1、相关分析及应用,随机信号不能用确定数学公式描述，不能预测其未来瞬时值，一次观 察结果不能代表全部，其值变动服从统计规律。 样本函数对随机信号按时间历程所作的各次长时间观测记录称为样本 函数，记为xi(t)。 样本记录样本函数在有限时间区间上的部分称为样本记录。见图1-21 随机过程全部样本函数的集合（总体）就是随机过程，记为 x(t)，即,2,随机过程平均：按集合平均来计算，将集合中所有样本对同一时刻 tj 的观测值取平均。 时间平均：按单个样本的时间历程进行平均的计算叫做时间平均。,随机过程 （1）平稳随机过程：其统计特征参数不随时间而变化的随机过程。 （2）非平稳随机过程：与上相反则为非平
2、稳随机过程。 各态历经随机过程：在平稳随机过程中，若任一单个样本函数的时间平均统计特征等于该过程集合平均统计特征，这样的平稳随机过程叫各态历经随机过程。,按概率统计特征可分为： 平稳随机信号、非平稳随机信号 平稳随机信号： 随机信号中统计特性参数（均值、方差、相关函数）不随时间变化的信号。 各态历经信号： 平稳随机信号集合平均与其中某一样本函数的时间平均值相等。 非各态历经信号,工程中很多随机信号具有各态历经性，即使不严格遵守此性，也按各态历经随机过程处理。也就是说在测试工作中常以一个或几个有限长度的样本记录来推断整个随机过程。以时间平均来估计集合平均。 在测试中确定性信号一般是在一定条件下出
3、现的特殊情况，或者是忽略了信号的随机性部分，实际中测试信号总是受到环境噪声污染的，故研究随机信号具有普遍意义。,二随机信号的主要特征参数 各态历经随机信号主要特征参数： （1）均值、方差和均方差 （2）概率密度函数 （3）自相关函数 （4）功率谱密度函数,6,（一）均值x、方差2x和均方差2x,1均值x定义为 （1-62）,式中 ：T观测时间 ；x (t)样本函数 均值 x表示信号的常值分量,2方差2x （1-63）,描述随机信号的波动分量，它是 x(t) 偏离均值 x 的平方的均值，方差的正平方根叫标准偏差 。,8,方差：反映了信号绕均值的波动程度。,3均方差 2x 描述随机信号强度，它是
4、x (t) 平方的均值，即,（1-64）,均方差的正平方根称为均方根值 rms,4均值x、方差2x和均方差2x的关系,（1-65）,当 x=0 时，,5集合平均在 t1 时刻的均值 x , t1和均方差 x , t1为,（1-66）,（1-67）,式中 M样本记录总数 i样本记录序号 t1观察时刻,（二）概率密度函数 概率密度函数表示信号幅值落在指定区间内的概率。见图1-22所示， x (t)值落在 (x, x+x) 区间内的时间为 Tx,（1-68）,幅值概率密度函数 p(x)为,（1-70）,10,概率分布函数,概率密度函数提供了随机信号幅值分布的信息，不同的随机信号有不同的概率密度图形。
5、图1-23是四种常见的随机信号（假设x =0），的概率密度函数图形。当不知道所处理的随机数据服从何种分布时，可用统计概率分布图来估计概率密度函数。,正弦信号（初始相角为随机量）,正弦信号加随机噪声,窄带随机信号,宽带随机信号,5.3 相关分析及应用,通常两个变量之间若存在一一对应的确定关系，则称两者之间存在着函数关系。 当两个随机变量之间具有某种关系时，随着一个变量数值的确定 ，另一变量却可能取许多不同值，但取值有一定的概率统计规律，这时称两个随机变量存在着相关关系。,一两个随机变量的相关系数,12,x 随机变量 x 的均值 x = Ex ； y 随机变量 y 的均值 y = Ey x 随机变
6、量 x 的标准差 2x=E(xx)2 y 随机变量y 的标准差 2y=E(y y)2 ,用柯西许瓦兹不等式,（5-17）,故知,相关指变量之间的相依关系，统计学中用相关系数来描述变量x，y之间的相关性。,当数据点分布越接近于一条直线时，xy 的绝对值越接近1，x 和 y 的线性相关性程度越好，将这样的数据回归成直线才越有意义。 当 的正负号表示一变量随另一变量增加而增加或减少。 当 接近零时，则认为x 和y之间完全无关，但仍可能存在某种非线性的相关关系甚至函数关系。,14,假如 x(t) 是某各态历经随机过程的一个样本记录。x(t+) 是 x(t) 时移 后的样本，见图5-15。在任何 t =
7、t0 时刻，从两个样本上分别得到两个量值x(ti) 和x(ti+)，而且x(t)和x(t+) 具有相同的均值和标准差。假如把 简写成 ，那么有,二信号的自相关函数,15,将分子展开并注意到,从而,定义各态历经随机信号自相关函数 为,则,16,（5-20）,显然， 均随而变化，且两者成线性关系。,如果随机过程均值 ，则,自相关函数性质见图5-16,（1）由式,（5-21）,因为 ，所以,（5-22）,（2）自相关函数在= 0时为最大值，并等于该随机信号的均方差 2x,（5-23）,18,可知,（3）当足够大或时，x(t)和x(t+)不存在内在联系，彼此无关。,（4）自相关函数为偶函数，即,（5-
8、24）,（5）周期函数的自相关函数仍为同频率的周期函数，其幅值与原周期信号 幅值有关，而丢失了原信号的相位信息。,自相关函数是偶函数证明,因为,则,令,上式为,令,则,20,例5-1求正弦函数 x (t) = x0 sin (t+)的自相关函数。初相角为一随机变量。,解：此正弦函数是一个零均值的各态历经随机过程，其平均值可用一个周期 内平均值表示。该函数的自相关函数为:,式中 正弦函数周期,令 则 ，于是,由,可见正弦函数的自相关函数是一个余弦函数，在=0时具有最大值，它不随的增加而衰减至零。保留了原正弦信号的幅值和频率信息，而丢失了相位信息。,上式为,21,（1）由于 x =0；,（2）,（
9、4）,（5） 丢失相位信息。,性质讨论：,22,图5-17是四种典型信号的自相关函数，稍加对比可看出自相关函数是区别信号类型的一个非常有效的手段。 （1）信号中含有周期成分，其自相关函数在很大时都不会衰减，并 具有明显周期性。 （2）不包含周期成分，当稍大时Rx()0。 （3）窄带随机噪声的 Rx()有较慢衰减特性。 宽带随机噪声的Rx()很快衰减为零。,正弦波,正弦波加随机噪声,窄带随机噪声,宽带随机噪声,案例：自相关分析测量转速,理想信号,干扰信号,实测信号,自相关函数,性质3，性质4：提取周期性转速成分。,三信号的互相关函数,两个各态历经随机过程的随机信号 x(t)和 y(t)的互相关函
10、数 Rxy()定义为,（5-25）,由式（5-16）,（1）当时移足够大或时，x(t)和 y(t)互不相关， ;,（2）Rxy()最大变动量范围在 之间，即,（5-26）,如果 x(t) 和 y(t) 两信号是同频率的周期信号或者包含有同频率的周期成 分，那么，即使 ，互相关函数也不收敛并出现该频率的周期成分。 如果两信号含有频率不等的周期成分，则两者不相关。 结论： 同频率相关，不同频率不相关。,25,例 5-2 设有两个周期信号,式中 ：x(t) 相对 t = 0 的相位角 ：x(t) 与 y(t) 与相位差 试求其互相关函数 Rxy(),解：因为信号是周期信号，可用一个周期 T0 代替整
11、个历程 T,令,由此可见，两个均值为零，且具有相同频率的周期信号，其互相关函数中保留了这两个信号的圆频率 ，对应的幅值 x0和y0以及相位差的信息。,26,例5-3 若两个周期 信号圆频率不等,试求其互相关函数,根据正（余）弦函数的正交性，可知,可见，两个非同频周期信号是不相关的。,27,性质：（1）互相关函数不是偶函数,证明：,令,令,可见,证毕,证明出,互相关函数性质可用图5-19来表示。,（2）图中表明=0 时呈现最大值，时移0 反映 x(t) 和 y(t) 之间的滞后时间。 互相关函数的性质，使它在工程应用中有重要价值。 它是在噪声背景下提取有用信息的一个非常有效的手段。,29,30,
12、相关滤波：例如在线性系统中测振。根据频率保持性，只有和激振频率相同的成分才能是由激振而引起的响应，而其它成分是干扰。因此将激振信号与所测得的响应信号进行互相关（=0不用时移），就可得到由激振引起的响应幅值和相位幅值，消除了噪声干扰的影响。这种处理方法叫相关滤波。,31,32,例子：互相关技术广泛应用于各种测试中。见图5-20是测定热轧钢带运动速度的示意图。钢带表面反射光经透射镜聚焦在相距 d 的两个光电池上。反射光强度的波动，通过光电池转变为电信号，再进行相关处理。当可调延时 等于钢带上某点在两个测点之间所需的时间d 时，互相关函数为最大值，该钢带的速度为,案例：地下输油管道漏损位置的探测,漏
13、损处k为向两侧传播声响的声源 在两侧管道上分别放置传感器1和2 因为放传感器的两点距漏损处不等远，所以漏油的音响传至两传感器就有时差m 在互相关图上=m处，Rx1(t)y2(t)有最大值。 由m可确定漏损处的位置。 式中S两传感器的中点至漏损处的距离；v通过管道的传播速度。,图5-21是确定深埋地下的油管裂损位置的例子。通过两传感器距破损处不等远而产生时差，在互相关图上=m 处 有最大值，这个m 就是时差。可确定漏损处位置,式中 s 两传感器中心距破损处距离 v 音响通过管道传播速度,由式上述所定义的相关函数只适用于各态历经随机信号和功率信号。 对于能量有限信号的相关函数，其中的积分若除以无穷
14、大的T时间后，无论时移为何值，其结果都将趋于零，因此对能量有限信号进行相关分析时，应按如下定义来计算：,（5-28）,（5-29）,34,四相关函数估计 按照定义，相关函数应该在无穷长时间进行观察和计算。实际上理想周期 信号用一个周期内观察值的平均值完全代替整个过程的平均值。用有限时 间样本记录所求的相关函数值作为此函数的估计。,（5-30）,（5-31）,为了简便，假定信号在 T+上存在，则用下式代替式（5-30）和（5-31）,（5-32）,（5-32）,两种写法结果相同的。,35,使模拟信号不失真地沿时轴平移是一种困难的工作。因此模拟相关处理技术只适用于几种特定信号（如正弦信号）。 在数字信号处理中，信号时移非常方便，所以实际上相关处理都是用数字技术来完成的。 对于有限个序列点 N 的数字信号的相关函数估计，仿照式（5-32）可写成,（5-33）,r =0，1，2，3，mN 式中 m最大时移数,结 束,36,
