1、第四节第四节 曲线的凹向与拐点曲线的凹向与拐点第四章第四章 微分中值定理及导数的微分中值定理及导数的应用应用在研究函数曲线的变化时，我们不仅要了解函数的单调性，还必须研究曲线在上升和下降过程中的弯曲情况。例如 和 在 时，曲线都是单调增加的，但它们的图形却是差别很大。2xy xy 0 x2yx曲线 位于它的每一点的切线的上方，其图形是上凹的。而 则位于它的每一点的切线的下面，其图形是下凹的。2xy xy 定义定义 如果在某区间内，曲线弧位于其上任意一点切线的上方，则称曲线在这个区间内是上凹的；如图(a)；如果在某区间内，曲线弧位于其上任意一点切线的下方，则称曲线在这个区间内是下凹的，如图(b)
2、（a）（b）因为 ，所以 单调增加，即 由小变大。由图(a)可见曲线上凹，反之如 ，所以 单调减少，即 由大变小。如图(b)可见曲线下凹。0)(xf0)(xf)(xftan)(xftan定理4.4.1 设函数 在区间 内具有二阶导数，那么（1）如 时，恒有 ，则曲线 在 内上凹；（2）如 时，恒有 ，则曲线 在 内下凹。),(ba),(bax)(xfy),(ba),(bax)(xfy),(ba0)(xf0)(xf)(xfy 定义定义 曲线上凹与下凹的分界点称为曲线的拐点拐点。于是，对于二阶可导函数 求拐点的一般步骤为：)(xf0)(xf（1）求满足 的点及二阶导数不存在的点；（2）由二阶导数判
3、定这些点是否为拐点。由拐点的定义可知：在拐点的左右二阶导数 必定异号，因而在拐点处必有 或 不存在。)(xf)(xf0)(xf例例1 判定 的凹性。)1ln()(xxxf解：解：函数的定义域为 因为111)(xxf21()0(1)fxx),1(所以，函数在定义域 内上凹。),1(解：解：因为)1(12121264223xxxxyxxy令 ，得 ，0y01x12x把定义域分成区间，其讨论结果列表如下12)(34xxxf例例2 求 的凹向与拐点解：解：因为331323235323514910910940)(353835)1()(xxxxxfxxxxxxf令 ，得 ，而在 处 不存在。0)(xf41x0 x)(xf把定义域分成区间，其讨论结果列表如下例例3 判定 的凹性与拐点。35()(1)f xxx
