1、一、对坐标的曲线积分的概念与性质一、对坐标的曲线积分的概念与性质第二节第二节 对坐标的曲线对坐标的曲线积分积分 （第二类曲线积分）第二类曲线积分）第十二章第十二章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分二、对坐标的曲线积分的计算法二、对坐标的曲线积分的计算法三、两类曲线积分之间的联系三、两类曲线积分之间的联系变力沿曲线所作的功变力沿曲线所作的功 设L为 平面内的光滑曲线，求质点在力 的作用下沿L从A到B所作的功，其中 在L上连续。xOyjyxQiyxPyxF),(),(),(,P x yQ x y我们知道，如果 是常力，且质点A沿直线运动到B，那么 所作的功为FFWF AB 而现在 为变力，且质
2、点沿曲线L移动，所以功W 不能用上式计算。F为此，我们用曲线弧上的点 将曲线L分成n个小弧段 对其中一个有向小弧段 而言，由于小弧段 光滑且很短，可用有向线段 来近似代替它，111222111,nnnMx yMxyMxy1iiMM),2,1(ni 1iiMM1iiMM1iiiiMMx iyj 其中 11,iiiiiixxxyyy又函数 在L上连续，可任意取 上点处的力,P x yQ x y1iiMM,iiiiiiFPiQj 来近似代替小弧段上各点的力。这样，变力 沿有向小弧段 所作的功近似地等于常力 沿 所作的功(,)F x y1iiMM,iiF 1iiMM1,iiiiiWFMM 即,iiii
3、iiiWPxQy 11,nniiiiiiiiiWWPxQy 于是用 表示 个小弧段的最大长度，令 取上面和式的极限值便为变力 沿有向曲线弧所作的功，即n0F01lim,niiiiiiiWPxQy 设L为 平面内从点A到B的一条有向光滑曲线弧，函数 在L上有界，在L上沿L方向插入一点列 将L分成n个小有向弧段xOy,P x yQ x y111222111,nnnMx yMxyMxy1iiMM),2,1(0BMAMnin ；设 在 上任取一点 。如果当各小弧段长度的最大值 时，的极限总存在且极限值惟一，则称此极限值为函数 在有向曲线弧L上对坐标 的曲线积分，记作 11,iiiiiixxxyyy1i
4、iMM,ii 01,niiiiPx,P x yx,LP x y dx定义定义 类似地，如果 总存在且极限值惟一，则称此极限为函数 在有向曲线弧L上对坐标y的曲线积分。记作 ，即01lim,niiiiQy,Q x y,LQ x y dy01,lim,niiiLiP x y dxPx 01,lim,niiiLiQ x y dyQy 其中 称为被积函数，L称为积分弧段。上述二积分也称为第二类曲线积分。,P x yQ x y 可以证明，当 在有向光滑曲线弧上连续时，对坐标的曲线积分 及 一定存在。以后我们始终假定 在L上连续。,P x yQ x y,LP x y dx,LQ x y dy,P x yQ
5、 x y01,lim,niiiiiP x y z dxPx 01,lim,niiiiiQ x y z dyQy 01,lim,niiiiiR x y z dzRz 上述定义可以推广到积分弧段为空间有向曲线 的情形：由此，质点在变力 作用下沿L所作的功为FLLdyyxQdxyxP),(),(可以合并起来，简写为LdyyxQdxyxP),(),(,LF x ydl其中 为向量值函数，。,F x yP x y iQ x y jdldxidy jdldxidy j也可以写成向量形式类似地，其中 ，。,P x y z dxQ x y z dyR x y z dz,(,)P x y z dxQ x y z
6、 dyR x y z dzA x y zd l,AP x y z iQ x y z jR x y z k dldxidy jdzk性质性质2（弧段可加性）若有向曲线弧L可分成两段光滑的有向曲线弧 和 ，则1L2L12,LLLF x ydlF x ydlF x ydl性质3表示，当积分弧段改变方向时，对坐标的曲线积分必须改变符号，这一性质是两类曲线积之间的一个重要区别。性质性质3 设L是 有向光滑曲线弧，是的反向曲线弧，则12,LLLF x ydlF x ydlF x ydl性质性质1（线性性）设 为常数,则,1212,LLLF x yFx ydlF x ydlFx ydl 定理定理 设 在有向
7、曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为,P x yQ x y),(),(tytx当参数t单调地由 变化至 时，点 从L的起点A沿L运动到终点B ，在闭区间 上具有一阶连续导数，且 ，则曲线积分 ,M x y ,tt,220tt,LP x y dxQ x y dy存在，且 ,LP x y dxQ x y dyPtttQttt dt(1)yy x xx y ,bLaP x y dxQ x y dyP x y xQ x y xyx dx ,dLcP x y dxQ x y dyP x yy xyQ x y xdy公式（1）可推广到空间曲线由参数方程 t从 到给出的情形，且 ,xtytzt,P x y
8、 z dxQ x y z dyR x y z dz ,PttttQttttRtttt dt如果曲线L由方程 ，x从a到b，或 ，y从c到d给出，则或例例1 计算 ，其中L为 从点 到 的一段弧。2Lx ydx24yxxyAoB:222LAooBx ydxx ydxx ydx04221022xx dxxxdx7445273777(1,2)A(4,4)B如图将x看作参数，曲线 为多值函数，Ao2,yx oB2,yx在 上，x从1变到0，在 上，x从0变到4。因此解解方法一方法一 将y看作参数，曲线方程为 y从-2变到4。2,4yx 22242244Lyyx ydxydy462132y dy方法二方
9、法二 因此5737232Lxy dxxy dy12132x dx AB (1)的方程为：y=0，x从1变到-1，所以例例2 计算 ，其中L为(1)从点 沿x轴到点 的直线段；(2)沿圆周 的上半周从点 到点 ；(3)有向折线ACB，这里A、B、C依次是点232Lxy dxxy dy221xy(1,2)A(1,0)B(1,2)A(1,0)B(1,0)(0,1)(1,0)解解 如图如图(2)的方程为 t从0变到 ，所以ABcos,sinxtyt232Lxy dxxy dy203cossin(sin)cos2sincostttttt dt203cossincos2sin2tttt dt203coss
10、in2ttdt(3)的方程为y=1-x，x从1变到0，的方程为y=1+x，x从0变到1。所以ACCB232Lxy dxxy dy223232ACCBxy dxxy dyxy dxxy dy01221031223122xxxx dxxxxx dx 202 例例3 计算 其中 为：()ydxxdyxyz dz如图。(1)由题意螺旋线的参数t从0变到，因此cossin2xatyatczt(1)由螺旋线 从点 到点 ；(,0,)B ac(,0,0)A a(2)沿直线从点 到点 (,0,0)A a(,0,)B ac解解()ydxxdyxyz dz222220sincoscossin22ccatatata
11、ttdt22220cos2cossin24cacatttt dt2222201sin2sincos228cacatttt22c(2)是直线 ，其参数方程为：AB,0,xayzctt从0变到1，所以()ydxxdyxyz dz10act cdt1222022ccacttac例例4 ，其中 为柱面 与 的交线从x轴正向看L为逆时针方向。dzyxdyxzdxzy)()()(222xya1(0,0)xzahah所以 dzyxdyxzdxzy)()()(20sincossincoscoscoscossinsinathhtathhtat atatat ht dt20sincos2aahhtht dta a
12、h 222,1xyaxzah将曲线 化为参数方程得解解 cos,sin,(1 cos)xatyatzht2 t从0变到 ，例例5 设一个质点在 处受到力 的作用，的大小与M到原点O的距离成正比，的方向恒指向原点。此质点由点 沿椭圆 按逆时针方向移动到 ，求力 所作的功W。(,)M x yFFF22221xyab(0,)BbFABWFdrABkydykxdxABydyxdxk利用椭圆的参数方程：t从0变到 ，于是cos,sin,xatybt22220cos sinsin cosWkattbtt dt 222220sin cos2kk abttdtab解解 22,OMxiy j OMxy ,Fk
13、xiy j 0k 令 ，由假设，其中 是比例常数，于是(,0)A a设曲线弧L由参数方程 给出。()()xtyt),(dydxdttt)(),(),(222222dtds)cos,(cos ,tt 220tt(,),(,)P x y Q x y(,)x yL的起点A、终点B分别对应参数值 、。设函数 在上具有一阶连续导数，且 ，又函数 在L上连续。在曲线L上的点 处取L的一段弧长微元dl，向量dl cos,cos),(2222(,)x y,cos,cosLP x yQ x ydsdttttttttQtttttP)()()()()()(),()()()()(),(222222dttttQtttP
14、)()(),()()(),(LdyyxQdxyxP),(),(其中 为曲线L在 处的单位切向量，且 ，。dt22cosdxdscosdydsdl于是=类似地，空间曲线 上的两类曲线积分之间的关系为dszyxRzyxQzyxPLcos),(cos),(cos),(,P x y z dxQ x y z dyR x y z dz其中 为有向曲线弧 在点 处的切向量的方向角。,x y z所以平面曲线L上的两类曲线积分之间的联系为,cos,cosLP x yQ x ydlLdyyxQdxyxP),(),(,),(yx其中 为有向曲线弧L在点 处的切向量的方向角。两类曲线积分之间的联系也可以用向量的形式表达。例如，空间曲线 上的两类曲线积分之间的联系可写成如下形式：A drAdsA ds,cos,cos,cosAP Q R,x y z),(dzdydxAAA 其中 为有向曲线弧 在点 处的单位切向量，称为有向曲线元，为向量 在向量 上的投影。dldl
