《高等数学(第二版)》课件1.第一节不定积分的概念.pptx

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1、第一节第一节 不定积分的概念不定积分的概念 第五章第五章 不定积分不定积分)()(xfxFdxxfxdF)()(例如,在区间 内有 ,故 是 在 内的一个原函数。),(233)(xx3x23x),(定义定义1 设函数 在某区间I内有定义,如果存在函数 ,使得对I内的每一点x都有)(xF()f x)(xF)(xf则称 为 在I内的一个原函数。或或 显然,的原函数除了 以外,诸如 ,等等,只要与 相差一个常数的函数都是 的原函数。3x23x13x33x323x3x3xC23x从上面可以看到,给出一个函数,它的导数是唯一的,但是给定一个函数,它的原函数就不是唯一的,而是有无限多个。一般地,若 是 在

2、某区间I内的一个原函数,则 (C为任意常数)都是 的原函数。这是因为 则必有 。)(xF)(xf()F xC)(xf)()(xfxF()()()F xCF xf x这就说明了,如果 有一个原函数 ,那么有无限多个原函数 。)(xf)(xF()F xC由拉格朗日中值定理的推论知 (为常数)既然 都是 的原函数,那么 是否包括了 的全体原函数呢?()F xC)(xf()F xC)(xf设 为 在某区间I内的一个原函数,是 在同一区间I内的另一个原函数,)(xf)(xF)(x)(xf0)()()()()()(xfxfxFxxFx()()xF xC回答是肯定的回答是肯定的。)()(xfxF)()(xf

3、x 则 ,于是所以 。这表明,如果 是 的一个原函数,则 即可表示 的全体原函数,(其中C为任意常数)。()()xF xC)(xf)(xF()F xC)(xf由此,我们引进不定积分概念。定义定义2 函数 在某区间I内的全体原函数称为在该区间I内的不定积分不定积分,记为 ,其中,符号称为积分号,称为被积函数,称为被积表达式,x称为积分变量。)(xf)(xfdxxf)(dxxf)()(xf根据上面的讨论可知,如果 是 的一个原函数,那么 (C为任意常数)。因此,求 的不定积分时,只要求出 的一个原函数,再加上任意常数即可。)(xf)(xF()()f x dxF xC)(xf)(xf例例1 求5x

4、dx65()6xx656xx dxC因为解:解:所以 因为 ,例例2 求dxx211211)(arctanxx所以 是 的一个原函数,xarctan211xcxdxxarctan112求一个不定积分有时是困难的,但是一旦找到了,检验起来却相对容易:对结果的右边求导,其导数应该是被积函数。解:解:因此(1)正确。理由:对等式的右边求导,其导数正是被积函数:(2)错误。理由:对等式的右边求导,其导数不是被积函数:例例3检验不定积分的正确性(1)(2)cossincosxxdxxxxccossinxxdxxxc(sincos)cossinsin0cosdxxxcxxxxxxdx(sin)cossin

5、0cosdxxcxxxxxdx解:解:设所求的曲线方程为 ,由导数的几何意义知:故必有某个常数C使 。即曲线方程为 。例例4 已知某曲线上任一点 处切线的斜率为2x,且该曲线通过点(1,2),求该曲线方程。),(yxM)(xfy xdxdy22()f xxC2yxC22xdxxC因为)(xf即 是2x 的一个原函数。解:解:因所求曲线通过(1,2),故 ,得 。21C 1C 1)(2 xxf于是所求曲线方程为 函数的原函数 的图形称为 的积分曲线。上例即是求函数2x的通过点(1,2)的那条积分曲线。显然,这条积分曲线可以由另一条积分曲线(例如 )经y轴方向平移而得。)(xf)(xf2xy,其中

6、 ;解:解:设在时刻t,邮包的速度为 ,离地面高度为 。地球表面附近的重力加速度为9.8米/秒 。假设没有另外的力作用在下落的包裹上,我们有()v t()s t29.8dvdt(0)12v这就是邮包运动的数学模型。从此模型我们可以求出邮包的速度。例例5一个邮包从直升机上掉落,当时直升机位于离地面80米高空,正以12米/秒的速度上升。多长时间该邮包落到地面?1由重力加速度为邮包速度的导数的关系:9.8dvdt 9.8dvdtdtdt9.8vtc 我们可以得到邮包速度与时间的依赖关系:2求C:令 ,有0t 12v 129.8(0)c 12C 9.812vt()dsv tdt0t 又由于速度是高度的导数和当 时邮包掉落,当时位于离地面80米高空,从而我们有另一个高度与速度之间的关系:邮包的速度为故有 9.812dstdt(0)80s(9.812)dsdttdtdt24.912sttC 求高度的原函数,有 且满足:。求C:令 ,有0t 80s 2804.9(0)12(0)C 80C 24.91280stt 在时刻t邮包离地面的高度为,(无意义,舍去)3.模型的求解:为了求该邮包落到地面的时间,我们设s等于0来求解t:24.912800tt2491208000tt12017120098t15.45t 22.998t 邮包从直升机上掉落后,大约5.45秒落到地面。

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