1、第第六六节节 二阶常系数非齐次线性二阶常系数非齐次线性 微分方程微分方程第第八八章章 微分方程微分方程一、二阶常系数非齐次线性微分方程的一、二阶常系数非齐次线性微分方程的通解结构及特解的可叠加性。通解结构及特解的可叠加性。本节主要讨论二阶常系数非齐次线性微分方程 (1)的解法，其中 为常数，是连续函数.它所对应的齐次方程为 (2)(xfqypyyqp,)(xf0ypyqy定理定理1 设设 是二阶非齐次线性方程是二阶非齐次线性方程 的一个特解的一个特解。是与是与(1)对应的齐次方程对应的齐次方程(2)的通的通解，那么解，那么 (3)是二阶非齐次线性微分方程是二阶非齐次线性微分方程(1)的通解的通
2、解。)(*xy()ypyqyf x)(xY)()(*xyxYy一、二阶常系数非齐次线性微分方程的一、二阶常系数非齐次线性微分方程的通解结构及特解的可叠加性。通解结构及特解的可叠加性。由于二阶常系数齐次线性微分方程的通解的求法在第四节中已得到解决，在这里只要讨论二阶常系数非齐次线性微分方程特解 的求法。在这里主要讨论 取两种常见形式时，求 的待定系数法。*y)(xf*y1.情形二二、二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程的求解的求解)()(xPexfmx)(xPeqypymx)0()(10 mmmmbxbxbbxP考察二阶常系数非齐次线性方程(4)其中 是常数，是 的一个m次多
3、项式，)(xPmx要使方程(4)的左端等于多项式与指数函数的乘积，而多项式与指数函数乘积的导数仍然是多项式与指数函数的乘积，因此我们推测 ，其中 是某个多项式。xexQy)(*)(xQ将 ，代入方程(4),并消去 ，得)(*xQeyx)()(*xQxQeyx)()(2)(2*xQxQxQeyxxe)()()()()2()(2 xPxQqpxQpxQm可以分下列三种情况讨论：(1)不是特征方程 的根，即 ，由于 是一个m次多项式，要使(4)式两端相等，则可设 为另一个m次多项式 ，其中 为待定系数。02qprr02qp)(xPm)(xQmmmmmbxbxbxbxQ1110)(mbbb,10)(*
4、xQeymx代入(4)式可确定这些系数，从而得到特解要使(4)式两端相等，则 必须为m次多项式，可设(2)是特征方程 的单根，即 ，但 。02qprr02qp02 p)(xQ)()(xxQxQm)(*xxQeymx用同样的方法可确定这些系数，从而得到特解)(2*xQxeymx(3)是特征方程 的两重根，即 ，且 。要使(4)式两端相等，那么 必须为m次多项式，可设02qprr02qp02 p)(xQ)()(2xQxxQm用同样的方法可确定这些系数，从而得到特解综上所述，我们可得到如下结论：如果 ，则二阶常系数非齐次线性方程(4)具有形如 的特解，其中 是与 同次的多项式，k是特征方程 中根 的
5、重数，按 不是特征方程的根，是特征方程的单根，是特征方程的重根，依次取为 。)()(xPexfmx)(*xQxeymkx)(xQm)(xPm02qp2,1,0例例1 求微分方程 的通解。322 xyy由于 是特征方程的单根，设特解为0 xbxbxbbxbxbxy221302120*)(解解 0 yy对应齐次方程为 02 rr它的特征方程为 120,1rr 特征根为 xeCCY21故对应齐次方程通解为代入原方程式，得32)2()62(32120120 xbbxbbxb)1232(2*xxxyxxxeCCyx2321232所给微分方程的通解为得到原方程的一个特解 x比较两端 的同次幂的系数得320
6、622212010bbbbb0122322bbb，即 ，例例2 求微分方程 的通解。xxeyyy42 02 yyy0122 rr1,021rrxeCCY21由于 是特征方程的两重根，设特解为1)(102*bxbxeyx对应齐次方程为 解解 它的特征方程为 特征根为 故对应齐次方程通解为代入原方程式，得 xbxb42610024610bb03210bbxexy3*32xxexexCCy32132)(所给方程的通解为 得到原方程的一个特解x比较两端 的同次幂的系数，得即 的解，则 ，分别是微分方程定理定理2 设 是微分方程 (5)()(21xixy)()(21 xifxfqypyy)(1xy)(2
7、xy)(1 xfqypyy)(2 xfqypyy的解，其中 为常数，都是实值函数qp,)(),(),(),(2121xxxfxf2.(或 )（其中 是实数，是m次多项式）wxxPexfmxcos)()(wxxPemxsin)(w,)(xPm和(6)(7)由 ，可得 ，)()(21xixy)()(21xixy)()(21xixy)()()()()()()()(2121 2121xifxfxixqxixpxix)()()()()()()()(212 1 2211xifxfxqxpxixqxpx)()()()(11 11xfxqxpx)()()()(22 22xfxqxpx)(),(21xx即 分别
8、为方程(6)与(7)的解，证毕。由它们的实部、虚部分别相等，得即把它们代入方程(4),得证证)(Re(cos)()()(xPewxxPexfmxiwmx)(Im(sin)()()(xPewxxPexfmxiwmxwxxPeqypyymxcos)(wxxPemxsin)()()(xPeqypyymxiw的特解 ，由定理可知，分别取 的实部(或虚部)，即是微分方程(8)的特解：*y*y这样，欲求微分方程 或 wxxPexfmxcos)()(wxxPemxsin)(对 (或 )，利用欧拉公式(或 )的特解，只要求微分方程(8)(或 )。对于微分方程(8)的特解求法，与前面部分相同，即有结论：，)(R
9、e)(*1xPeymxiw)(Im)(*2xPeymxiwxiwmkexPxy)(*)(其中，若 不是特征方程的根，取 ；若 是特征方程的根，取 。)(iw0k)(iw1k下面求微分方程 的特解 例例3 求微分方程 的通解。xyy2cos4 0 yy012rir 1ir2xCxCYsincos21ixeyy2 4*y对应的齐次方程为 解解 对应齐次方程的通解为 特征根为 它的特征方程为 由于 不是特征方程的根，所以设特解 ，代入所给方程 ，iiw2ixeby20*ixeyy2 4ixixixeebeb2202044340b)2sin2(cos34342*xixeyixxyy2cos34Re*1
10、xxCxCy2cos34sincos21原方程的通解 原方程的特解所以 故得下面求微分方程 的特解 例例4 求微分方程 的通解。xxyycos4 xCxCYsincos21ixxeyy4*yiiw)()(12010*xbxbebxbxeyixix)2(11020*bixbxbixbeyix)224(100120*ibbixbxbxbeyixixxeyy4 代入方程解解 由于 是特征方程的根，所以设特解对应的齐次方程的通解为 得 ，令它们的实部、虚部分别相等，得 ，即 xibbixb422410002244100ibbib110bib)(2*xixeyix)(sin(cos2xixxix)cos
11、sin(sincos22xxxxixxxxxxxxyycossinIm2*1xxxxxCxCycossinsincos221原方程的通解为 原方程的特解为 则 在以上的运算中较多的用到复数的运算，如果要避免复数的运算，我们也可直接把 设作三角函数的形式。*ysin)(cos)()2()1(*wxxRwxxRexymmxk)1(mR)2(mR,max nlm 02qprriwiwiw其中 、是m次多项式，k是特征方程 含有复根 的重数.不是特征方程的根，k取0.是特征方程的根，k取1。sin)(cos)()(wxxPwxxPexfnlx 如果 ，则二阶常系数非齐次线性微分方程(1)的特解可设为x
12、yy2cos4*yxbxay2sin2cos*xbxay2cos22sin2*xbxay2sin42cos4*代入原方程得 ，即 xxbxaxbxa2cos42sin2cos2sin42cos4xxbxa2cos42sin32cos30343ba034ba我们再看例3，求微分方程 的特解 .解 令 ，得 ，即 则 原方程的通解为 。xy2cos34*xxCxCy2cos34sincos21xxyycos4*ysin)(cos)(1010*xbxbxaxaxyxbxbaxaxaxbaxbysin)2(cos)2(1012011020*xbaxbaxbxbaxbaxaysin22)4(cos22)4(011020100120*我们再来看例4，求微分方程 的特解 。解 由于i是特征方程的根，设特解 ,代入原方程 ，得比较系数 ，得 xxyysin4 xxxbaxaxbaxbsin4sin)224(cos)224(0101000224402204010100baabab10011010bbaaxxxxysincos2*xxxxxCxCysincossincos221所以 。原方程的通解为 。
