1、一、自变量趋向于无穷大时一、自变量趋向于无穷大时函数的极限函数的极限第二节第二节 函数的极限函数的极限第二章第二章 极限与连续极限与连续二、自变量趋向于有限值时二、自变量趋向于有限值时函数的极限函数的极限所谓自变量趋向于无穷大有下面三种情形：一、自变量趋向于无穷大时函数的极限一、自变量趋向于无穷大时函数的极限（1）取正值且无限增大，记为 ；xx（2）取负值而 无限增大，记为 ；xxx（3）既可取正值，也可取负值而 无限增大，记为 。xxx定义定义1 若当 的绝对值无限无限增大时，函数 无限接近于一个确定常数 ，则称 是当 时函数 的极限，记为x)(xfAAx)(xfAxfx)(limAxf)(
2、)(x或 Axf)(定义定义2 设函数 在 上有定义，若对于任意给定的正数 （无论 多么小），总存在正整数 ，使得适合不等式 的所有，对应的函数值 都满足)(xfMx)(Mx)(xf则常数 就称为 当 时的极限。A)(xfx上述定义的几何意义是：对于无论多么小的正数 ，总能找到正数 ，当 或 时，曲线 介于两条水平直线 和 之间。xx)(xfy Ay AyAA在 的定义中，将 换成 可以得到 的定义；若将 换成 就可以得到 的定义。Axfx)(limxxAxfx)(limxxAxfx)(lim例例1 用定义验证 。01limxxxy1证：证：x1当 时，函数 有定义。对于任意给定的正数 ，要使
3、 ，只要 ，可取 ，当 时，有 成立，从而0 xxx1011x1 x 01x01limxx例例2 讨论当 时,函数 的极限。xxxfarctan)(从图中，我们可以看到：解：解：2y2y2arctanlimxx2arctanlimxx所以,当 时，函数值 不趋向于一个确定的常数，故 时，函数 的极限不存在。xxarctanxxxfarctan)(二、自变量趋向于有限值时函数的极限二、自变量趋向于有限值时函数的极限我们先来观察当 趋向于1时，函数 的变化趋势。函数 在 点处没有定义，但当 时，。从 的图形看出，当 时，函数值 无限接近于2。x11)(2xxxf)(xf1x1x111)(2xxxx
4、f)(xf1x)1(x)(xf定义定义3 设函数 在 的某去心邻域内有定义，若当 无限接近于 时，对应函数值 无限接近于某个确定的常数 ，则称 是当 时函数 的极限，记为)(xf0 x0 x)(xfAA0 xx)(xf 或 （当 时）Axfxx)(lim0Axf)(0 xx x这里值得注意的是：当 时，以 为极限与 在 处是否有定义无关。当 无限接近于 时，无限接近于 的意思是：当 与 充分靠近，即当 充分小时，可以小于预先给定的任意正数（无论该正数多么小）。0 xx)(xfA)(xf0 xx0 x)(xfAx0 x0 xxAxf)(定义定义4 设函数 在 的某去心邻域内有定义，若对于任意给定
5、的正数 ，总存在正数 ，使得当 时，恒有不等式 成立，则称 是当 时函数 的极限。)(xf0 x00 xx Axf)(A0 xx)(xf此定义的几何意义是：对于任意给定的正数 ，无论其多么小，总存在点 的某个去心邻域 ，使得函数 在这个去心邻域内的图形介于两条水平直线 和 之间。如下图0 x00 xx)(xf Ay AyAA0 x0 x0 xxyO性质性质1 00limxxxx性质性质2 0limxxAA（其中 为常数）。A在 的定义中，可以以任意方式趋向 。有时，可以只考虑 从 的某一侧（左侧：；右侧：）趋于 时 的变化趋势。为明确起见，引进函数的左极限与右极限的概念，其定义如下：Axfxx
6、)(lim0 x0 xx0 x0 xx 0 xx 0 x)(xf定义定义5 设函数 在 的某个左（右）邻域内有定义，当 小于（大于）而趋于 时，对应的函数值 无限接近于某一确定常数 ，则称常数 是当 时函数 的左（右）极限：)(xf0 x0 x0 x)(xf)(xfxAA0 xx Axfxx)(lim0Axf)0(0Axfxx)(lim0Axf)0(0左极限记为：右极限记为：或或根据 时函数 的极限定义、左极限和右极限的定义，可以得到下面的结论。0 xx)(xf定理定理1 极限 的充分必要条件是Axfxx)(lim0Axfxfxxxx)(lim)(lim00因此，当 及 都存在，但不相等，或者
7、 与 中至少一个不存在时，就可断言 在 处极限不存在。)0(0 xf)0(0 xf)0(0 xf)0(0 xf)(xf0 x先分别求 当 时的左、右极限：例例4 设 ，试判断 是否存在。10()0 xxf xxx)(lim0 xfx)(xf0 x00lim()lim(1)1xxfxx0lim)(lim00 xxfxx由于左、右极限存在但不相等，所以极限 不存在。)(lim0 xfx解：解：例例5 判断极限 是否存在。xxe10lim0lim10 xxe当 趋向于0时，趋于 ，即0 x01xex1当 趋向于0时，趋于 ，即 x10 xxe1xxe10lim由充分必要条件可知 不存在。xxe10lim解：解：
