 域平移域平移()()f tF s若若()()tf t eF s则则例：例：21(),tu ts()tteu t21()s（六）尺度变换（六）尺度变换()()f tF s若若1()()(0)sf atFaaa则则例例2：求：求)2(),1(),1()1(,1,1),1()1(tuettututtttutt的拉氏变换。的拉氏变换。例例3：书：书P255,4-19)5(tutet第四章第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析域分析 肖娟肖娟例：例：
16、已知已知)()(,0,0),()(batubatfLbasFtfL求若absabssbeasFaabtauabtafLbatubatfLasFaatuatfLeasFabatubatfLesFbtubtfL)(1)()()()()(1)()()(1)()()()()(由延时性质得：由尺度性质得：方法二：再由尺度性质得：由延时性质得：方法一：第四章第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析域分析 肖娟肖娟（七）初值定理（七）初值定理)(lim)0()(lim0ssFftfst（八）终值定理（八）终值定理)(lim)()(lim0ssFftfst应用条件：应用条件
17、：真分式真分式1(0)lim()sfsF s 的全部极点的全部极点在在 左半平面，允许在左半平面，允许在 处有一阶极点，以保证终值存在。处有一阶极点，以保证终值存在。()F ss0s 为真分式为真分式()F s应用条件：应用条件：1()()()F sM sF s否则否则s的多项式的多项式第四章第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析域分析 肖娟肖娟12231)(2sssssF例例1 1：,1212)(223ssssssF求求)0(f232(0)lim21ssfsss3例例2 2：，求，求222)(2ssssF)(),0(ff2222lim)(lim)0(22
18、sssssFfss0222lim)(lim)(2200sssssFfss第四章第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析域分析 肖娟肖娟（九）卷积定理（九）卷积定理则则1212()()()()()()f t u tf t u tF sF s时域卷积时域卷积定理定理12121()()()()2f tftF sF sj1122()(),()()f tF sf tF s若若s 域卷积域卷积定理定理（十）（十）s 域微分与积分域微分与积分()()f tF s若若则则()()dtf tF sds()()sf tFdt0 sin()()tt u tL022202()ss2
19、2002220 cos()()()stt u tsL例：例：0220dds s 第四章第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析域分析 肖娟肖娟4.4 4.4 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换 部分分式展开法：部分分式展开法：()F s仅适用于仅适用于 为为有理分式有理分式情况情况 围线积分法（留数法）：围线积分法（留数法）：严密的数学方法严密的数学方法部分分式展开法：部分分式展开法：110110()()()mmmmnnna sasaA sF sB ssbsb11012()()()()mmmmna sasaF sspspspnppp,21的的“极点极点”。)(sF
20、称为称为分子多项式也可以表示为分子多项式也可以表示为 A(s)=(s-z1)(s-z2)(s-zm)式中式中,z1,z2,zm是是A(s)=0方程式的根，方程式的根，也称也称F(s)的的零点零点。第四章第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析域分析 肖娟肖娟 部分分式法的实质是部分分式法的实质是利用拉氏变换的线性特性，利用拉氏变换的线性特性，先将先将F(s)分解为若干分解为若干简单函数之和，简单函数之和，再分别对这些简再分别对这些简单象函数求原函数。单象函数求原函数。p1,p2,pn既可以是各不相同的单极点，既可以是各不相同的单极点，也可能出也可能出现有相同
21、的极点即有重极点；现有相同的极点即有重极点；分母多项式的阶次一般高分母多项式的阶次一般高于分子多项式于分子多项式(mn)，但也有可能但也有可能mn。下面分几种具体下面分几种具体情况讨论情况讨论F(s)分解的不同形式。分解的不同形式。第四章第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析域分析 肖娟肖娟例1：322597()32sssF sss32(1)(2)ssss)()2()(2)()(2tueetttftt21212ssss的多项式的多项式当当 时，时，mn1()()()F sM sF s一、一、二、二、nm第四章第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的拉普拉斯变换
22、、连续时间系统的 s 域分析域分析 肖娟肖娟1212()ininKKKKF sspspspsp（1）所有极点均为一阶实极点1212(),0inp tp tp tp tinf tK eK eK eK etipsiisFpsK)()(系数系数例2：251()2sF sss 51(1)(2)sss2312ss2()23,0ttf teetiinipsk1第四章第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析域分析 肖娟肖娟（2）一阶共轭极点例3：)2)(52(3)(22sssssF12275225K sKsss22127(25)()(2)35ssK sKss12252KK
23、 2272255()2(1)2sF sss22724(1)25552(1)2sss2724()cos(2)sin(2)555tttf teetet272cos(2)2sin(2),055tteettt系数平衡法第四章第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析域分析 肖娟肖娟22221121)()(21)(cos1121)()(21)(sinssjsjstueettusjsjsjtueejttutjtjtjtj2222)()(cos)()(sinasasttueasttueatat第四章第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析
24、域分析 肖娟肖娟 3.mn,F(s)有重极点有重极点 设设)()()()()()(1sDpssBsAsBsFk其中其中,s=p1是是F(s)的的k阶极点阶极点,由由F(s)可展开为可展开为)()()()()(111112111sDsEpskpskpsksFkkk式中式中,是展开式中与极点是展开式中与极点p1无关的部分。无关的部分。)()(sDsE第四章第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析域分析 肖娟肖娟 k11=(s-p1)kF(s)|s=p1 1|)(112pssFdsdk1|)(2121213psdssFdk1|)()!1(11111psiiidss
25、Fdik可求得：可求得：第四章第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析域分析 肖娟肖娟例4：22()(1)sF ss s1222(1)1KKsss21212(1)(1)ssKss s212sdsKdss2322(1)1sss()322,0ttf tteet3,210()()f tf tt例5：2212()sseeF ss()()2(1)(1)(2)(2)f ttu ttu ttu t01()()stF sF s e()f tt011212sss第四章第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析域分析 肖娟肖娟 二阶常系数线性微
26、分方程的一般形式为二阶常系数线性微分方程的一般形式为)()()()()()(212202122tfbtfdtdbtfdtdbtyatydtdatydtd 设设f(t)是因果激励，是因果激励，又已知初始条件又已知初始条件y(0-),y(0-)，可利可利用拉氏变换求解。用拉氏变换求解。两边取拉氏变换，两边取拉氏变换，利用单边拉氏变换利用单边拉氏变换的微分性质，的微分性质，得到得到 s2Y(s)-sy(0-)-y(0-)+a1sY(s)-y(0-)+a2Y(s)=b0s2F(s)+b1sF(s)+b2F(s)（一）解微分方程（一）解微分方程4.5 4.5 用拉普拉斯变换法分析电路、用拉普拉斯变换法分
27、析电路、s s 域元件模型域元件模型第四章第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析域分析 肖娟肖娟 整理上式为整理上式为(s2+a1s+a2)Y(s)=(b0s2+b1s+b2)F(s)+sy(0-)+y(0-)+a1y(0-)()(1sYLtyzszs21212122120_)0(_)0(_)0()()(asasyaysysFasasbsbsbsY)(sYzs)(sYzi)()(1sYLtyzizi)()()()(1sYLtytytyzszi第四章第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析域分析 肖娟肖娟解：微分方程两边同
28、时取微分方程两边同时取单边单边拉氏变换拉氏变换例1：22()5()6()()6()dddr tr tr te te tdtdtdt(0)1,(0)2,()()rre tu t，求全响应。，求全响应。26()(0)(0)5()(0)6()1s R ssrrsR srR ss 2286()(56)ssR ss ss13323sss23()1 33,0ttr teet 第四章第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析域分析 肖娟肖娟例2：dttdxdttxdtydttdydttyd)(6)(2)(6)(5)(2222激励信号及起始条件分别为：激励信号及起始条件分别为
29、：0)0(,1)0(),()1()(yytuetxt求零输入、零状态响应及全响应，自由响应，求零输入、零状态响应及全响应，自由响应，强迫响应，暂态响应，稳态响应。强迫响应，暂态响应，稳态响应。解：微分方程两边同时取微分方程两边同时取单边单边拉氏变换拉氏变换)(6)(2)(6)0()(5)0()0()(22ssXsXssYyssYysysYs第四章第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析域分析 肖娟肖娟)()26()111(22)()(211tueessssLsYLtyttzszs)(sYzi)(sYzs)()23()3)(2(5)()(3211tueesss
30、LsYLtyttzizi)()229()()()(32tueeetytytytttzszi)(2265_)0(_)0()5()(2sXssssyyssY)(trh)(trp第四章第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析域分析 肖娟肖娟（二）实际电路系统的（二）实际电路系统的s s域分析域分析s 域元件模型域元件模型+-RIR(s)VR(s)0()()(LLLLissLIsVdttdiLtvLL)()()0(1)(1)(LLLissVsLsI_ _+IL(s)VL(s)sL)0(1LissL-+IL(s)VL(s)0(LLi_)()(tRitvRR1()()R
31、RIsVsR()()RRVsRIs第四章第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析域分析 肖娟肖娟+-Ic(s)Vc(s)+-)0(1CvssC1)0(1)(1)(CCCvssIsCsVtCCdiCtv)(1)()0()()(CCCCvssCVsI+-IC(s)VC(s)sC1)0(CCvP48例2-5：+1s-4s+-+-65s14s1532()I s2214881655()(710)ssI ss ss8 14121532155sss25842(),05315tti teet第四章第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析域
32、分析 肖娟肖娟 例例2:电路如图所示，电路如图所示，激励为激励为e(t)，响应为响应为i(t)，求求s域等效模域等效模型及响应的型及响应的s域方程。域方程。第四章第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析域分析 肖娟肖娟 解解:s域等效模型（运算等效电路）如图所示域等效模型（运算等效电路）如图所示:第四章第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析域分析 肖娟肖娟列网孔方程列网孔方程:sLisEsICsRLsCL_)0(_)0()()(1解出解出)(/_)0(_)0()(/1/_)0(_)0()()(sZsLisECsRLssL
33、isEsICLCL其中其中,Z(s)=Ls+R+1/Cs为为s域等效阻抗。域等效阻抗。第四章第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析域分析 肖娟肖娟 例例3:电路如图电路如图,已知已知e(t)=10 V；vC(0-)=5 V，iL(0-)=4 A，求求i1(t)。第四章第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析域分析 肖娟肖娟例例3电路的电路的s域网络模型域网络模型I1E(s)I25/sLiL(0)20.5s1/s0.2 1 SSE10)(例例4:书书P196，例，例4-13；P202，例，例4-15，求，求uc(t)例例5
34、:自学书自学书P202，例，例4-16第四章第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析域分析 肖娟肖娟设描述设描述LTI系统的系统的 n 阶微分方程为：阶微分方程为：（一）系统函数的定义（一）系统函数的定义4.6 4.6 系统函数（网络函数）系统函数（网络函数）()H s10111()()()()nnnnnnd r tdr tdr tCCCC r tdtdtdt10111()()()()mmmmmmd e tde tde tEEEE e tdtdtdt 若系统的若系统的起始状态为零起始状态为零，则，则 ，对上式两边同，对上式两边同时取拉氏变换，得时取拉氏变换，
35、得()()zse trt1011()nnnnzsC sC sCsC Rs1011()mmmmE sE sEsEE s第四章第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析域分析 肖娟肖娟10111011()()mmzsmmnnnnRsE sE sEsEE sC sC sCsC系统函数()()()zsrtH se tLL当当 时，时，()()e tt()()zsrth t()()()h tH stLL()h t L1011()nnnnzsC sC sCsC Rs1011()mmmmE sE sEsEE s系统系统零状态响应零状态响应的拉氏变换的拉氏变换与激励的拉氏变换
36、之比。与激励的拉氏变换之比。()()h tH s()H s 第四章第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析域分析 肖娟肖娟系统系统)(sIi)(sVi激励与响应在同一端口（二）系统函数的涵义（二）系统函数的涵义策动点函数策动点函数策动点阻抗策动点阻抗策动点导纳策动点导纳转移函数转移函数转移阻抗转移阻抗转移导纳转移导纳转移电压比转移电压比转移电流比转移电流比激励与响应不在同一端口系统系统)(sIi)(sVi)(sIj)(sVj第四章第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析域分析 肖娟肖娟（三）系统函数的求法（三）系统函数的求
37、法（2）已知微分方程）已知微分方程例例1：2222()7()10()()6()4()ddddi ti ti te te te tdtdtdtdt22(710)()(64)()zsssIsssE s()()()zsIsH sE s2264710ssss1()()h tH s L2541()()33ttteeu t 411113235ss ()h t L(1)H(S)第四章第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析域分析 肖娟肖娟（3）已知电路原理图）已知电路原理图()i t11F1H11()i t例例2：1()()i ti t，求，求 。()H s1s()I s
38、111()I ss画零状态条件下的画零状态条件下的s 域模型域模型解：解：111()()11 1sI sI sss 21()21sI sss12()1()()21I ssH sI sss21()21pH ppp()H p 是一个算子，是一个算子，是变量是变量s的函数。的函数。只描述系统的零只描述系统的零状态特性，而状态特性，而 既描述零状既描述零状态特性，又描述零输入特性。态特性，又描述零输入特性。()H s()H s()H p()p sH p()s pH s11s1()1H ss例例3：书：书P207，例，例4-18（自学）（自学）第四章第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的拉普拉斯变换、连续
39、时间系统的 s 域分析域分析 肖娟肖娟（四）系统函数的应用（四）系统函数的应用(1)()()()(11SSHLtgSHLth(2)()()()(11SESHLtRLtrzszs第四章第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析域分析 肖娟肖娟110110()mmmmnnna sasaH ssbsb1212()()()()()()mnK szszszspspspnppp,21的的“极点极点”。()H s称为称为()H s集总参数集总参数LTI系统的系统的 为有理分为有理分式12,mz zz的的“零点零点”。()H s称为称为零、极点图零、极点图11()()mjjn
40、iiszKsp4.7,4.7,4.8 4.8,4.9,4.9,4.104.104.7第四章第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析域分析 肖娟肖娟2(1)(1)(1)(2)(2)s sjsjssj sj222(1)1()(1)(4)s sH sss例：例：123011zzjzj 零零点点123122ppjpj 极极点点（二阶）（二阶）j02j11jj2j第四章第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析域分析 肖娟肖娟（二）（二）H(s)零、极点分布与自由响应、强迫响应特征的对应零、极点分布与自由响应、强迫响应特征的对应121
41、()()()mjjniiszH sKsp系统系统函数函数11nvikikikKKspsp11()iknvp tp tikikr tK eK e响应响应1111()()()()()()()mujljlnvikikszszR sH s E sKspsp111()()()ullvkkszE sKsp激励激励系统函系统函数极点数极点激励信激励信号极点号极点自由响应自由响应强迫响应强迫响应第四章第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析域分析 肖娟肖娟什么是频率响应特性什么是频率响应特性？稳定稳定系统在系统在正弦信号正弦信号激励下，激励下，稳态响应稳态响应随信号频率随信
42、号频率的变化情况。的变化情况。幅度随频率的变化情况幅度随频率的变化情况 幅频响应特性幅频响应特性相位随频率的变化情况相位随频率的变化情况 相频响应特性相频响应特性()H s000sin()At101sin()At4.8第四章第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析域分析 肖娟肖娟()()()()jsjH sH jH je()H j幅频响应特性幅频响应特性()相频响应特性相频响应特性例：例：()cos(2)e tt2()2sH ss()r t 2()sjH s2222jj90ojecos(290)ot sin(2)t 第四章第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的
43、拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析域分析 肖娟肖娟高通滤波器高通滤波器低通滤波器低通滤波器带通滤波器带通滤波器带阻滤波器带阻滤波器通带通带阻带阻带滤波特性的分类滤波特性的分类4.9第四章第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析域分析 肖娟肖娟极点位于左半平面，零点极点位于左半平面，零点位于右半平面，且零、极位于右半平面，且零、极点对于点对于 轴互为镜像。轴互为镜像。j（一）全通网络（一）全通网络幅频特性幅频特性 ，对于全部频率的正弦信号都能按同样，对于全部频率的正弦信号都能按同样的幅度传输系数通过。的幅度传输系数通过。()H jK全通网络的零、极点分布
44、？全通网络的零、极点分布？j0全通网络用于相位校正。全通网络用于相位校正。1p2p3p2z3z1z1123231M2M3M1N2N3N4.10第四章第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析域分析 肖娟肖娟LLCCR1v2v例：例：图示格状网络图示格状网络，且有，且有 ，求网络函数，求网络函数 ，判断，判断 是否为全通网络。是否为全通网络。2LRC21()()()V sH sV s解：解：()RsLH sRsL()RjLH jRjL 1111jjN eM e 11()1NH jM11()180o)(0180)(jH01RLj011M11NRL第四章第四章 拉普
45、拉斯变换、连续时间系统的拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析域分析 肖娟肖娟（二）最小相移网络（二）最小相移网络j012j0121111)(01802468极点全部在左半平面，零点也全部极点全部在左半平面，零点也全部在左半平面或在左半平面或 轴上的网络，称轴上的网络，称为为最小相移网络最小相移网络；含有零点在右半；含有零点在右半平面的网络称为平面的网络称为非最小相移网络非最小相移网络。j第四章第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析域分析 肖娟肖娟非最小相移网络可代之以最小相移网络与全通网络的级联。非最小相移网络可代之以最小相移网络与全通网络的级联。非最
46、小相移网络非最小相移网络最小相移网络最小相移网络全通网络全通网络1p2p2z1z0j00j2z1z0j01p2p0j1z00j2z01p2pj0 2222min22jjjjjjsHsHsss 非最小相最小相移函数移函数全通函数第四章第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析域分析 肖娟肖娟4.11 4.11 线性系统的稳定性线性系统的稳定性 若系统对任意的有界输入，其零状态响应也是有界的，则若系统对任意的有界输入，其零状态响应也是有界的，则称此系统为称此系统为（BIBO）稳定系统稳定系统。（一）（一）稳定性定义稳定性定义即即 对所有的对所有的e()e tMr(
47、)r tM产生的响产生的响应应为为有有界界正正值值。re,MM连续时间连续时间LTI系统系统BIBO稳定的稳定的充分必要充分必要条件是：条件是：()dMh tt()H s的收敛域包含虚轴的收敛域包含虚轴第四章第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析域分析 肖娟肖娟0,0)(tth0,（二）（二）因果因果 LTI LTI 系统的稳定性系统的稳定性()()H sh t L0()dh ttM()H s的极点全部在左半平面的极点全部在左半平面连续时间连续时间因果因果LTI系统系统BIBO稳定的稳定的充分必要充分必要条件是：条件是：连续时间连续时间LTI系统系统BIB
48、O稳定的充分必要条件是：稳定的充分必要条件是：()dh ttM()H s的收敛域包含虚轴的收敛域包含虚轴第四章第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析域分析 肖娟肖娟系统稳定；系统稳定；()H s 由由 的极点分布判断的极点分布判断因果因果LTI 系统系统的稳定性：的稳定性：（1 1）极点全部在左半平面极点全部在左半平面()h t衰减，衰减，系统临界稳定；系统临界稳定；（2 2）虚轴上有一阶极点，其他极点全部在左半平面虚轴上有一阶极点，其他极点全部在左半平面()h t等幅，等幅，系统不稳定。系统不稳定。（3 3）有极点在右半平面，或虚轴上有二阶或二阶以上极点
49、有极点在右半平面，或虚轴上有二阶或二阶以上极点()h t增长，增长，第四章第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析域分析 肖娟肖娟解：解：122()()()()V sKV s G sV s1()(2)(1)G sss1()V sK2()V s例例:如图所示线性反馈系统，讨论当常数如图所示线性反馈系统，讨论当常数 满足什么条件时系统满足什么条件时系统 是稳定的？是稳定的？K21()()()()1()V sG sH sV sKG s21(2)ssK20asbsc的根全部在左半平面的根全部在左半平面abc、不缺项且同号。不缺项且同号。2K 时系统稳定；时系统稳定；
50、2K 时系统临界稳定；时系统临界稳定；2K 时系统不稳定。时系统不稳定。第四章第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析域分析 肖娟肖娟（一）双边拉氏变换及其收敛域（一）双边拉氏变换及其收敛域4.12 4.12 双边拉氏变换双边拉氏变换()()stBF sf t e dt例1：求求 的拉氏变换。的拉氏变换。2|()tf te解：2|()tstBFseedt0220tsttste edteedt0(2)(2)0ststedtedt,2,2 22 收敛域收敛域12s(2)0stedt1122ss 0(2)stedt12s 第四章第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的
