1、第一章 信号及其描述,第一节 信号分类与描述,一、信号的分类,1,（一）确定性信号与随机信号,1、确定性信号可表示为一个确定的时间函数，可确定其任何时刻的量值。,(1)周期信号按一定时间间隔而复始重复出现，无始无终的信号，可表示为： x(t)=x(t+nT0 ) (n=1,2,3,) (1-1) 式中 T0周期,2,2、随机信号一种不能准确预测其未来瞬时值，无法用数学关系描述，它具有某些统计特征，由概率统计来估计其未来。,（1-2）,式中 x0, 0取决于初始条件的常数 m 质量 k 弹簧刚度 t 时间,其周期为,圆频率为,单自由度无阻尼振动系统,3,(2)非周期信号确定性信号中那些不具有周期
2、重复性的信号。 (a)准周期信号由两种以上周期信号合成，但其组成分量间 无法找到公共周期（但有离散频谱）。 (b)瞬变非周期信号在一定时间区间内存在，且随时间增长 而衰减至零的信号。 如单质点自由度加阻尼振动，其质点位移x(t )可表示为：,(1-3),衰减振荡信号,4,（二）连续信号与离散信号 连续信号信号数学表达式中的独立变量取值是连续的则称为连续信号。 离散信号若独立变量取离散值，则称为离散信号。,5,（三）能量信号和功率信号,当x(t)满足,(1-4),则认为信号的能量是有限的，并称之为能量有限信号，简称能量信号。,6,这种信号称为功率有限信号或功率信号。,若信号在区间（-，+）的能量
3、是无限的，在有限区间（t1, t2）的平均功率是有限的，即,（1-6）,二、信号的时域描述和频域描述,时域描述直接观测或测量的信号，一般以时间为 独立变量的描述。 特点：直接反映信号幅值随时间变化的关系。,频域描述把时域描述信号经适当方法变换，以频率为独立变量来表示的信号。 特点：分解信号频率结构，呈现频率与幅值、频 率与相位的关系。,7,式中,将该周期方波应用傅里叶级数展开，可得,x(t)=x(t+nT0) x(t）= A 0tT0/2 -A -T0/2t0,例：一个周期方波的一种时域描述形式表示为：,8,表明该周期方波由一系列幅值和频率不等，相角为零的正弦信号叠加而成。,此式可写成,其中
4、=n0 n=1,3,5,可见，若视t为参变量，以为独立变量，则此式即为周期方波的频域描述。,9,第二节 周期信号与离散频谱,一、傅里叶级数的三角函数展开式,在有限区间上,凡满足狄里赫利条件的周期信号x(t),均可展开成傅里叶级数,（1-7）,常值分量,余弦分量,正弦分量,其中T0周期 0=2/T0（圆频率）n=1,2,3,10,（1-8）,将式（1-7）可改写成,（1-9）,式中,11,可见，周期信号是由无数多个不同频率的谐波叠加而成的。可作出幅频谱和相频谱，各频率成分是0的整数倍，相邻频率间隔为 称为 n 次谐波。,例1-1,付氏级数展开,12,令式中第一项t=-t,则,同理，令式中第一项t
5、=-t ，则,13,所以,与图1-4例子结果相同,14,二、傅里叶级数的复指数函数展开式,根据殴拉公式,（1-10）,（1-11）,（1-12）,15,将（1-11）和（1-12）两式代入（1-7）式，得,(1-13),令,(1-14a),(1-14b),(1-14c),16,则,或,(1-15),将式（1-8）代入式（1-14b）和（1-14c）得,17,同理,合并为,(1-16),说明：,（1-17）,式中,（1-18）,（1-19）,与,共轭，即,;,2频谱图,作幅频谱图 作相频谱图 作实频谱图 作虚频谱图,18,1.表示方法 一般情况下，cn 是复数，可以写成,3比较,复指数形式双边谱
6、,奇函数,三角函数形式单边谱,偶函数,4负频率 当n 取负值时，谐波频率 为“负频率”，实际上 角速度按其旋转方向可以 有正有负。,19,第三节 瞬变非周期信号与连续频谱,一傅里叶变换,周期为T0 的信号,其频谱是离散的，当,时，频率间隔,无穷小,谱线无限靠近，最后演变成一条连续曲线。所以非周期信号的频谱是连续的，可理解将非周期信号由无限多个频率无限接近的频率成分所组成的。,20,设有一个周期信号在,区间以傅里叶级数表示为,当,(1-25),付里叶积分,21,上式原括号中积分后为的函数，,付里叶变换 （1-26）,付里叶逆变换 （1-27）,两者为付里叶变换对，可记为,把=2f 代入(1-25
7、)中，则(1-26)(1-27)变为,（1-28）,（1-29）,二者关系为,(1-30),22,记为X(),式中 为信号 的连续幅频谱， 为连续相频谱。,一般 是实变量f 的复函数，可以写成,（1-31）,注意：,非周期信号的幅频谱,和周期信号幅频谱,很相似，但两者是差别的，表现在量纲上。,的量纲与信号幅值量纲不一样，它是单位频宽上的幅值，更确切地说 是频谱密度函数。, 量纲与信号幅值的量纲一样。,23,例1-3 求矩形窗函数 w(t) (见图1-12)的频谱,定义：,（1-32）,解：,根据欧拉公式,代入上式,（1-33）,式中 T窗宽,24,上式中定义,图形见图1-13,函数只有实部，没
8、有虚部。其幅频谱为,（1-34）,其相位频谱视 的符号而定，当 为正值时相角为零，为负值时相角为,25,26,二傅里叶变换的主要性质,1、奇偶虚实性,一般X(f)是实变量f的复变函数，由欧拉公式可写成,（1-35）,式中,（1-36）,（1-37）,27, x(t)为实函数,实部为偶函数,虚部为奇函数,x(t)为实偶函数,为实偶函数，,x(t)为实奇函数,为虚奇函数，,x(t)为虚偶函数,为虚偶函数，,x(t)为虚奇函数,为实奇函数，,此性质有助于估计傅立叶变换对的响应图形性质，减少计算。,28,有式（1-36）和（1-37）知,29,2、对称性,若,证明:由,令,u和f对换,令u=t,所以,
9、证毕,（1-38）,3、时间尺度改变特性,若,证明：,(1)当时间尺度压缩(k1)时，图c其频谱的频带加宽，幅值降低。 (2)当时间尺度扩展(k1)时，图a其频谱的频带边窄，幅值增高。 (3)压缩时间尺度,提高处理信号效率,后续处理频带加宽,容易失真。 (4)扩展时间尺度，处理后续信号容易，但效率太低。,30,（1-39）,4、时移和频移特性,(1)时移特性，若,（1-40）,31,则有,式(1-40)说明将信号时域中平移，其幅频谱不变，而相位谱中相角的改变量 与频率f 成正比，即 。,(2)频移特性，如,（1-41）,由欧拉公式可知，式（1-41）左侧是时域信号x(t)与频率为f0 的正、余
10、弦信号之和的乘积。,则有,5、卷积定理1,两个函数 和 卷积定义为,若,则,（1-42）,证明时域卷积,交换积分顺序,根据时移特性,证毕,32,5、卷积定理2,若,则,（1-43）,证明频域卷积,交换积分顺序,根据时移特性,证毕,33,6、微分和积分特性,由于,（1-28）,（1-29）,对式(1-29)中t 进行微分,同理,（1-44）,34,对式(1-28)中f 进行微分,同理,（1-45）,同样可证明,（1-46）,35,36,三、几种典型信号的频谱,1、矩形窗函数的频谱,（1）一个在时域有限区间内有值的信号，其频谱却延伸至无限频率。 （2）在时域中截取信号一段记录相当 x(t)w(t)
11、 W(f)*X(f) （3）在f=01/T之间的谱峰，幅值最大，称为主瓣，两侧峰值称为旁瓣。 （4）主瓣宽度为2/T与时域窗宽度T成反比，T截取时间长，主瓣宽度小。,2、函数及其频谱,(1)函数的定义,在时间内激发一个矩形脉冲 （或三角脉冲、双边指数脉冲、钟形脉冲等),其面积为1。,当 时，有,（1-47）,从面积(通常称其为函数的强度)的角度看,（1-48）,37,(2)函数的采样性质,强度为f(0)的(t)函数,从数值上看,从强度上看,(1-49),对于延时(t-t0)函数,(1-50),38,式(1-49)和(1-50)表明: 任意函数f(t)与(t-t0)的乘积是一个强度为f(t0)的
12、 函数(t-t0)。 该乘积在有限区间的积分是f(t)在t=t0的值f(t0) 此性质对连续信号的离散采样是十分重要的。,(3)函数与其它函数的卷积,函数与x(t)的卷积为,由于函数为偶函数,所以,（1-51）,同理当函数为(t t0)时,可见,函数x(t)与函数的卷积结果就是发生在函数坐标位置上(坐标原点)简单将函数重构图。,39,（1-52）,(4)(t )的频谱,(1-53),其逆变换为,(1-54),函数具有无限宽广频谱，而且是等强度的，也称为“均匀谱”。根据付里叶变换的对称性质、时移性质和频移性质，可得到以下付里叶变换对,40,3、正、余弦函数的频谱密度函数,据欧拉公式可推出,用式(
13、1-55)付里叶变换对,(1-56),(1-57),看出：正、余弦函数是把频域中两个函数向不同频移后的差或和的付里叶逆变换，参见函数和频谱图。,41,4、周期单位脉冲序列的频谱,此序列常称为梳状函数，并用comb(t,Ts)表示,（1-58）,式中 Ts周期 n =1, 2, 因此，此函数是周期函数。,表示为复指数函数形式,（1-59）,式中 fs=1/Ts，系数Ck为,因为在 区间内，式（1-58）中只有一个函数(t )，且,所以,42,式（1-59）变成,根据式（1-55）,可得comb(t,Ts)函数频谱comb(f,fs)也是梳状函数,(1-60),由图可见时域周期单位脉冲序列的频谱也是周期脉冲序列。 时域周期为Ts，脉冲强度为1，频谱周期为1/Ts，强度为1/Ts。,43,
