1、一、微分的定义一、微分的定义二、微分的几何意义二、微分的几何意义第五节第五节 微分微分第三章第三章 导数与微分导数与微分三、微分的运算三、微分的运算四、微分的形式不变性四、微分的形式不变性五、微分的简单应用五、微分的简单应用一、微分的定义一、微分的定义设函数 在点 处可导，则)(xfy xxyxfx0lim)(这个式子可改写为)(xfxy其中（当 时）是无穷小量。用 乘上式两边，有xxxfy)(0 xx这里函数的改变量 由两部分组成：第二部分 是 时的无穷小，所以第一部分 是主要项，是 的线性函数。因而称为函数改变量的线性主要部分。当 很小时，可得 。0 xxyxxxf)(xxxfy)(通常，
2、把自变量的增量 记作自变量的微分，则 在点 处的微分可表示为 xxf)(由此可知，函数可导也称函数可微，且函数的微分是函数增量 的线性部分。y 设函数 在点 处可导，则称 为函数 在点 处的微分，记作)(xfy)(xfy xxxfxdfdy)()(x)(xfxdxxfxdfdy)()(x前面我们曾用 表示函数 的导数，它是一个整体符号。现在引进微分概念后，不仅表示 的导数，而且表示函数微分与自变量微分之商，所以我们又称导数为微商。dxdy)(xfy dxdy)(xfy 由于求微分的问题可以归结为求导数的问题，因此求导数与求微分的方法就称为微分法。例例1 求函数 在 时的增量与微分。3xy 02
3、.0,2xx 解：解：函数的增量33)(xxxy242408.0202.233y函数微分xxxydy2302.0,2xx当 时，得当 时，得02.0,2xx24.002.0232dy比较 与 ，知 较小。ydy002408.0dyy例例2 设 ，求 。2sinlnxy dy2(lnsin)dyy dxxdx解：解：2221cos22 cotsinxxdxxx dxx 在曲线 上取点 。如图。过点 作曲线的切线 ，设 的倾角为 ，则 的斜率为)(xfy),(yxMMMTMTMT)(tanxf当自变量在点 取得改变量 时，得曲线上另一点 由图知xx),(1yyxxM二、微分的几何意义二、微分的几何
4、意义yNMxMN1,dyxxfMNNT)(tan所以函数 的微分 就是曲线过点 的切线的改变量 。当 很小时，dy),(yxMNTxNTdyNMy1)(xfy)(xfy 换言之，“曲线”的改变量 ，可以用“直线”的改变量来近似代替。这就是局部上的“以直代曲”。y三、微分的运算三、微分的运算设 在点 处可微，则dxxfdy)()(xfy x0)(cddxxxd1)(adxaadxxln)(dxeedxx)(dxaxxdaln1)(logdxxxd1)(lnxdxxdcos)(sinxdxxdsin)(cos即求函数 的微分 ，只要求出函数的导数 ，再乘以 即可。于是，由导数的一些基本公式及法则，
5、立即可得微分公式。)(xfdy)(xfdx（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）xdxxd2sec)(tanxdxxd2csc)(cotxdxxxdtansec)(secxdxxxdcotcsc)(cscdxxxd211)(arcsindxxxd211)(arccosdxxxd211)(arctandxxxarcd211)cot(（9）（11）（13）（15）（10）（12）（14）（16）微分运算法则微分运算法则dvduvud)(vduudvuvd)(2)(vudvvduvud)0(vdxxxfxfd)()()(（2）若 为 的可导函数时，则 为 的复合函数，此时函数的微分为四、微
6、分的形式不变性四、微分的形式不变性设函数 在 处可导，（1）若 为自变量时，微分 uuduufdy)(x)(xfyxdxxxfxdfdy)()()()(xu)(xudxx)(du而 就是 的微分 故 duufdxxxfdy)()()()(ufy 由此可见，不论 是自变量还是中间变量，函数 的微分形式同样都是 。)(ufy uduuf)(这就叫做微分形式不变性。这就叫做微分形式不变性。例例3 设 ，求 。xaycos解：解：利用 得dxydyxdxaadxxaaxadadyxxxsinln)sin(ln)(coslncoscoscosdy例例4 设 ，求 。bxeyaxcosdy解：解：dxbx
7、abxbedxaebxbdxbxeebxdbxdedyaxaxaxaxax)cossin()(cos)sin()(cos)(cos例例5 设隐函数为 ，求 。解：解：将方程两端对 求微分，得x05lnyxeydy0)(ln)(ydxedy01dyydyxedxeyy解出 得dydxxyeyedyyy1五、微分的简单应用五、微分的简单应用微分的重要应用，就是函数的线性化。我们知道，的一次函数，通常称为线性函数，线性函数是最简单、最容易处理的函数。而微分就是函数线性化的一个有力工具。yx,xxfdyxfxxfy)()()(000 x（很小）设 在 处 。当 很小时，微分 是函数改变量 的线性主部，
8、即 可作为 的近似值。)(xfy 0 x0)(0 xfdyydyyx此为求函数增量的近似公式。可改写为xxfxfxxf)()()(000此为求函数值的近似公式。x（很小）若令 ，则xxx0)()()(000 xxxfxfxf再令 ，得 00 xxffxf)0()0()(上式即为函数 在 附近的近似公式。)(xf0 x例例6 半径为10厘米的金属圆片加热后，其半径伸长了0.05厘米，问：其面积增大的精确值为多少？其近似值为多少？解：解：设圆面积为 ，半径为 厘米，则 。Ar2rA10r05.0r已知 厘米，厘米，故圆面积增大的精确值为)(0025.110)05.010(222厘米A面积增大的近似值为 rrdA2A当 ，时，10r05.0r)(05.01022厘米dA例例7 求 的近似值。31sin解：解：设 ，则 ，已知xxfsin)(xxfcos)(6300 x1801x所以xffxxf)6()6(31sin)(05151.001745.02321180)6cos()6sin(
