1、1.1.连续时间傅里叶变换推导连续时间傅里叶变换推导2.2.傅里叶变换举例傅里叶变换举例3.3.周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换4.4.连续时间傅里叶变换的性质连续时间傅里叶变换的性质5.5.由线性常系数微分方程表征的系统由线性常系数微分方程表征的系统 第第4 4章章 连续时间傅里叶变换连续时间傅里叶变换1 1 连续时间傅里叶变换的推导连续时间傅里叶变换的推导 x(t)一个非周期信号 把它看作一个 的周期信号；对于一个周期信号，谐波分量被 隔开；由于 ，因此谐波分量在频率域隔的很近。傅里叶级数 傅里叶积分T 02/T0,0T 激励例子：方波 当 和T 增加时，离散频率点变密。增加固定不
2、变0 102sin()akkTkT12sinTakT|0k 简单起见假设x(t)有一个有限的持续。T,()()x tx tt 由 于对 于 所 有(),()=x tx t周期的，T-22Tt|2Tt 推导（接上）如果我们定义：则例（1）0()jktkkx ta e02T00222211()()TTjktjktTTkax t ed tx t ed tTT()()x tx t在此区间1（）01()jktx t edtTXj()jtx t edt0X jkkaT推导（接上）因此，对于由于 我们得到连续时间傅里叶变换对T-22Tt 001()()Xj kkj ktkaxtxteT 0001X jk2j
3、ktke1()X j2j tx ted()tj tX jxedt分析方程综合方程d0T,例#1 的综合方程()a()b()()x tt()()1jtXjt edt1()2jtted()t0()()x ttt0()()j tX jtt edt0j te2 2 连续时间傅里叶变换举例连续时间傅里叶变换举例例#2：指数函数 偶对称 奇对称x()(),0atteu t a()0()()ajtjtatjteXjx t edteedt()110ajteajaj 1/222()1/X ja1()tan/X ja 例#3：一个时域方波脉冲注意：在这两个宽度中相反的关系 不确定原理关于CTFT的一些有用的事实(
4、0)()Xx t dt1112 sin()TjtTTXjedt1(0)()2xX jd上面的例子：上面的例子：（三角形的面积）1(0)1=()2xXjd1=21x()=2(0)t dtTX3 3 周期信号的连续时间傅里叶变换周期信号的连续时间傅里叶变换假设 即 更普遍地0X()()j 0011()()22jtjtx tede 002()jte 00()()2()jktkkkkx ta eX jak 例#4：“线状谱”00011()cos22jtjtx ttee00()X j 例#5：采样函数在频率域的采样函数！注意：（t的周期）T （的周期）2/T()nx ttnT0/2/211()()Tjk
5、tkTx tat edtTT0222()kkakkXjTT 001()jktjktkkkx ta eeT4 4 连续时间傅里叶变换的性质连续时间傅里叶变换的性质1）线性2）时移性 证明：FT幅度不变FT相位线性改变()()ax tby taXjbYj00j tx tteXj 00jtj tj tX jx ttedtex t edt 0j teXjXj00j teXjXjt 性质（接上）3）结合对称性*()x tXjXj实偶奇-XjXj-XjXj eR-eXjR Xj-mmIXjIXj 奇偶性质继续4）时间伸缩性a)x(t)是实的和偶的b)x(t)实的和奇的c)对于实数例如：a1att在时间域压
6、缩 在频率域伸展1x atXjaa1a xtXj x txt&实 偶-&纯虚 奇-x txt*X jXjXj emXjRXjjIXj ()vdx tExtOxt*X jXjXj卷积性质 x tXjh tHjy th tx tYjHjXj系统的频率响应 x th ty th tx tYjHjXj冲激响应频率响应连续LTI系统的频率响应是冲激响应的傅里叶变换.00000022jtjtx teHjy tYjHjXjHjHjy tHje 逆变换例1：P26 (1.76)例2：一个微分器 LTIdx ty tdtjj XjHjj一个系统微分性质：Y1）放大高频信号2）+/2的相位转换（）2jje0000
7、000000sincossin2cossincos2dtttdtdtttdt 例3：理想低通滤波的冲激响应 21022cchHjd什么是h（0）？12sinsinsinsinccj tccch tedttctc定义：例4：级联滤波算子121212=H jHjHjHjHjHjHj例如：21HjHj有一个更加尖锐的频率选择例5：sin4sin8?x th ttttt YjXjy tx t由例3知sin ctt例6：2222222221144414?atbtabababa babtatbts beeeeeababeabababeeeab由指数函数的FT:0,0110ajatj tatj teajtx
8、 teu taXjx t edteedteajaj 1 (0)ateaaj做为求逆变换的一个常用公式做为求逆变换的一个常用公式:例7：22,11121112tttth te u tx te u ty th tx tY jH jX jjjjjY jjjy teeu t一个 的有理函数，的多项式之比部分分式展开式傅里叶逆变换帕塞瓦尔关系 2212x tdtXjd 时域中的频率域中的所有能量所有能量212Xj谱密度乘法性质傅里叶变换是高度对称的 1,2j tj tx tXjedXjx t edt1FF我们已经知道：1212x ty tXjYjx ty tXjYjXjYjd那么就不意外地得到：-对偶性
9、的结果中的卷积乘法性质举例 000000012cos=11+22r ts tp tR jS jP jp ttP jS jS js tR jS jS j 对于注意到：对于任何有：一个信号乘以另一信号,就是用一个信号调制另一信号的振幅,两个信号相乘称为幅度调制.例子:0cosAMr ts tt幅度调制（）001+2R jS jS j 010105 用用LCCDE（线性常微分方程）（线性常微分方程）描述描述LTI系统系统 00000000()()()kkNMkkkkkkkkkNMkkkkkkMkkkNkkkH jMkkkNkkkd y td x tabdtdtd x tjXjdtajYjbjXjbj
10、YjXjajbjY jH jX jaj用微分性质两边同时变换例例:有一稳定有一稳定LTI系统系统,由如下微分方程表征由如下微分方程表征:()()dy ty tx tdt 11()1()()1jYjYjXjYjXjjY jH jX jj频率响应为()()th te u t(1)求系统的频率响应求系统的频率响应 和单位冲击响应和单位冲击响应;(2)(2)若系统输入为若系统输入为 ,求系统的输出求系统的输出.解解:(1):(1)对方程两端取对方程两端取FourierFourier变换变换(用到稳定条件用到稳定条件)得得单位冲击响应为:(2)2()teu t2()()tx teu t1()2X jj2
11、()()()tty teeu t1111()1212Y jjjjjFourier 变换的一个简单应用变换的一个简单应用:对地震勘探中的雷克子波进行对地震勘探中的雷克子波进行频谱分析，再添加噪声并频谱分析，再添加噪声并进行频率滤波。进行频率滤波。22c R()1 2()exp()pptf tf t0.004s;t(1)(1)在在雷克子波雷克子波中取峰值频率中取峰值频率 ;(2)(2)时间截断：时间截断：(3)(3)离散（采样）：离散（采样）：(4)(4)做离散做离散FourierFourier变换，显示振幅谱变换，显示振幅谱(幅度谱）并分析；幅度谱）并分析；(5)(5)添加噪声（添加噪声（50Hz50Hz工频干扰）；工频干扰）；(6)(6)设计滤波器；设计滤波器；(7)(7)滤波去噪。滤波去噪。20Hzpf 0.2s,;mmmtttt 取22c R()1 2()exp()pptf tf tc()R()0.5sin(2 50)y tttcR()t
