1、 第三章第三章 周期信号的傅立叶级数表示周期信号的傅立叶级数表示u 重点：重点：1.1.通过通过傅立叶级数分解周期信号的方法；傅立叶级数分解周期信号的方法；2.2.周期信号通过周期信号通过LTILTI系统的分析方法系统的分析方法 ；3.3.傅立叶级数的性质傅立叶级数的性质 u 难点：难点：1 1、深刻理解频谱的概念、深刻理解频谱的概念3.0 引言引言u时域分析方法的基础：时域分析方法的基础：信号在时域的分解。信号在时域的分解。LTILTI系统满足线性、时不变性。系统满足线性、时不变性。具有普遍性，能够用以构成相当广泛的信号具有普遍性，能够用以构成相当广泛的信号 本身简单，且本身简单，且LTI系
2、统对它的响应能简便得到系统对它的响应能简便得到u 从分解信号的角度出发，基本信号单元必须满从分解信号的角度出发，基本信号单元必须满足两个要求：足两个要求：信号与系统的时域方法：信号与系统的时域方法：将信号表示成时间变量的函数或序列，系统则由时间函将信号表示成时间变量的函数或序列，系统则由时间函数或序列的一个函数变换关系来表示，并在此基础上，分析数或序列的一个函数变换关系来表示，并在此基础上，分析和研究信号与系统问题，获得的一套概念、理论和方法。和研究信号与系统问题，获得的一套概念、理论和方法。信号与系统的信号与系统的变换域方法：变换域方法：通过某种数学变换，将信号和系统的时域表示转换成通过某种
3、数学变换，将信号和系统的时域表示转换成它们的变换域表示，并以这样的变换域解析体系，分析和它们的变换域表示，并以这样的变换域解析体系，分析和研究信号与系统问题，获得另一套概念、理论和方法。研究信号与系统问题，获得另一套概念、理论和方法。信号变换的方法：信号变换的方法：频域方法：频域方法：傅立叶变换、拉普拉斯变换、傅立叶变换、拉普拉斯变换、Z变换、正弦和余弦变换、变换、正弦和余弦变换、Hartely变换、沃尔什变换、沃尔什-哈达曼变换、哈达曼变换、Haar变换、小波变换变换、小波变换（Wavelet）等。）等。复频域方法：复频域方法：由傅立叶变换开发的信号与系统分析方法。由傅立叶变换开发的信号与系
4、统分析方法。用拉氏变换和用拉氏变换和z变换开发的信号与系统分析方法。变换开发的信号与系统分析方法。3.1历史的回顾历史的回顾 （A Historical Perspective）任何科学理论任何科学理论,科学方法的建立都是经过许多人科学方法的建立都是经过许多人不懈的努力而得来的不懈的努力而得来的,其中有争论其中有争论,还有人为之献出还有人为之献出了生命。历史的经验告诉我们了生命。历史的经验告诉我们,要想在科学的领域有要想在科学的领域有所建树，必须倾心尽力为之奋斗。今天我们将要学习所建树，必须倾心尽力为之奋斗。今天我们将要学习的傅立叶分析法，也经历了曲折漫长的发展过程，刚的傅立叶分析法，也经历了
5、曲折漫长的发展过程，刚刚发布这一理论时，有人反对，也有人认为不可思议。刚发布这一理论时，有人反对，也有人认为不可思议。但在今天，这一分析方法在许多领域已发挥了巨大的但在今天，这一分析方法在许多领域已发挥了巨大的作用。作用。n17681768年生于法国年生于法国n18071807年提出年提出“任何任何周期信号都可以用周期信号都可以用正弦函数的级数来正弦函数的级数来表示表示”n拉格朗日反对发表拉格朗日反对发表n18221822年首次发表年首次发表“热的分析理论热的分析理论”n18291829年狄里赫利第年狄里赫利第一个给出收敛条件一个给出收敛条件傅里叶生平傅里叶生平17681830傅里叶的两个最重
6、要的贡献傅里叶的两个最重要的贡献傅里叶的第二个主要论点：傅里叶的第二个主要论点：非周期信号都可以用正弦信号的加权积分来表示非周期信号都可以用正弦信号的加权积分来表示傅里叶的第一个主要论点：傅里叶的第一个主要论点：周期信号都可以表示为成谐波关系的正弦信号的加权周期信号都可以表示为成谐波关系的正弦信号的加权和和”由时域分析方法有，由时域分析方法有，()()()()()s tstssty tehdehedH s e3.2 LTI系统对复指数信号的响应系统对复指数信号的响应stenzhn()h tste()y tnzv 考查考查LTI系统对复指数信号系统对复指数信号 和和 的响应：的响应：ynnkkn
7、kknzzHkhzzkhzny)()(可见可见LTI系统对复指数信号的响应是很容易求得系统对复指数信号的响应是很容易求得的。这说明的。这说明 和和 符合对单元信号的第一项要符合对单元信号的第一项要求。求。stenz特征函数与特征值特征函数与特征值v 如果系统对某一信号的响应只不过是该信号乘如果系统对某一信号的响应只不过是该信号乘以一个常数，则称该信号是这个系统的以一个常数，则称该信号是这个系统的特征函数特征函数。系统对该信号加权的常数称为系统与特征函数相对系统对该信号加权的常数称为系统与特征函数相对应的应的特征值特征值。结论：结论：v 只有复指数函数才能成为一切只有复指数函数才能成为一切LTI
8、系统的特征系统的特征函函数。数。v 复指数函数复指数函数 、是一切是一切LTI系统的特征函系统的特征函数。数。、分别是分别是LTI系统与复指数信号相对系统与复指数信号相对应的特征值。应的特征值。()()stH sh t edtstenz()H s()H z对时域的任何一个信号对时域的任何一个信号x(tx(t),),若能将其表示为下列若能将其表示为下列形式：形式：tststseaeaeatx321321)(nnznhzH)(利用系统的齐次性与叠加性利用系统的齐次性与叠加性tskkkkesHaty)()(tskkkeatx)(即：即：tststsesHaesHaesHatytx321)()()()
9、()(332211 所以有所以有111()s ts teH s e222()s ts teH s e由于由于nkkkknkkkzzHanyzanx)(tstsesHe33)(3Fourier Series Representation of Continuous-Time Periodic Signals3.3 连续时间周期信号的傅里叶级数表示连续时间周期信号的傅里叶级数表示一一.连续时间傅里叶级数连续时间傅里叶级数0()jktkte02k02 成谐波关系的复指数信号集成谐波关系的复指数信号集:，其中每个信号都是以，其中每个信号都是以 为周期的，它们为周期的，它们的公共周期为的公共周期为 ，且
10、该集合中所有的信号都，且该集合中所有的信号都是彼此独立的。是彼此独立的。该级数就是该级数就是傅里叶级数傅里叶级数，称称为傅立叶级数的系数。为傅立叶级数的系数。这表明用傅里叶级数可以表示连续时间周期信号，这表明用傅里叶级数可以表示连续时间周期信号，即即:连续时间周期信号可以分解成无数多个复指数连续时间周期信号可以分解成无数多个复指数谐波分量谐波分量。ka有有tTjkkktjkkkeaeatx20)(如果将该信号集中所有的信号线性组合起来，如果将该信号集中所有的信号线性组合起来，例例：该信号中，有两个谐波分量，该信号中，有两个谐波分量，为相应分量的为相应分量的加权因子加权因子即傅立叶系数即傅立叶系
11、数112attx0cos)(例例：在在该信号中，有四个谐波分量，即该信号中，有四个谐波分量，即,3,1 k时对应的谐波分量。时对应的谐波分量。傅里叶级数表明：傅里叶级数表明：连续时间周期信号可以按傅立叶连续时间周期信号可以按傅立叶级数分解成无数多个复指数谐波分量的线性组合。级数分解成无数多个复指数谐波分量的线性组合。tttx3cos21cos)(傅立叶级数傅立叶级数tAtfsin4)(1 f1(t)4A/O t )3sin31(sin4)(2ttAtf f2(t)A O t )5sin513sin31(sin4)(3tttAtff3(t)A O t )7sin715sin513sin31(si
12、n4)(4ttttAtff4(t)A O t 二二.频谱频谱（Spectral）的概念的概念 在傅里叶级数中，各个信号分量（谐波分量）在傅里叶级数中，各个信号分量（谐波分量）间的区别也仅仅是幅度（可以是复数）和频率不同。间的区别也仅仅是幅度（可以是复数）和频率不同。因此，可以用一根线段来表示某个分量的幅度，用因此，可以用一根线段来表示某个分量的幅度，用线段的位置表示相应的频率。线段的位置表示相应的频率。t()kt 信号集信号集 中的每一个信号，除了成谐波关中的每一个信号，除了成谐波关系外，每个信号随时间系外，每个信号随时间 的变化规律都是一样的，的变化规律都是一样的，差别仅仅是频率不同。差别仅
13、仅是频率不同。01分量分量 可表示为可表示为0jte 因此，当把周期信号因此，当把周期信号 表示为傅里叶级数表示为傅里叶级数 时时，就可以将就可以将 表示为表示为()x t()x t0()jktkkx ta e这样绘出的图这样绘出的图称为称为频谱图频谱图1212000000a1a2a3a3a2a1agggggggg0001cos()2jtjttee表示为表示为 频谱图频谱图其实就是将其实就是将 随频率的分布表示出来，随频率的分布表示出来，即即 的关系。由于的关系。由于信号的频谱完全代表了信信号的频谱完全代表了信号号，研究它的频谱就等于研究信号本身。因此，这，研究它的频谱就等于研究信号本身。因此
14、，这种表示信号的方法称为种表示信号的方法称为频域表示法频域表示法。kaka相位谱：相位谱：反映谐波分量相位随谐波频率的变换情况。反映谐波分量相位随谐波频率的变换情况。)ReIm(1kkkaatga 幅度谱：幅度谱：22ImRe|kkkaaa反映谐波分量的幅值随谐波频率的变换。反映谐波分量的幅值随谐波频率的变换。三.傅里叶级数的其它形式傅里叶级数的其它形式 0000*()jktjktjktjktkkkkkkkkx ta ea ea ea ekkaa或或*kkaa 若若 是实信号是实信号,则有则有)()(txtx，于是，于是()x t110000)(kktjkktjkkktjkkeaaeaeatx
15、10)(00ktjkktjkkeaeaa10*)(00ktjkktjkkeaeaa10Re20ktjkkeaa若令若令kjkkaA e，于是，于是0012cos()kkkaAkt 傅里叶级数的三角函数表示式傅里叶级数的三角函数表示式10Re2)(0ktjkjkeeAatxk1)(0Re20ktkjkkeAakkkaBjC 若令若令则则00012cossinkkkaBktCkt 傅里叶级数的另一种三角函数形式傅里叶级数的另一种三角函数形式10Re2)(0ktjkkeaatx1000)sin)(cosRe(2kkktkjtkjCBa傅里叶分析实质上是一种频域分析方法，当信号傅里叶分析实质上是一种频
16、域分析方法，当信号被分解成各次谐波以后，我们就可以从频域来分析被分解成各次谐波以后，我们就可以从频域来分析处理问题。信号的频域特性是信号的内在本质，而处理问题。信号的频域特性是信号的内在本质，而信号的时域波形只是信号的外在形式。显然，从本信号的时域波形只是信号的外在形式。显然，从本质上分析处理问题将会更深入，更全面，更方便，质上分析处理问题将会更深入，更全面，更方便，也更具有优越性。也更具有优越性。四四.连续时间傅里叶级数系数的确定连续时间傅里叶级数系数的确定00()()jntj k ntkkx t ea e对两边同时在一个周期内积分，有对两边同时在一个周期内积分，有00()00()TTjnt
17、j kntkkx t edtaedt则有则有如果周期信号如果周期信号x(t)可以表示为傅里叶级数可以表示为傅里叶级数tjkkkeatx0)(0()00000cos()sin()TTTj k ntedtkntdtjkntdt00()Tjntnx t edta T001()Tjntnax t edtT即即0,Tknkn 在确定此积分时，只要积分区间是一个周期即可，在确定此积分时，只要积分区间是一个周期即可，对积分区间的起止并无特别要求，因此可表示为对积分区间的起止并无特别要求，因此可表示为01()jktkTax t edtT01()Tax t dtT是信号在一个周期的平均值，通常称直流分量。是信号
18、在一个周期的平均值，通常称直流分量。0a)sin()(0ttxkktjkkaeatxtx并确定的形式展成将,)()(0例：例：)2cos()cos(2)sin(1)(4000ttttx.,)()(0kktjkkaeatxtx并确定的形式展成将例：例：例：例：kkTttx)()(-T1tT0)(txTdtetTaTtjkk1)(100ktjkeTtx01)(求其傅立叶级数表达式。求其傅立叶级数表达式。解：解：五五.周期性矩形脉冲信号的频谱周期性矩形脉冲信号的频谱1001110 100 00 02sin11Tjktjkt TkTTkTaedteTjkTkT 101111010010002sin22
19、2Sa()sinc()TkTTTTkTkTkTTTTsinSa()xxxsinsinc()xxx其中其中10T0Tt()x t 根据根据 可绘出可绘出 的频谱图。的频谱图。称为占空比称为占空比ka()x t102TT0()Sa x1x0121sin()c x1x110212TT10214TT10218TT不变不变 时时0T1T 10212TT10214TT10218TT1T不变不变 时时0T 周期性矩形脉冲信号的频谱特征：周期性矩形脉冲信号的频谱特征：v 离散性离散性频谱是离散频谱频谱是离散频谱v 谐波性谐波性谱线是在基波频率的整数倍上出现谱线是在基波频率的整数倍上出现v 收敛性收敛性各次谐波
20、的振幅随谐波次数的增大而逐渐减少各次谐波的振幅随谐波次数的增大而逐渐减少3.4 连续时间傅里叶级数的收敛连续时间傅里叶级数的收敛 这一节来研究用傅氏级数表示周期信号的普遍这一节来研究用傅氏级数表示周期信号的普遍性问题，即满足什么条件的周期信号可以表示为性问题，即满足什么条件的周期信号可以表示为傅里叶级数。傅里叶级数。一一.傅里叶级数是对信号的最佳近似傅里叶级数是对信号的最佳近似Convergence of the Fourier series若若 以以 为周期为周期0()jktkkx ta e002T()x t0T用有限个谐波分量近似用有限个谐波分量近似 时，有时，有()x tNNktjkkN
21、eatx0)(以均方误差作为衡量误差的准则，其均方误差为以均方误差作为衡量误差的准则，其均方误差为ktjkkNNktjkkktjkkNNeceaeatxtxte000)()()(其中：其中：NkaNkNaackkkk|dteeccdtececdtteEtjnktjkTnkntjknnktjkkTNTN0000*2|)(|*kkkccNkkNNkkkaaa|22|结论：在均方误差最小的准则下，傅里叶级数结论：在均方误差最小的准则下，傅里叶级数是对是对周期信号的最佳近似。周期信号的最佳近似。要使均方误差最小，需要使均方误差最小，需 因此，当周期信号用有限项傅立叶级数展开近似时，因此，当周期信号用有
22、限项傅立叶级数展开近似时，实际上它是最小均方近似。实际上它是最小均方近似。kkaa二二.傅里叶级数的收敛傅里叶级数的收敛傅里叶级数收敛的两层含义傅里叶级数收敛的两层含义：是否存在是否存在?级数是否收敛于级数是否收敛于?()x tka 两组条件：两组条件：1.平方可积条件：平方可积条件：如果如果 则则 必存在。必存在。x(t)x(t)在一个周期内能量有限，在一个周期内能量有限，一定存在。一定存在。ka2()Tx tdt ka因此，信号绝对可积就保证了因此，信号绝对可积就保证了 的存在。的存在。2.Dirichlet条件：条件：，在任何周期内信号绝对可积。，在任何周期内信号绝对可积。在任何有限区间
23、内，只有有限个极值点，且极值在任何有限区间内，只有有限个极值点，且极值为有限值。为有限值。在任何有限区间内，只有有限个第一类间断点。在任何有限区间内，只有有限个第一类间断点。()Tx tdt 011()()jktkTTax t edtx t dtTT ka这两组条件并不完全等价。它们都是傅里叶级数这两组条件并不完全等价。它们都是傅里叶级数收敛的收敛的充分条件充分条件。相当广泛的信号都能满足这两组。相当广泛的信号都能满足这两组条件中的一组，因而用傅里叶级数表示周期信号具条件中的一组，因而用傅里叶级数表示周期信号具有相当的普遍适用性有相当的普遍适用性。几个不满足几个不满足Dirichlet条件的信
24、号条件的信号三三.Gibbs现象现象 满足满足 Dirichlet 条件条件的信号，其傅里叶级数是如的信号，其傅里叶级数是如何收敛于何收敛于 的。特别当的。特别当 具有间断点时，在间具有间断点时，在间断点附近，如何收敛于断点附近，如何收敛于?()x t()x t()x t1N 3N 7N 19N 100N 用有限项傅里叶级数表示有间断点的信号时，用有限项傅里叶级数表示有间断点的信号时，在间断点附近不可避免的在间断点附近不可避免的会会出现振荡和超量。超出现振荡和超量。超量的幅度不会随所取项数的增加而减小。只是随量的幅度不会随所取项数的增加而减小。只是随着项数的增多，振荡频率变高，并向间断点处压着
25、项数的增多，振荡频率变高，并向间断点处压缩，从而使它所占有的能量减少缩，从而使它所占有的能量减少。Gibbs现象表明：现象表明：Properties of Continuous-Time Fourier Series3.5 连续时间傅里叶级数（连续时间傅里叶级数（CFSCFS）的性质的性质学习这些性质，有助于对概念的理解和对信号进学习这些性质，有助于对概念的理解和对信号进行级数展开。行级数展开。一一.线性：线性：若若x(t)和和y(t)都是以都是以T为周期的信号，且为周期的信号，且()Fkx ta()Fky tb 则则kkkBbAaCkBykAx)()(二二.反转反转:若若x(t)是以是以T为
26、周期的信号，且为周期的信号，且()Fkx ta 则则katx)(三三.时移时移:ktjkaettx00)(0四、尺度变换四、尺度变换:kaatx)(五五.相乘相乘:若若x(t)和和y(t)都是以都是以T为周期的信号，且为周期的信号，且()Fkx ta()Fky tb()()Flk lkklx t y ta bab 证明：证明：tjlnleatx0)(tjnnnebty0)(tjkllklktlnjnnlltjnnntjlllebaklnebaebeatytx0000)()()(即：即：lkllkbactytx)()(六六.共轭对称性共轭对称性:由此可推得，对实信号有由此可推得，对实信号有kat
27、x)()()(txtx则：kkaa若若x(t)为实偶函数为实偶函数kkaa为实偶为实偶若若x(t)为实奇函数为实奇函数kkaa虚奇虚奇八八.Parseval 定理：定理：kkTadttxT22)(1表明：表明：一个周期信号的平均功率就等于它所有谐波一个周期信号的平均功率就等于它所有谐波分量的平均功率之和分量的平均功率之和.*掌握表掌握表3.1七七.微分微分：kajkdttdx0)(例：现对一信号例：现对一信号x(t)x(t)给出以下信息：给出以下信息：（1 1）x(t)x(t)是是实的且为奇函数；实的且为奇函数；（2 2）x(t)x(t)是是周期的，周期周期的，周期T=2T=2，傅立叶系数为傅
28、立叶系数为a ak k；（3 3）对对|k|1|k|1，a ak k0 0；2021|)(|21)4(dttx确定该信号确定该信号3.6.1 成谐波关系的复指数信号的线性组合成谐波关系的复指数信号的线性组合周期为周期为 N的周期信号的周期信号xn:xn=xn+N3.6 离散时间周期信号的傅立叶级数表示离散时间周期信号的傅立叶级数表示 2,1,0,)/2(0keennNjknjkk正交的离散时间复指数信号集合正交的离散时间复指数信号集合:rkNrkennNnnrkjNnrk,0)2(0)(*该正交信号集的性质该正交信号集的性质:)1(nnrNkk3.6.2 周期信号傅立叶级数表示的确定周期信号傅
29、立叶级数表示的确定周期信号周期信号xn的傅立叶级数表示的傅立叶级数表示:通过正交性确定系数通过正交性确定系数ak:NknjkkNknNjkkeaeanx0)/2(NknNrkjknNjreaenx)/2)()/2(NaeaeaenxrNkNnnNrkjkNnNknNrkjkNnnNjr)/2)()/2)()/2(傅立叶级数变换对傅立叶级数变换对:NnnNjrrenxNa)/2(1NnnNjkkNknNjkkenxNaeanx)/2()/2(1(ak 是周是周期的期的)例：例：nnx3cos2/cos3/2sin)(nnny分别求分别求kkbnyanx解（解（1）：）：)(213cos33njn
30、jeen632N2121151aaaothersrNrNkak05,121)(21)(212/2/3/23/2njnjnjnjeeeejnx)(416/76/6/6/7njnjnjnjeeeej12/2.712/2.12/2.12/2.7(41njjnjnnjeeeejothersrNrNkjrNrNkjbk05,11417,141解：解：2三三.周期性方波序列的频谱周期性方波序列的频谱112121()()221jkjk Njk NNNNjkjkjkNNNeeeNeee211112(1)22111jkNNjNkNNjknNkjknNNeeaeNNe121kNaNkrN时时1sin(21)1si
31、nkNNNkNkkk周期性方波序列的频谱周期性方波序列的频谱1220NN1110NN1210NN三三.DFS的收敛的收敛 DFS 是一个有限项的级数，确定是一个有限项的级数，确定 的关系的关系式也是有限项的和式，因而式也是有限项的和式，因而不存在收敛问题不存在收敛问题，也，也不会产生不会产生Gibbs现象现象。ka 周期序列的频谱也具有周期序列的频谱也具有离散性、谐波性离散性、谐波性，当在，当在 区间区间 考查时考查时，也具有具有收敛性收敛性。不同的是，。不同的是，离散时间周期信号的频谱具有离散时间周期信号的频谱具有周期性周期性。1.相乘相乘 2.差分差分周期卷积周期卷积Properties
32、of Discrete-Time Fourier Series 3.7 DFS的性质的性质DFS有许多性质，这里只选几个加以讨论。有许多性质，这里只选几个加以讨论。kkbnyanxlkNllkbacnynxknjkaennxnxanx)1(003.Paseval定理定理左边是信号在一个周期内的平均功率，右边是左边是信号在一个周期内的平均功率，右边是信号的各次谐波的总功率。信号的各次谐波的总功率。这表明：这表明：一个周期信号的平均功率等于它的所一个周期信号的平均功率等于它的所有谐波分量的功率之和。有谐波分量的功率之和。也表明：也表明：周期信号的功周期信号的功率既可以由时域求得，也可以由频域求得。
33、率既可以由时域求得，也可以由频域求得。NkkNnkanxNanx22|1例：现对一信号例：现对一信号xnxn给出以下信息：给出以下信息：（1 1）xnxn是实的且为偶函数；是实的且为偶函数；（2 2）xnxn的周期的周期N=10N=10，傅立叶系数为傅立叶系数为a ak k；（3 3）a a11115 5；90250|101)4(nnx证明：证明：xn=xn=Acos(Bn+CAcos(Bn+C)，并给出并给出A A、B B和和C C的值。的值。周期信号频谱的主要特点周期信号频谱的主要特点 （1）不管是连续时间还是离散时间，周期信号的不管是连续时间还是离散时间，周期信号的频谱都是离散频谱，即只
34、在该周期信号重复频率频谱都是离散频谱，即只在该周期信号重复频率0(2/T或或2/N)的整数倍频谱点上，才出现谱线。的整数倍频谱点上，才出现谱线。（2）连续时间周期信号一般包含有无穷多条谱线；连续时间周期信号一般包含有无穷多条谱线；而周期序列的频谱尽管也可以画成无穷多条谱线，而周期序列的频谱尽管也可以画成无穷多条谱线，但是只有顺序的但是只有顺序的N条条谱线才是有效的。谱线才是有效的。（3）在）在周期信号的离散频谱中，每条谱线之间的周期信号的离散频谱中，每条谱线之间的间隔等于重复频率间隔等于重复频率0，它与周期（它与周期（T或或N是成是成反比反比的）成反比。即周期愈短，频谱愈密；周期愈长，的）成反
35、比。即周期愈短，频谱愈密；周期愈长，频谱愈稀疏。频谱愈稀疏。（4）实际的周期信号一般都为实周期信号，实周实际的周期信号一般都为实周期信号，实周期信号的傅立叶级数系数是共轭对称的。期信号的傅立叶级数系数是共轭对称的。3.8 傅里叶级数与傅里叶级数与LTI系统系统Fourier Series and LTI Systems LTI系统对复指数信号所起的作用只是给输入信系统对复指数信号所起的作用只是给输入信号加权了一个相应的特征值。号加权了一个相应的特征值。在在连续时间情况下，连续时间情况下，LTI系统的输入是系统的输入是 ,那么输出是那么输出是 。()stx te()()sty tH s e 在在
36、离散时间情况下，离散时间情况下，LTI系统的输入是系统的输入是 ,那么输出是那么输出是 。()ny nH z znznx对离散时间系统对离散时间系统()()stH sh t edt对连续时间系统对连续时间系统、被被称称为系统的为系统的系统函数系统函数。()H s()H znnznhzH)()h tste)(txstesH)()(*)()(thtxtys=+jtjetjejH)(tjke0tjkejkH0)(0系统的频系统的频率响应率响应周期信号周期信号tjkkkea0tjkkkeajkH0)(0u可见，可见，LTILTI系统对周期信号的响应仍是一个周期信号，系统对周期信号的响应仍是一个周期信号
37、，LTILTI系系统的作用是对各个谐波频率的信号分量进行不同的加权处理。统的作用是对各个谐波频率的信号分量进行不同的加权处理。2122nNjnNjeenx例：例：某离散时间某离散时间LTI系统，系统，输入为输入为 ，求输出，求输出 。11,nunhn)2cos(nNnx()y n20jknnNne211jkNe2111aa即：即：knNjnkNjenheH22)(21()jknNkky nb e2()jkNkkba H e由由121/21jNbe121/21jNbe得得221()1jNjNH ee221()1jNjNH ee3.9 滤波滤波 Filtering滤波：改变一个信号中各频率分量的相
38、对大小，滤波：改变一个信号中各频率分量的相对大小，或者全部消除某些频率分量的过程。或者全部消除某些频率分量的过程。频率成形滤波器：用于改变频谱形状的线性时不频率成形滤波器：用于改变频谱形状的线性时不变系统。变系统。频率选择性滤波器频率选择性滤波器:基本无失真的通过某些频率基本无失真的通过某些频率,而显著地衰减掉或消除掉另一些频率的系统。而显著地衰减掉或消除掉另一些频率的系统。3.9.1 频率成形滤波器频率成形滤波器音响系统中，让听众可改变声音中高低频分量音响系统中，让听众可改变声音中高低频分量的相对大小。的相对大小。()H jj在在图像处理中用于边缘的增晰图像处理中用于边缘的增晰!微分滤波器：
39、微分滤波器：3.9.2 3.9.2 频率选择滤波器频率选择滤波器专门用于完全地或近似地选取某些频带范围内专门用于完全地或近似地选取某些频带范围内的信号和除掉其它频带范围内信号的滤波器。的信号和除掉其它频带范围内信号的滤波器。低通滤波器低通滤波器：通过低频，而衰减或阻止较高频通过低频，而衰减或阻止较高频率的滤波器。率的滤波器。高通滤波器高通滤波器：通过高频，而衰减或阻止较低频率通过高频，而衰减或阻止较低频率的滤波器。的滤波器。带通滤波器带通滤波器：通过某一频带范围频率，而衰减掉通过某一频带范围频率，而衰减掉既高于又低于所要通过的这段频带的滤波器。既高于又低于所要通过的这段频带的滤波器。+-3.1
40、0 3.10 用微分方程所描述的用微分方程所描述的连续时间滤波器举例连续时间滤波器举例一、简单一、简单RCRC低通滤波器低通滤波器+VR(t)-RVs(t)C Vc(t)以以电压电压Vc(t)为为输出：输出：()()()ccsdv tRCv tv tdt1()1H jRCjn频率响应：频率响应：21|()|1()H jRC二、简单二、简单RCRC高通滤波器高通滤波器以电阻两端的电压以电阻两端的电压vr(t)为输出：为输出：()()()srrdv tdv tRCv tRCdtdt频率响应：频率响应：()1j RCG jj RC2|()|1()RCG jRC3.11 小结小结 Summary 本章
41、主要讨论了：本章主要讨论了：v 复指数函数是一切复指数函数是一切LTI系统的特征函数。系统的特征函数。v 建立了用傅里叶级数表示周期信号的方法，建立了用傅里叶级数表示周期信号的方法，实现了对周期信号的频域分解。实现了对周期信号的频域分解。v 以周期性矩形脉冲信号为典型例子，研究了以周期性矩形脉冲信号为典型例子，研究了连续时间周期信号和离散时间周期信号的频谱连续时间周期信号和离散时间周期信号的频谱特点及信号参量改变对频谱的影响。特点及信号参量改变对频谱的影响。v 通过对连续时间傅氏级数和离散时间傅氏级通过对连续时间傅氏级数和离散时间傅氏级数的讨论，既看到它们的基本思想与讨论方法数的讨论，既看到它们的基本思想与讨论方法完全类似，又研究了它们之间的重大区别。完全类似，又研究了它们之间的重大区别。v 在对信号分析的基础上，研究了在对信号分析的基础上，研究了LTI系统的系统的频率响应及频率响应及LTI系统对周期信号的响应。系统对周期信号的响应。
