1、全等三角形辅助线全等三角形辅助线专题讲座专题讲座 通江县第二中学通江县第二中学 刘仕平刘仕平1知识要点：知识要点：判定三角形全等方法有SAS、ASA、AAS、SSS和HL 如果题目给出的条件不全，就需要根据已知的条件结合相应的公理、定理来进行分析，先推先推导出所缺的条件然后再证明导出所缺的条件然后再证明。一些较难的证明题要添加适当的辅助线添加适当的辅助线构造合适的全等三角形，把条件相对集中起来，再进行等量代换，问题就可以迎刃而解了。2构造辅助线的方法：构造辅助线的方法：1.连线法连线法 2截长补短法截长补短法 3作平行线法：作平行线法：若题设中含有中点可以试过中点作平行线或中位线，对Rt,有时
2、可作出斜边的中线 4倍长中线法：倍长中线法：题中条件若有中线，可延长一倍，以构造全等三角形，从而将分散条件集中在一个三角形内 5翻折法：翻折法：若题设中含有垂线、角的平分线等条件的，可以试用轴对称性质，沿轴翻转图形来构造全等三角形 3通过连线通过连线,构造全等三角形构造全等三角形4例例1.1.如图如图,AB=AD,BC=DC,AB=AD,BC=DC,求证求证:B=D.:B=D.ACBD连结连结ACAC构造全等三角形构造全等三角形5连线连线 构造全等构造全等例例2.2.如图如图,AB,AB与与CDCD交于交于O,O,且且AB=CDAB=CD，AD=BCAD=BC，OB=5cmOB=5cm，求，求
3、ODOD的长的长.连结连结BDBD构造全等三角形构造全等三角形ACBDO62截长补短法（通常用来证明线段和差相等）截长补短法（通常用来证明线段和差相等）“截长法截长法”即把结论中最大的线段根据已知条即把结论中最大的线段根据已知条件分成两段，使其中一段与较短线段相等，件分成两段，使其中一段与较短线段相等，然后证明余下的线段与另一条线段相等的方然后证明余下的线段与另一条线段相等的方法法“补短法补短法”即即把两条线段中的一条补长成为把两条线段中的一条补长成为一条长线段，然后证明补成的线段与较长的一条长线段，然后证明补成的线段与较长的线段相等，或是把一条较短的线段加长，使线段相等，或是把一条较短的线段
4、加长，使它等于较长的一段，然后证明加长的那部分它等于较长的一段，然后证明加长的那部分与另一较短的线段相等。与另一较短的线段相等。7 例例3.3.如图如图AC/BD，EA、EB分别平分分别平分CAB、DBA，CD过点过点E，求证：，求证：AB=AC+BD.分析：本题是线段和差问题的证明，基本方法是截长补短法，即在分析：本题是线段和差问题的证明，基本方法是截长补短法，即在ABAB上截取上截取AFAF，使，使AF=ACAF=AC，这样，只要证明，这样，只要证明FB=BDFB=BD即可，于是将问题转化为证明两线段相等。即可，于是将问题转化为证明两线段相等。8证明：证明：在在AB上取点上取点F，使，使A
5、F=AC，连结，连结EFEA平分平分CABCAE=FAECAE FAE（SAS）C=AFEACBDC+D=180又又AFE+BFE=180D=BFEEB平分平分ABDEBF=EBDBFE BDE（AAS）BD=BFAB=AF+BFAB=AC+BD9m=42.35m=42.23例例4 4.已知在已知在ABC中，中，C=2B,1=2求证求证:AB=AC+CDADBCE12在在AB上取点上取点E使得使得AE=AC，连接，连接DE截长截长F在在AC的延长线上取点的延长线上取点F使得使得CF=CD，连接，连接DF补短补短103作平行线法作平行线法 如果题目中含有中点，可以通过中点作如果题目中含有中点，可
6、以通过中点作平行线平行线 对于对于RtRt,有时可作出斜边的中线有时可作出斜边的中线11 例例5.如图，如图，ABC中，中，ABAC。E是是AB上异于上异于A、B的任意一点，延长的任意一点，延长AC到到D，使，使CDBE，连接，连接DE交交BC于于F。求证：。求证：EFFD。124倍长中线法倍长中线法 如果题中条件有中线，可将中线延长一倍，如果题中条件有中线，可将中线延长一倍，以构造全等三角形，从而将分散条件集中以构造全等三角形，从而将分散条件集中在一个三角形内。在一个三角形内。13 例例6.如图如图1，AD是是ABC的中线，求证：的中线，求证：ABAC2AD14 例例7.如图，如图，AD为为
7、ABC的中线，的中线，ADB、ADC的的平分线交平分线交AB、AC于于E、F。求证：。求证：BE+CFEF 分析：本题中已知分析：本题中已知D D为为BCBC的中点，要证的中点，要证BEBE、CFCF、EFEF间的不等关系，可利用点间的不等关系，可利用点D D将将BEBE旋转，使这三条线段在同一个三角形内。旋转，使这三条线段在同一个三角形内。155翻折法翻折法 沿角平分线翻折构造全等三角形沿角平分线翻折构造全等三角形 沿高线翻折构造全等三角形沿高线翻折构造全等三角形 绕点旋转构造全等三角形绕点旋转构造全等三角形16证明：已知：如图，在四边形ABCD中，BD是ABC的角平分线，AD=CD，求证：
8、A+C=180DABCE在BC上截取BE=AB，连结DE。BD是ABC的角平分线（已知）1=2（角平分线定义）在ABD和EBD中 AB=EB（已知）1=2（已证）BD=BD（公共边）ABD EBD（S.A.S）1243 3+4180（平角定义），A3（已证）A+C180 （等量代换）A3（全等三角形的对应角相等）AD=CD（已知），AD=DE（已证）DE=DC（等量代换）4=C（等边对等角）AD=DE（全等三角形的对应边相等）例例8.17 例例9.如图，在如图，在ABC中，中，12，ABC2C。求证：求证：ABBDAC。18初中几何常见辅助线作法口诀初中几何常见辅助线作法口诀人说几何很困难，难
9、点就在辅助线。人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。辅助线，如何添？把握定理和概念。还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。19三三 角角 形形 图中有角平分线，可向两边作垂线。图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中有中线，延长
10、中线等中线。三角形中有中线，延长中线等中线。20 21 1.利用三角形的角平分线来构造全等利用三角形的角平分线来构造全等三角形三角形 如图，在ABC中，AD平分BAC。方法一：ABCDE必有结论：在AB上截取AE=AC，连结DE。ADE ADC。ED=CDAED=CADE=ADC。22方法二：ABCDF延 长 A C 到 F，使AF=AB，连结DF。必有结论：ABD AFD。BD=FD 如何利用三角形的角平分线来构造全等三角形？问题：如图，在ABC中，AD平分BAC。可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。B=FADB=ADF。23 如何利用三角形的角平分线来构如何利用三
11、角形的角平分线来构造全等三角形？造全等三角形？问题：ABCDMN方法三：作 D M A B 于 M，DNAC于N。必有结论：AMD ADN。DM=DN3*21 如图，在ABC中，AD平分BAC。可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。AM=ANADM=ADN（还可以用“角平分线上的点到角的两边距离相等”来证DM=DN）24如图，已知ABC中，AD是BAC的角平分线，AB=AC+CD，求证：C=2BABCDE12证明:在AB上截取AE，使AE=AC，连结DE。AD是BAC的角平分线（已知）1=2（角平分线定义）在AED和ACD中 AE=AC（已知）1=2（已证）AD=AD（
12、公共边）AED ACD（S.A.S）3B=4（等边对等角）4 C3（全等三角形的对应角相等)又 AB=AC+CD=AE+EB（已知）EB=DC=ED（等量代换）3=B+4=2B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和）C=2B（等量代换）ED=CD（全等三角形的对应边相等）25如图，已知ABC中，AD是BAC的角平分线，AB=AC+CD，求证：C=2BABCDF12证明:延长AC到F，使CF=CD，连结DF。AD是BAC的角平分线（已知）1=2（角平分线定义）AB=AC+CD，CF=CD（已知）AB=AC+CF=AF（等量代换）ACB=2F（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和）ACB=2B（等量代换）321*在ABD和AFD中 AB=AF（已证）1=2（已证）AD=AD（公共边）ABD AFD（S.A.S）FB（全等三角形的对应角相等）CF=CD（已知）B=3（等边对等角）26 如图，在如图，在ABC中，中，ADBC于于D，BADCAD。求证：。求证：ABAC。27
