1、一、三重积分的概念一、三重积分的概念二、三重积分的计算二、三重积分的计算第三节第三节 三重积分三重积分第十一章第十一章 重积分重积分一、三重积分的概念一、三重积分的概念定义定义 设 是定义在空间有界闭区域 上的有界函数。将闭区域 作任意分割，分割成n个小闭区域 ，其中 既表示第i个小闭区域，也表示它的体积。在 上任取一点 ，作乘积 ，并作和 。如果当各小闭区域直径中最大值 趋向于零时，该和式的极限总存在，则称此极限值为函数 在闭区域 上的三重积分。记作 ，即,f x y znvvv ,21iviv),(iii),2,1(),(nivfiiii niiiiivf1),(,f x y z,f x
2、y z dv01,lim,niiiiif x y z dvfv 其中 称作体积元素。dv在直角坐标系中，如果用平行于坐标面的平面划分 ，那么除了包含 的边界点的一些不规则小闭区域外，得到的小闭区域 是长方体，其边长分别为 及 ，则 ，因此在直角坐标系中，有时也把体积元素 记作 ，而把三重积分记作kjyx、lkjizyxv(,)f x y z dxdydzdxdydzivlzdv其中 称作直角坐标系中体积元素。dxdydz连续函数 在闭区域 上的三重积分必存在。以后我们总假定函数 在闭区域上是连续的。类似地,我们可以将三重积分推广到n重积分。对于空间物体的质量，如果它的密度函数为 ，该物体所占空
3、间为闭区域 ，则物体的质量可表示为,Mx y z dv,f x y z,x y z,f x y z二、三重积分的计算二、三重积分的计算1直角坐标计算三重积分直角坐标计算三重积分(1)设区域设区域 由许多小柱体组合而成。由许多小柱体组合而成。假定平行于z轴且穿过闭区域 内部的直线与闭区域 的边界曲面相交不多于两点(当 不满足这一条件时,可将 分成若干个满足条件的区域之和,利用区域可加性进行处理)。把闭区域 投影到xOy平面上，得一平面闭区域 。过 内的任一点(x,y)作平行于z轴的直线自上向下地穿透 。设穿入 内时的竖坐标为 ，穿出 外时的竖坐标为 ，且 与 皆为连续函数。xyDxyD),(1y
4、xz),(2yxz),(1yxz),(2yxz此时积分区域 可表示为 12,xyx y zx yDzx yzzx y 如果投影区域 为垂直型，则xyDbxaxyyxyyxDxy),()(|,21于是空间闭区域 可表示为 bxaxyyxyyxzzyxzzyx),()(),(),(|,2121可得三重积分的计算公式为ddzzyxfdvzyxfyxzyxzDxy),(),(),(),(21 2211,byxzx yayxzx ydxdyfx y z dz若把投影区域 为水平型区域，则三重积分可表示为xyD 2211,dxyzx ycxyzx yf x y z dvdydxf x y z dz解解 作
5、闭区域如图所示,将 投影到xOy面上，得投影区域例例1 计算 ,其中 由平面 及三坐标面所围区域。xdxdydz1xyz10,10|,xxyyxDxy在 内任取一点作平行于 轴的直线，该直线在平面 处穿入 内，又在平面 处穿出 外。于是xyDz0z 1zxy 1110001100112001201112111.224xx yxxxdxdydzdxdyxdzdxxxy dyxxydxxxdx,xyz dxdydz例例2 计算 ,其中 由平面 及三坐标面所围区域。1xyz解解 由于函数 及积分区域 关于自变量均为对称，所以,f x y z.xdxdydzydxdydzzdxdydz于是1133.2
6、48xyz dxdydzxdxdydz 1z 11,11|,22xxyxyxDxy在 中任取一点作平行于 轴的直线，该直线由锥面 穿入 内，又由平面 穿出 外。于是xyD解解 积分区域 如图，在xOy面上的投影可表示为222xyz例例3 计算三重积分 其中 由锥面 及平面 所围。22,xy dv1z z22zxy221222222221.xyxyxyDDxy dxdydzdxdyxy dzxyxydxdy这一在 上的二重积分可以考虑用极坐标计算，由于xyD20,10|,xyD222221001340112.346xyDxyxydxdydd 故(2)设区域 由平面薄片叠加而成。01,x y z
7、zzzx yD z 于是，三重积分化为dxdyzyxfdzdvzyxfzDz)(),(),(10 D zz D zdz0z1z如果区域 由垂直于 轴的平面闭区域 与高度为 的立体叠加而成,由 叠加至 ，则例例4 计算三重积分 其中 是由椭球面 所围成的空间闭区域。2,z dxdydz2222221xyzabc解解 空间闭区域 可表示为222222,1,xyzx y zczcabc 如图所示，则可得 22.ccD zz dxdydzzdxdy其中 为垂直于 轴的平面截 所得的平面截面区域。它是椭圆盘 其面积为 D zz2222221,xyzabc 221,zabc因此222314.15cczxd
8、xdydzabzdzcabc2柱面坐标柱面坐标下下计算三重积分计算三重积分当空间闭区域 在坐标面上的投影为由圆弧与直线所围成的区域，被积函数为 等形式时，常常用柱面坐标计算。22fxy设 为空间内一点,并设点 在 面上的投影 的极坐标为 则这样的三个数 、就叫做点 的柱面坐标，并规定 、的变化范围为：,M x y zMxOyP,zMz0,02,.z 三组坐标面分别为M显然，点 的直角坐标与柱面坐标的关系为 cos,sin,.xyzz常数,即以 轴为中心轴的圆柱面；z常数,即过 轴的半平面；z常数,即与 面平行的平面。z xOy现在要把三重积分 化为柱面坐标下的三重积分.为此,我们用上述三组坐标
9、面将 分割成许多小区域,除了含 的边界外,这种小闭区域都是柱体。现在考虑 、各取微小增量 、时所成的柱体体积。在不计高阶无穷小时，该体积可近似地看作边长分别为 、的长方体体积。,f x y z dvzdddzd ddz故可得柱面坐标中的体积元素为dvd d dz ,cos,sin,f x y z dxdydzfzd d dz 20,30|,xyD解解 球面与抛物面的交线为 因此，闭区域 在 面上的投影为圆形闭区域1;3.zxOy2224xyz例例5 计算三重积分 ，其中 为由球面 与抛物面 所围成的闭区域。zdxdydz223xyz20,30,43|,22zz在 内过任意点做平行于z 轴的直线
10、，此直线由 穿入 内，然后由 穿出 外，因此 可表示为xyD224zxy22213zxy于是22234003zdxdydzz d d dzddzdz 224243320032429zdd134例例6 计算累次积分 。dzyxdydxxxyx)(22244222222解解 这一累次积分可看作是由函数 在积分区域22,f x y zxy22,44,2|,2222xxyxzyxzyx上的三重积分转化而来，如图所示。因为区域 在 面上的投影区域是圆域，所以取柱面坐标计算。区域 在柱面坐标系下可表示为xOy20,20,2|,zz于是222224222242222002301622.5xxxydxdyxy
11、dzdddzd 3球球面坐标面坐标下下计算三重积分计算三重积分设 为空间一点，则点M也可用三个有序数 来确定。其中 为原点O与M间的距离，为有向线段 与z轴正向的夹角，为从正z轴来看自x轴按逆时针方向转到有向线段 的夹角，这里P为点M在 面上的投影见。这样的三个数 叫做点M的球面坐标，,M x y z,r rOM OP xOy,r 这里 的变化范围为,r r0020三组坐标面分别为常数，即以原点为中心的球面；常数，即以原点为顶点，z轴为轴的圆锥面；常数，即过z轴的半平面。r xOy设点M在 面上的投影为P，点P在x轴上的投影为A，则OA=，AP=，PM=xyzsin,cos,OPrzr则点M的
12、直角坐标与球面坐标之间的关系为sincos,sinsin,cos.xryrzr又用球面坐标的坐标平面分割积分区域 为n个小闭区域。考虑由 、各取微小增量 所成的六面体的体积。不计高阶无穷小时，可把这六面体近似地看成长方体。其三边边长分别为 于是得球面坐标系中的体积元素为2sindvrdrd d drdrrd,sin,rdddr,dvzyxf),(2(sincos,sin sin,cos)sinf rrrrdrd d 若积分区域 是球面、锥面、平面所组成，则常常可以用球面坐标来计算三重积分。例例7 求半径为a的球面与半顶角为 的锥面所围成的立体体积。解解 设球面过原点O，球心在z轴上，又内接锥面
13、的顶点在原点O，其轴与z轴重合，则球面方程为 ，锥面方程 。所以 在球面坐标系下为2 cosra20,0,cos20|,aarr所以 ddrdrVsin222 cos2000sinaaddrdr2 cos2002sinaadr dr 33016cossin3aad 344(1 cos)3aa解解 积分区域 由锥面与球面围成。yOzxx由于 关于 面对称，而函数 是关于 的奇函数。故又 在球面坐标系下可表示为xz dv例例8 计算三重积分 ，其中 为圆锥面 与球 所围成的闭区域。22zxy221zxy20,40,10|,rr0 xdv所以21340004040sincos12sincos4sinsin2.8xz dvzdvddrdrdd
